Страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 63 см, а боковая сторона на 6 см больше основания.

73. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 63 см, а боковая сторона на 6 см больше основания.

Пусть длина основания равнобедренного треугольника равна $x$ см.

Согласно условию, боковая сторона на 6 см больше основания. Так как в равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, то длина каждой из них составляет $(x + 6)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 63 см. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 6) + (x + 6) = 63$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + x + 6 + x + 6 = 63$

$3x + 12 = 63$

Теперь перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x = 63 - 12$

$3x = 51$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{51}{3}$

$x = 17$

Таким образом, длина основания треугольника равна 17 см.

Теперь найдем длину боковой стороны, подставив значение $x$ в выражение $(x + 6)$:

$17 + 6 = 23$ см.

Итак, стороны треугольника равны 17 см, 23 см и 23 см.

Ответ: основание – 17 см, боковые стороны – 23 см и 23 см.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 87 см, а основание составляет 0,9 боковой стороны.

74. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен $87$ см, а основание составляет $0,9$ боковой стороны.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две равные боковые стороны, каждая длиной $x$ см.

Согласно условию, основание составляет 0,9 боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $0,9x$ см.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для данного треугольника формула периметра будет следующей: $P = x + x + 0,9x$

По условию задачи, периметр равен 87 см. Составим и решим уравнение: $2x + 0,9x = 87$ $2,9x = 87$

Найдем значение $x$: $x = \frac{87}{2,9}$ $x = \frac{870}{29}$ $x = 30$ Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 30 см.

Теперь найдем длину основания: Основание $= 0,9x = 0,9 \cdot 30 = 27$ см.

Стороны треугольника равны 30 см, 30 см и 27 см.

Проверка: $30 + 30 + 27 = 87$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: боковые стороны равны 30 см, основание — 27 см.

75. На рисунке 231 $TK = KF$. Докажите, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

75. На рисунке 231 $TK = KF$. Докажите, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $KTF$. По условию задачи стороны $TK$ и $KF$ равны ($TK = KF$), что отмечено на рисунке одинаковыми черточками. Это означает, что треугольник $KTF$ является равнобедренным с основанием $TF$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. В данном случае углами при основании являются $\angle KTF$ и $\angle KFT$. Следовательно, мы можем записать равенство:
$\angle KTF = \angle KFT$.

Из рисунка видно, что $\angle 1$ и внутренний угол треугольника $\angle KTF$ являются смежными углами, так как они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Таким образом, получаем:
$\angle 1 + \angle KTF = 180^\circ$.

Также из рисунка видно, что $\angle 2$ — это внутренний угол треугольника при вершине $F$. То есть, $\angle 2$ и $\angle KFT$ обозначают один и тот же угол:
$\angle 2 = \angle KFT$.

Теперь, используя равенство углов при основании ($\angle KTF = \angle KFT$) и обозначение для угла 2 ($\angle 2 = \angle KFT$), мы можем заключить, что:
$\angle KTF = \angle 2$.

Наконец, подставим $\angle 2$ вместо равного ему угла $\angle KTF$ в уравнение для смежных углов:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

76. В равнобедренном треугольнике $MKP$ ($MK = KP$) провели биссектрису $KE$. Найдите её длину, если периметр треугольника $MKP$ равен 72 см, а периметр треугольника $MKE$ — 48 см.

76. В равнобедренном треугольнике $МКР$ ($МК = КР$) провели биссектрису $КЕ$. Найдите её длину, если периметр треугольника $МКР$ равен 72 см, а периметр треугольника $МКЕ$ - 48 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $MKP$, в котором боковые стороны равны ($MK = KP$). Периметр этого треугольника, обозначим его как $P_{MKP}$, равен 72 см.

Периметр треугольника $MKP$ определяется как сумма длин всех его сторон:
$P_{MKP} = MK + KP + MP$.

Поскольку $MK = KP$, мы можем записать:
$P_{MKP} = 2 \cdot MK + MP = 72$ см.

В треугольнике проведена биссектриса $KE$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла между равными сторонами (в данном случае из вершины $K$), является также медианой и высотой к основанию.

Так как $KE$ является медианой, она делит основание $MP$ на два равных отрезка: $ME = EP$. Следовательно, длина всего основания $MP$ равна удвоенной длине отрезка $ME$:
$MP = 2 \cdot ME$.

Подставим это выражение в формулу периметра треугольника $MKP$:
$2 \cdot MK + 2 \cdot ME = 72$.

Вынесем 2 за скобки и разделим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (MK + ME) = 72$
$MK + ME = 36$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MKE$. По условию, его периметр $P_{MKE}$ равен 48 см. Периметр этого треугольника определяется как:
$P_{MKE} = MK + ME + KE$.

Мы уже выяснили, что сумма сторон $MK + ME$ составляет 36 см. Подставим это значение в формулу для $P_{MKE}$:
$36 + KE = 48$.

Из этого уравнения легко найти длину биссектрисы $KE$:
$KE = 48 - 36 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $DE$ равнобедренного треугольника $DEF$ ($DE = EF$) пересекает сторону $DF$ в точке $K$. Найдите сторону $DF$, если $DE = 21$ см, а периметр треугольника $EKF$ равен 60 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $DE$ равнобедренного треугольника $DEF (DE = EF)$ пересекает сторону $DF$ в точке $K$. Найдите сторону $DF$, если $DE = 21$ см, а периметр треугольника $EKF$ равен $60$ см.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $DEF$, в котором боковые стороны равны: $DE = EF$. Известно, что $DE = 21$ см, следовательно, $EF$ также равна 21 см.

Серединный перпендикуляр к стороне $DE$ пересекает сторону $DF$ в точке $K$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DE$, то расстояния от точки $K$ до вершин $D$ и $E$ равны. Таким образом, мы получаем равенство отрезков:

$KD = KE$

Рассмотрим периметр треугольника $EKF$. Периметр — это сумма длин всех его сторон:

$P_{EKF} = EK + KF + EF$

Из условия задачи известно, что периметр треугольника $EKF$ равен 60 см. Подставим в формулу известные значения. Мы можем заменить $EK$ на равный ему отрезок $KD$, а $EF$ — на его известную длину 21 см:

$60 = KD + KF + 21$

Точка $K$ лежит на стороне $DF$. Это означает, что длина стороны $DF$ равна сумме длин отрезков $KD$ и $KF$, на которые ее делит точка $K$:

$DF = KD + KF$

Теперь мы можем заменить сумму $(KD + KF)$ в уравнении периметра на $DF$:

$60 = DF + 21$

Из этого уравнения находим искомую длину стороны $DF$:

$DF = 60 - 21 = 39$ см.

Ответ: 39 см.

78. В равнобедренном треугольнике $ACK$ на боковых сторонах $AC$ и $CK$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $CD = CF$. Докажите, что $\angle DKA = \angle FAK$.

78. В равнобедренном треугольнике $ACK$ на боковых сторонах $AC$ и $CK$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $CD = CF$. Докажите, что $\angle DKA = \angle FAK$.

Для доказательства равенства углов $\angle DKA$ и $\angle FAK$ рассмотрим треугольники, содержащие эти углы: $\triangle AKD$ и $\triangle KAF$.

По условию задачи, треугольник $ACK$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AC$ и $CK$. Это означает, что $AC = CK$ и углы при основании $AK$ равны, то есть $\angle CAK = \angle CKA$.

Также по условию, на сторонах $AC$ и $CK$ выбраны точки $D$ и $F$ таким образом, что $CD = CF$.

Рассмотрим отрезки $AD$ и $FK$. Их длины можно выразить через длины других отрезков: $AD = AC - CD$ и $FK = CK - CF$. Поскольку из условия нам известно, что $AC=CK$ и $CD=CF$, мы можем заключить, что $AD = FK$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle KAF$. Мы установили, что сторона $AD$ равна стороне $FK$. Угол $\angle DAK$ (который является углом $\angle CAK$) равен углу $\angle FKA$ (который является углом $\angle CKA$). Сторона $AK$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AKD = \triangle KAF$.

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $\angle DKA$ в треугольнике $\triangle AKD$ лежит напротив стороны $AD$. Угол $\angle FAK$ в треугольнике $\triangle KAF$ лежит напротив стороны $FK$. Так как стороны $AD$ и $FK$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle DKA = \angle FAK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DKA = \angle FAK$ доказано.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины равнобедренного треугольника.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины равнобедренного треугольника.

Для доказательства равенства двух равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе, проведенной из вершины, рассмотрим два таких треугольника: $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основанием $ A_1C_1 $. Пусть $ BD $ — биссектриса $ \triangle ABC $, проведенная из вершины $ B $, а $ B_1D_1 $ — биссектриса $ \triangle A_1B_1C_1 $, проведенная из вершины $ B_1 $.

Согласно условию задачи, основания треугольников равны, то есть $ AC = A_1C_1 $, и проведенные к ним биссектрисы также равны: $ BD = B_1D_1 $.

Ключевым свойством равнобедренного треугольника является то, что биссектриса, проведенная из вершины к основанию, одновременно является медианой и высотой этого треугольника.

Применим это свойство к $ \triangle ABC $. Поскольку $ BD $ — биссектриса, она также является медианой, а значит, делит основание $ AC $ пополам в точке $ D $. Таким образом, $ AD = DC = \frac{1}{2} AC $. Кроме того, $ BD $ является высотой, то есть $ BD \perp AC $, из чего следует, что $ \angle BDA = 90^\circ $.

Аналогичные выводы справедливы и для $ \triangle A_1B_1C_1 $. Биссектриса $ B_1D_1 $ является также медианой и высотой. Следовательно, $ A_1D_1 = D_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 $ и $ \angle B_1D_1A_1 = 90^\circ $.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $. Мы знаем, что их катеты $ BD $ и $ B_1D_1 $ равны по условию ($ BD = B_1D_1 $). Также равны их вторые катеты $ AD $ и $ A_1D_1 $, поскольку по условию $ AC = A_1C_1 $, а из доказанного выше $ AD = \frac{1}{2} AC $ и $ A_1D_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 $.

Поскольку два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, треугольники $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $ равны.

Из равенства треугольников $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $ следует равенство их гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $. Гипотенузы этих прямоугольных треугольников являются боковыми сторонами исходных равнобедренных треугольников.

Так как $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные, то $ AB = BC $ и $ A_1B_1 = B_1C_1 $. Из этого и доказанного равенства $ AB = A_1B_1 $ следует, что и вторые боковые стороны равны: $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, мы установили, что все три стороны $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе, проведенной из вершины, доказывается с использованием свойства этой биссектрисы, которая также является медианой и высотой. Это позволяет разбить каждый треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Сравнивая эти прямоугольные треугольники из разных исходных треугольников, мы доказываем их равенство по двум катетам, из чего следует равенство боковых сторон исходных треугольников. В итоге, исходные треугольники оказываются равными по третьему признаку (по трем сторонам).

80. На рисунке 232 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $PM = PE$.

Рис. 232

80. На рисунке 232 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $PM = PE$.

Рис. 232

Рассмотрим треугольник $PME$. Для того чтобы доказать, что $PM = PE$, необходимо доказать, что треугольник $PME$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $ME$ равны, то есть $∠PME = ∠PEM$.

Из рисунка видно, что угол $∠1$ и угол $∠PME$ являются вертикальными углами. Они образованы при пересечении двух прямых (прямой, содержащей отрезок $ME$, и прямой, содержащей отрезок $PM$).

Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой. Таким образом, мы можем записать: $∠1 = ∠PME$.

По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$.

Используя метод подстановки (или свойство транзитивности равенства), из двух равенств $∠1 = ∠PME$ и $∠1 = ∠2$ мы можем сделать вывод, что: $∠PME = ∠2$.

Угол $∠2$ — это внутренний угол треугольника $PME$ при вершине $E$. Следовательно, $∠2 = ∠PEM$.

Таким образом, мы установили, что $∠PME = ∠PEM$.

В треугольнике $PME$ углы при стороне $ME$ равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $PE$ лежит напротив угла $∠PME$, а сторона $PM$ — напротив угла $∠PEM$.

Следовательно, $PM = PE$.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $∠1$ и $∠PME$ — вертикальные, то $∠1 = ∠PME$. По условию $∠1 = ∠2$, следовательно, $∠PME = ∠2$. Поскольку $∠2$ — это угол $∠PEM$, то в треугольнике $PME$ углы при основании $ME$ равны ($∠PME = ∠PEM$). Значит, треугольник $PME$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $PM = PE$.

81. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На продолжении его медианы $BD$ за точку $D$ отметили точку $K$. Докажите, что треугольник $AKC$ равнобедренный.

81. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На продолжении его медианы $BD$ за точку $D$ отметили точку $K$. Докажите, что треугольник $AKC$ равнобедренный.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, $BD$ является медианой, проведенной к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$, то есть $BD \perp AC$. Это означает, что углы, образованные медианой и основанием, являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Точка $K$ лежит на продолжении медианы $BD$ за точку $D$. Это значит, что точки $B$, $D$ и $K$ находятся на одной прямой. Следовательно, вся прямая $BK$ перпендикулярна прямой $AC$. Таким образом, углы $\angle ADK$ и $\angle CDK$ также равны $90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$.

- Сторона $AD$ равна стороне $CD$, так как $BD$ — медиана и делит сторону $AC$ пополам.
- Сторона $DK$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ADK$ равен углу $\angle CDK$, поскольку оба они прямые ($\angle ADK = \angle CDK = 90^\circ$).

Таким образом, $\triangle ADK$ равен $\triangle CDK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае, сторона $AK$ из $\triangle ADK$ соответствует стороне $CK$ из $\triangle CDK$. Следовательно, $AK = CK$.

Поскольку в треугольнике $AKC$ две стороны ($AK$ и $CK$) равны, по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $AKC$ является равнобедренным.