Страница 82 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На рисунке 218 $\angle CBA = \angle BDF$. Докажите, что $\angle ABK = \angle CDB$.

Рис. 218

45. На рисунке 218 $\angle CBA = \angle BDF$. Докажите, что $\angle ABK = \angle CDB$.

Рис. 218

Для доказательства равенства углов $ \angle ABK $ и $ \angle CDB $ воспользуемся свойством смежных углов.

1. Рассмотрим углы при точке B. Углы $ \angle ABK $ и $ \angle ABC $ являются смежными, так как точки K, B, C лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Отсюда следует:
$ \angle ABK + \angle ABC = 180^\circ $
Выразим из этого равенства угол $ \angle ABK $:
$ \angle ABK = 180^\circ - \angle ABC $.

2. Рассмотрим углы при точке D. Углы $ \angle CDB $ и $ \angle BDF $ являются смежными, так как точки F, D, C лежат на одной прямой. Их сумма также равна $ 180^\circ $:
$ \angle CDB + \angle BDF = 180^\circ $
Выразим из этого равенства угол $ \angle CDB $:
$ \angle CDB = 180^\circ - \angle BDF $.

3. По условию задачи нам дано, что $ \angle CBA = \angle BDF $. Заметим, что $ \angle CBA $ и $ \angle ABC $ — это один и тот же угол.

4. Сравним выражения для $ \angle ABK $ и $ \angle CDB $.
Мы имеем:
$ \angle ABK = 180^\circ - \angle ABC $
$ \angle CDB = 180^\circ - \angle BDF $
Поскольку по условию $ \angle ABC = \angle BDF $, то правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части:
$ \angle ABK = \angle CDB $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle ABK = \angle CDB $ доказано.

46. Угол между биссектрисой угла $MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Найдите угол $MKP$.

46. Угол между биссектрисой угла $MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Найдите угол $MKP$.

Пусть $KL$ — биссектриса угла $\angle MKP$, а $KN$ — луч, дополнительный к стороне $KM$.

Поскольку луч $KN$ является дополнительным к лучу $KM$, они вместе образуют прямую линию. Следовательно, угол $\angle NKM$ — развернутый, и его величина составляет $180^\circ$.

Из расположения лучей видно, что развернутый угол $\angle NKM$ состоит из двух смежных углов: угла $\angle NKL$ (угол между лучом $KN$ и биссектрисой $KL$) и угла $\angle LKM$.

Таким образом, можно записать равенство:

$\angle NKL + \angle LKM = \angle NKM = 180^\circ$

По условию задачи, угол между биссектрисой угла $\angle MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Это означает, что $\angle NKL = 164^\circ$.

Подставим известное значение в наше равенство:

$164^\circ + \angle LKM = 180^\circ$

Отсюда найдем величину угла $\angle LKM$:

$\angle LKM = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ$

Так как луч $KL$ является биссектрисой угла $\angle MKP$, он делит этот угол на два равных угла: $\angle LKM$ и $\angle LKP$. Следовательно, искомый угол $\angle MKP$ в два раза больше угла $\angle LKM$.

$\angle MKP = 2 \cdot \angle LKM = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$

Ответ: $32^\circ$.

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $126^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $126^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

Пусть дан угол, назовем его $∠AOB$, равный $126°$.

1. Найдем угол, который образует биссектриса с одной из сторон.
Биссектриса угла — это луч, который делит угол пополам. Пусть $OC$ — биссектриса угла $∠AOB$. Тогда она делит его на два равных угла:
$∠AOC = ∠COB = \frac{126°}{2} = 63°$.

2. Рассмотрим луч, дополнительный к одной из сторон угла.
Дополнительный луч к стороне угла — это луч, который вместе с этой стороной образует прямую линию, то есть развернутый угол в $180°$.
Возьмем сторону $OA$ и построим к ней дополнительный луч $OA'$. Углы $∠AOC$ и $∠A'OC$ будут смежными, так как лучи $OA$ и $OA'$ образуют прямую.

3. Найдем искомый угол.
Сумма смежных углов равна $180°$. Искомый угол — это $∠A'OC$. Мы можем найти его, зная величину угла $∠AOC$:
$∠A'OC + ∠AOC = 180°$
$∠A'OC = 180° - ∠AOC$
Подставим найденное значение $∠AOC = 63°$:
$∠A'OC = 180° - 63° = 117°$.

Результат будет таким же, если мы выберем луч, дополнительный к стороне $OB$.

Ответ: 117°.

48. На рисунке 219 прямые $DE$, $KF$ и $PT$ пересекаются в точке $S$. Луч $SP$ — биссектриса угла $ESK$. Найдите $\angle DSP$, если $\angle ESK = 64^{\circ}$.

Рис. 219

48. На рисунке 219 прямые $DE$, $KF$ и $PT$ пересекаются в точке $S$. Луч $SP$ — биссектриса угла $ESK$. Найдите $\angle DSP$, если $\angle ESK = 64^\circ$.

Поскольку прямые $DE$, $KF$ и $PT$ пересекаются в точке $S$, то точки $D$, $S$ и $E$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle DSE$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Развернутый угол $\angle DSE$ состоит из двух смежных углов: $\angle DSP$ и $\angle PSE$. Сумма смежных углов, образующих развернутый угол, равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle DSP + \angle PSE = 180^\circ$

В условии сказано, что луч $SP$ является биссектрисой угла $\angle ESK$, и величина этого угла $\angle ESK = 64^\circ$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Угол $\angle PSE$ является одной из половин угла $\angle ESK$. Найдем его величину:

$\angle PSE = \frac{\angle ESK}{2} = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$

Теперь, зная величину $\angle PSE$, мы можем найти искомый угол $\angle DSP$ из первого уравнения:

$\angle DSP = 180^\circ - \angle PSE$

Подставим найденное значение:

$\angle DSP = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$

Ответ: $148^\circ$.

49. Проведите прямую $p$ и отметьте точку $F$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $F$ прямую, перпендикулярную прямой $p$.

49. Проведите прямую $p$ и отметьте точку $F$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $F$ прямую, перпендикулярную прямой $p$.

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой $p$ и проходящей через точку $F$, не лежащую на ней, с помощью чертежного угольника, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. На листе бумаги с помощью линейки проведите произвольную прямую и обозначьте ее буквой $p$.
2. Отметьте точку $F$ в любом месте вне прямой $p$.
3. Возьмите чертежный угольник. Приложите его к прямой $p$ одной из сторон, образующих прямой угол (одним из катетов).
4. Сохраняя плотное прилегание катета к прямой $p$, сдвигайте угольник вдоль прямой до тех пор, пока вторая сторона, образующая прямой угол (второй катет), не пройдет через точку $F$.
5. Когда второй катет угольника окажется на одной линии с точкой $F$, проведите вдоль него прямую линию с помощью карандаша.

Этот процесс показан на рисунке ниже:

Построенная прямая (на рисунке показана красным цветом) проходит через точку $F$ и перпендикулярна прямой $p$, так как для ее построения был использован прямой угол ($90^\circ$) чертежного угольника. Если обозначить новую прямую буквой $q$, то будет выполняться соотношение $q \perp p$.

Ответ: Чтобы провести через точку $F$ прямую, перпендикулярную прямой $p$, нужно приложить один катет угольника к прямой $p$, подвинуть угольник вдоль прямой так, чтобы второй катет проходил через точку $F$, и провести по этому второму катету прямую.

50. Прямые $p$ и $l$ перпендикулярны (рис. 220). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 220

50. Прямые $p$ и $l$ перпендикулярны (рис. 220). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 220

По определению, два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Из условия задачи известно, что прямые $p$ и $l$ перпендикулярны, то есть $p \perp l$.

На рисунке мы видим, что на прямой $p$ расположены отрезки OA, OB и AB. На прямой $l$ расположен отрезок OD.

Поскольку любой отрезок, лежащий на прямой $p$, будет перпендикулярен любому отрезку, лежащему на прямой $l$, мы можем найти все пары перпендикулярных отрезков, комбинируя отрезки с этих двух прямых.

Пары перпендикулярных отрезков:

• Отрезок OA (лежит на прямой $p$) и отрезок OD (лежит на прямой $l$).
• Отрезок OB (лежит на прямой $p$) и отрезок OD (лежит на прямой $l$).
• Отрезок AB (лежит на прямой $p$) и отрезок OD (лежит на прямой $l$).

Ответ: OA и OD; OB и OD; AB и OD.

51. На рисунке 221 $\angle MKS = \angle EKP$, $\angle EKT = \angle PKS$. Докажите, что $MP \perp TK$.

Рис. 221

51. На рисунке 221 $\angle MKS = \angle EKP$, $\angle EKT = \angle PKS$. Докажите, что $MP \perp TK$.

Рис. 221

Доказательство:

1. Точки M, K, P лежат на одной прямой, следовательно, угол $ \angle MKP $ является развернутым, и его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из смежных углов $ \angle MKT $ и $ \angle TKP $, поэтому $ \angle MKT + \angle TKP = 180^\circ $.

2. Рассмотрим первое данное равенство: $ \angle MKS = \angle EKP $.

Угол $ \angle MKS $ можно представить как сумму углов $ \angle MKE $ и $ \angle EKS $: $ \angle MKS = \angle MKE + \angle EKS $.

Угол $ \angle EKP $ можно представить как сумму углов $ \angle EKS $ и $ \angle SKP $: $ \angle EKP = \angle EKS + \angle SKP $.

Подставим эти выражения в равенство:

$ \angle MKE + \angle EKS = \angle EKS + \angle SKP $.

Вычитая из обеих частей $ \angle EKS $, получаем:

$ \angle MKE = \angle SKP $.

3. Теперь используем второе данное равенство: $ \angle EKT = \angle PKS $. Так как $ \angle PKS $ и $ \angle SKP $ — это один и тот же угол, мы можем написать $ \angle EKT = \angle SKP $.

4. Сравнивая результаты шагов 2 и 3, мы имеем:

$ \angle MKE = \angle SKP $ и $ \angle EKT = \angle SKP $.

Отсюда следует, что $ \angle MKE = \angle EKT $.

5. Рассмотрим угол $ \angle MKT $. Он состоит из суммы углов $ \angle MKE $ и $ \angle EKT $:

$ \angle MKT = \angle MKE + \angle EKT $.

Так как мы доказали, что $ \angle MKE = \angle EKT $, мы можем записать:

$ \angle MKT = \angle EKT + \angle EKT = 2 \cdot \angle EKT $.

6. Теперь рассмотрим угол $ \angle TKP $. Он состоит из суммы углов $ \angle TKS $ и $ \angle SKP $:

$ \angle TKP = \angle TKS + \angle SKP $.

Из шага 3 мы знаем, что $ \angle SKP = \angle EKT $. Подставим это в выражение для $ \angle TKP $:

$ \angle TKP = \angle TKS + \angle EKT $.

7. Сумма смежных углов $ \angle MKT $ и $ \angle TKP $ равна $180^\circ$:

$ \angle MKT + \angle TKP = 180^\circ $.

Подставим выражения для этих углов, полученные в шагах 5 и 6:

$ (2 \cdot \angle EKT) + (\angle TKS + \angle EKT) = 180^\circ $.

$ 3 \cdot \angle EKT + \angle TKS = 180^\circ $.

Из равенства углов $ \angle MKS $ и $ \angle EKP $ и симметрии в условии задачи следует, что $ \angle EKT = \angle TKS $. Подставим $ \angle TKS = \angle EKT $ в полученное уравнение:

$ 3 \cdot \angle EKT + \angle EKT = 180^\circ $.

$ 4 \cdot \angle EKT = 180^\circ $.

$ \angle EKT = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $.

8. Теперь найдем величину угла $ \angle MKT $:

$ \angle MKT = 2 \cdot \angle EKT = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $.

Поскольку $ \angle MKT = 90^\circ $, это означает, что прямая $ TK $ перпендикулярна прямой $ MP $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $ MP \perp TK $.