Страница 83 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Углы $FMN$ и $FMK$ равны, а точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $FMN$ и $FMK$ прямые.

52. Углы $FMN$ и $FMK$ равны, а точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $FMN$ и $FMK$ прямые.

Поскольку точки K, M и N лежат на одной прямой, они образуют развернутый угол $\angle KMN$. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$.

Луч FM делит развернутый угол $\angle KMN$ на два смежных угла: $\angle FMN$ и $\angle FMK$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать равенство:
$\angle FMN + \angle FMK = 180^\circ$

Согласно условию задачи, углы $\angle FMN$ и $\angle FMK$ равны:
$\angle FMN = \angle FMK$

Подставим в первое равенство $\angle FMN$ вместо равного ему угла $\angle FMK$:
$\angle FMN + \angle FMN = 180^\circ$
$2 \cdot \angle FMN = 180^\circ$

Разделив обе части уравнения на 2, найдем величину угла $\angle FMN$:
$\angle FMN = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как $\angle FMN = \angle FMK$, то и $\angle FMK = 90^\circ$.
Углы, равные $90^\circ$, являются прямыми. Таким образом, мы доказали, что углы $FMN$ и $FMK$ — прямые.

Ответ: Углы FMN и FMK являются смежными и в сумме дают $180^\circ$. Так как по условию они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$, то есть они прямые.

53. Как, используя линейку и шаблон угла $5^\circ$, построить перпендикулярные прямые?

53. Как, используя линейку и шаблон угла $5^{\circ}$, построить перпендикулярные прямые?

Для построения двух перпендикулярных прямых необходимо построить прямой угол, градусная мера которого составляет $90^\circ$. Используя шаблон угла в $5^\circ$, мы можем получить прямой угол путем последовательного сложения углов.

Найдем, сколько раз нужно отложить угол в $5^\circ$, чтобы в сумме получить $90^\circ$:

$90^\circ / 5^\circ = 18$

Таким образом, для построения прямого угла необходимо 18 раз последовательно отложить угол в $5^\circ$.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построим произвольную прямую `a` и отметим на ней точку `O`.
2. Выберем один из лучей, исходящих из точки `O` и лежащих на прямой `a`. Обозначим его `OA`.
3. Приложим шаблон угла $5^\circ$ так, чтобы его вершина совпала с точкой `O`, а одна из его сторон — с лучом `OA`.
4. Проведем второй луч угла, назовем его `OB`. Мы построили угол $\angle AOB = 5^\circ$.
5. Теперь приложим шаблон так, чтобы его вершина снова была в точке `O`, а одна из сторон совпадала с лучом `OB`. Проведем следующий луч, `OC`. Угол $\angle AOC$ теперь равен $\angle AOB + \angle BOC = 5^\circ + 5^\circ = 10^\circ$.
6. Будем повторять эту операцию, каждый раз откладывая угол в $5^\circ$ от последнего построенного луча, пока суммарный угол не достигнет $90^\circ$. Это произойдет после 18-го шага.
7. После 18-го повторения мы получим луч `OX`, для которого угол $\angle AOX = 18 \times 5^\circ = 90^\circ$.
8. Проведем через луч `OX` прямую `b` с помощью линейки. Прямая `b` будет перпендикулярна исходной прямой `a`.

Ответ: Необходимо выбрать на плоскости произвольную прямую и точку на ней. От этой точки, используя шаблон, последовательно 18 раз отложить угол $5^\circ$ в одну и ту же сторону. Последний построенный луч образует с исходной прямой угол $90^\circ$. Прямая, содержащая этот луч, будет перпендикулярна исходной прямой.

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $M$, $O$, $N$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $O$;

2) углы, прилежащие к стороне $MN$;

3) проведите высоту и биссектрису треугольника $MON$, выходящие соответственно из вершин $M$ и $O$.

Рис. 222

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $M, O, N$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $O$;

2) углы, прилежащие к стороне $MN$;

3) проведите высоту и биссектрису треугольника $MON$, выходящие соответственно из вершин $M$ и $O$.

Рис. 222

Сначала начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины буквами M, O, N.

1) сторону, противолежащую углу О

В треугольнике $MON$ сторона, которая лежит напротив вершины (угла) $O$, — это сторона, соединяющая две другие вершины, $M$ и $N$. Эта сторона — $MN$.

Ответ: $MN$.

2) углы, прилежащие к стороне MN

К стороне $MN$ прилегают углы, вершины которых являются концами этого отрезка. Это угол при вершине $M$ и угол при вершине $N$. Эти углы можно обозначить как $\angle M$ (или $\angle OMN$) и $\angle N$ (или $\angle ONM$).

Ответ: $\angle M$ и $\angle N$.

3) проведите высоту и биссектрису треугольника MON, выходящие соответственно из вершин М и О

Выполним построения на чертеже:

• Высота из вершины M: Проведем из вершины $M$ перпендикуляр к прямой, содержащей противолежащую сторону $ON$. Обозначим основание этой высоты буквой $H$. Отрезок $MH$ является высотой, и по определению $MH \perp ON$.
• Биссектриса из вершины O: Проведем из вершины $O$ луч, который делит угол $\angle MON$ на два равных угла. Точку пересечения этого луча со стороной $MN$ обозначим буквой $L$. Отрезок $OL$ является биссектрисой, и по определению $\angle MOL = \angle LON$.

На рисунке выше красным пунктиром изображена высота $MH$, проведенная из вершины $M$ к стороне $ON$. Зеленой сплошной линией изображена биссектриса $OL$, проведенная из вершины $O$ к стороне $MN$.

Ответ: Построение выполнено на рисунке.

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 222, одной из вершин которых является точка А.

Рис. 222

$\triangle AOB$
$\triangle AOF$
$\triangle AOK$
$\triangle AKB$
$\triangle AFB$

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 222, одной из вершин которых является точка А.

Рис. 222

Чтобы найти все треугольники с вершиной в точке А, необходимо рассмотреть все возможные комбинации из двух других точек, представленных на рисунке (F, K, B, O), и проверить, образуют ли они треугольник вместе с точкой А. Треугольник образуется тремя точками, если они не лежат на одной прямой.

Проанализируем все возможные варианты:

• Точки А, F, B. Эти три вершины не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle АFВ$.
• Точки А, F, K. Эти три вершины не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle АFК$.
• Точки А, K, B. Эти три вершины не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle АКВ$.
• Точки А, F, O. Точка О лежит на прямой FК, но точка А на этой прямой не лежит. Следовательно, эти три точки не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle АFО$.
• Точки А, K, O. Точка О лежит на прямой FК, но точка А на этой прямой не лежит. Следовательно, эти три точки не лежат на одной прямой и образуют треугольник $\triangle АКО$.
• Точки А, O, B. Точка О является точкой пересечения отрезков АВ и FК. Это означает, что точка О лежит на отрезке АВ. Таким образом, точки А, О и В лежат на одной прямой и не могут образовать треугольник.

Таким образом, мы нашли 5 треугольников, у которых одной из вершин является точка А.

Ответ: $\triangle АFВ$, $\triangle АFК$, $\triangle АКВ$, $\triangle АFО$, $\triangle АКО$.

56. Треугольники SKT и ABE равны. Найдите отрезок BE и угол K, если $ST = AE$, $\angle T = \angle E$, $KT = 15$ см, $\angle B = 108^\circ$.

56. Треугольники $SKT$ и $ABE$ равны. Найдите отрезок $BE$ и угол $K$, если $ST = AE$, $\angle T = \angle E$, $KT = 15$ см, $\angle B = 108^\circ$.

По условию задачи треугольники $SKT$ и $ABE$ равны. Это означает, что при правильном сопоставлении их вершин соответствующие стороны и углы будут равны.

Чтобы определить, какие вершины, стороны и углы являются соответствующими, воспользуемся дополнительными данными из условия: $ST = AE$ и $\angle T = \angle E$.

• Из равенства сторон $ST = AE$ следует, что вершина $S$ соответствует вершине $A$, а вершина $T$ — вершине $E$.
• Равенство углов $\angle T = \angle E$ подтверждает, что вершина $T$ соответствует вершине $E$.
• Таким образом, третья вершина $K$ треугольника $SKT$ должна соответствовать третьей вершине $B$ треугольника $ABE$.

Итак, мы установили соответствие вершин: $S \leftrightarrow A$, $K \leftrightarrow B$ и $T \leftrightarrow E$. Следовательно, равенство треугольников можно записать как $\triangle SKT = \triangle ABE$.

Отрезок BE

Поскольку треугольники равны, их соответствующие стороны равны. Сторона $BE$ в треугольнике $ABE$ соответствует стороне $KT$ в треугольнике $SKT$ (так как вершина $B$ соответствует $K$, а $E$ соответствует $T$).

Следовательно, $BE = KT$.

Из условия задачи известно, что $KT = 15$ см.

Значит, $BE = 15$ см.

Ответ: $BE = 15$ см.

Угол K

Поскольку треугольники равны, их соответствующие углы равны. Угол $K$ в треугольнике $SKT$ соответствует углу $B$ в треугольнике $ABE$ (так как вершина $K$ соответствует $B$).

Следовательно, $\angle K = \angle B$.

Из условия задачи известно, что $\angle B = 108^{\circ}$.

Значит, $\angle K = 108^{\circ}$.

Ответ: $\angle K = 108^{\circ}$.

57. Одна из сторон треугольника равна 48 см, вторая сторона в 2 раза больше первой, а третья сторона на 17 см меньше второй. Найдите периметр треугольника.

57. Одна из сторон треугольника равна 48 см, вторая сторона в 2 раза больше первой, а третья сторона на 17 см меньше второй. Найдите периметр треугольника.

Для нахождения периметра треугольника необходимо найти длины всех его сторон, а затем сложить их. Обозначим первую сторону как $a$, вторую как $b$ и третью как $c$.

1. Найдём длину второй стороны

По условию, первая сторона $a = 48$ см. Вторая сторона $b$ в 2 раза больше первой. Чтобы найти её длину, умножим длину первой стороны на 2:

$b = 48 \text{ см} \times 2 = 96 \text{ см}$

2. Найдём длину третьей стороны

Третья сторона $c$ на 17 см меньше второй. Чтобы найти её длину, вычтем 17 см из длины второй стороны:

$c = 96 \text{ см} - 17 \text{ см} = 79 \text{ см}$

3. Найдём периметр треугольника

Периметр $P$ треугольника равен сумме длин всех его сторон. Теперь сложим длины всех трёх сторон, которые мы нашли:

$P = a + b + c = 48 \text{ см} + 96 \text{ см} + 79 \text{ см} = 223 \text{ см}$

Ответ: 223 см.

58. Одна из сторон треугольника на 27 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 163 см.

58. Одна из сторон треугольника на 27 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 163 см.

Пусть длина первой, наименьшей, стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия задачи следует, что первая сторона на 27 см меньше второй. Это означает, что вторая сторона на 27 см больше первой, то есть её длина составляет $(x + 27)$ см.

Также первая сторона в 2 раза меньше третьей. Это означает, что третья сторона в 2 раза больше первой, и её длина равна $(2x)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 163 см. Можем составить уравнение:

$x + (x + 27) + 2x = 163$

Теперь решим это уравнение:

$4x + 27 = 163$

$4x = 163 - 27$

$4x = 136$

$x = 136 \div 4$

$x = 34$

Таким образом, мы нашли длину первой стороны — она равна 34 см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

Длина второй стороны: $x + 27 = 34 + 27 = 61$ см.

Длина третьей стороны: $2x = 2 \cdot 34 = 68$ см.

Проверим, равен ли периметр 163 см: $34 + 61 + 68 = 95 + 68 = 163$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 34 см, 61 см и 68 см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CD$. Периметры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 32 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AC : AB = 5 : 6$.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CD$. Периметры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 32 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AC : AB = 5 : 6$.

Дано: $\triangle ABC$, $AM$ и $CD$ — медианы, $P_{ACD} = P_{BCD}$, $P_{ABC} = 32$ см, $AC : AB = 5 : 6$.

Найти: стороны $AB$, $BC$, $AC$.

Решение:

1. Рассмотрим периметры треугольников $ACD$ и $BCD$.
Периметр треугольника $ACD$ вычисляется по формуле: $P_{ACD} = AC + AD + CD$.
Периметр треугольника $BCD$ вычисляется по формуле: $P_{BCD} = BC + BD + CD$.

2. По условию задачи, $P_{ACD} = P_{BCD}$.
Следовательно, $AC + AD + CD = BC + BD + CD$.
Вычтем из обеих частей равенства общую сторону $CD$:
$AC + AD = BC + BD$.

3. Поскольку $CD$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $AD = BD$.
Подставим это в наше равенство:
$AC + AD = BC + AD$
Вычтем из обеих частей $AD$:
$AC = BC$.
Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.

4. Из условия известно соотношение сторон $AC : AB = 5 : 6$.
Так как $AC = BC$, то соотношение всех сторон треугольника $ABC$ будет $AC : BC : AB = 5 : 5 : 6$.

5. Пусть $x$ — одна часть в данном соотношении. Тогда длины сторон треугольника можно выразить как:
$AC = 5x$ см,
$BC = 5x$ см,
$AB = 6x$ см.

6. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.
По условию $P_{ABC} = 32$ см. Составим и решим уравнение:
$6x + 5x + 5x = 32$
$16x = 32$
$x = 32 / 16$
$x = 2$

7. Теперь найдем длины сторон треугольника:
$AC = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$BC = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$AB = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: стороны треугольника равны $10$ см, $10$ см и $12$ см.

60. Равные отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$ так, что $MA : AN = SA : AV = 3 : 5$. Докажите, что $\triangle MAV = \triangle SAN$.

60. Равные отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$ так, что $MA : AN = SA : AV = 3 : 5$. Докажите, что $\Delta MAV = \Delta SAN$.

Дано:

Отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$.

$MN = SV$.

$MA : AN = 3 : 5$.

$SA : AV = 3 : 5$.

Доказать:

$\triangle MAV = \triangle SAN$.

Доказательство:

1. Из условия, что точка $A$ делит отрезок $MN$ в отношении $MA : AN = 3 : 5$, введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков будут равны $MA = 3x$ и $AN = 5x$. Длина всего отрезка $MN$ равна сумме его частей: $MN = MA + AN = 3x + 5x = 8x$.

2. Аналогично, из условия, что точка $A$ делит отрезок $SV$ в отношении $SA : AV = 3 : 5$, введем коэффициент пропорциональности $y$. Тогда $SA = 3y$ и $AV = 5y$. Длина всего отрезка $SV$ равна: $SV = SA + AV = 3y + 5y = 8y$.

3. По условию задачи отрезки $MN$ и $SV$ равны, то есть $MN = SV$. Приравняем выражения для их длин: $8x = 8y$. Отсюда следует, что $x = y$.

4. Теперь сравним стороны треугольников $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$.

- Сторона $MA = 3x$.

- Сторона $SA = 3y$. Поскольку мы доказали, что $x=y$, то $SA = 3x$. Следовательно, $MA = SA$.

- Сторона $AV = 5y$. Поскольку $x=y$, то $AV = 5x$.

- Сторона $AN = 5x$.

- Следовательно, $AV = AN$.

5. Углы $\angle MAV$ и $\angle SAN$ образованы при пересечении отрезков $MN$ и $SV$. Эти углы являются вертикальными, а значит, они равны по свойству вертикальных углов: $\angle MAV = \angle SAN$.

6. Таким образом, мы имеем две пары равных сторон ($MA = SA$ и $AV = AN$) и равные углы между ними ($\angle MAV = \angle SAN$). Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$ доказано. Из условий $MN = SV$ и $MA:AN = SA:AV = 3:5$ следует, что стороны $MA=SA$ и $AV=AN$. Углы $\angle MAV$ и $\angle SAN$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).