Страница 91 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $4^\circ$ и $7^\circ$.

104. Найдите угол треугольника, если два другие его угла равны $4^\circ$ и $7^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

В условии задачи даны два угла треугольника: $4^\circ$ и $7^\circ$. Чтобы найти третий угол, необходимо вычесть сумму известных углов из $180^\circ$.

1. Найдем сумму двух известных углов:
$4^\circ + 7^\circ = 11^\circ$

2. Вычтем полученную сумму из $180^\circ$, чтобы найти величину третьего угла:
$180^\circ - 11^\circ = 169^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника равен $169^\circ$.

Ответ: $169^\circ$

105. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $67^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

105. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $67^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. В условии задачи сказано, что угол при основании равен $67^{\circ}$. Это значит, что в треугольнике есть два равных угла, и каждый из них составляет $67^{\circ}$.

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Обозначим искомый угол при вершине как $x$. Тогда можно составить следующее уравнение, сложив все три угла треугольника:

$x + 67^{\circ} + 67^{\circ} = 180^{\circ}$

Для решения уравнения сначала найдем сумму двух известных углов при основании:

$67^{\circ} + 67^{\circ} = 134^{\circ}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$x + 134^{\circ} = 180^{\circ}$

Чтобы найти $x$, вычтем $134^{\circ}$ из $180^{\circ}$:

$x = 180^{\circ} - 134^{\circ}$

$x = 46^{\circ}$

Таким образом, угол при вершине этого равнобедренного треугольника равен $46^{\circ}$.

Ответ: $46^{\circ}$.

106. Найдите на рисунке 249 неизвестные углы треугольника FKE.

Рис. 249

a

Треугольник с вершинами F, K, E.

Угол при вершине K: $106^\circ$.

Внешний угол при вершине F: $17^\circ$.

б

Треугольник с вершинами F, K, E.

Угол при вершине K: $54^\circ$.

Внешний угол при вершине E: $146^\circ$.

в

Треугольник с вершинами F, K, E.

Внешний угол при вершине K: $103^\circ$.

Внешний угол при вершине E: $137^\circ$.

106. Найдите на рисунке 249 неизвестные углы треугольника $FKE$.

Рис. 249

$17^\circ$, $106^\circ$

$54^\circ$, $146^\circ$

$103^\circ$, $137^\circ$

а
Внутренний угол треугольника при вершине F, $\angle KFE$, и угол $17^\circ$ являются вертикальными углами, а значит, они равны. Следовательно, $\angle KFE = 17^\circ$.
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, $\angle FKE = 106^\circ$ и $\angle KFE = 17^\circ$, мы можем найти третий угол $\angle FEK$:
$\angle FEK = 180^\circ - (\angle FKE + \angle KFE)$
$\angle FEK = 180^\circ - (106^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle KFE$ и $\angle FEK$.
Ответ: $\angle KFE = 17^\circ$, $\angle FEK = 57^\circ$.

б
Внутренний угол треугольника при вершине E, $\angle FEK$, и внешний угол $146^\circ$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle FEK$:
$\angle FEK = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла, $\angle FKE = 54^\circ$ и $\angle FEK = 34^\circ$, найдем третий угол $\angle KFE$:
$\angle KFE = 180^\circ - (\angle FKE + \angle FEK)$
$\angle KFE = 180^\circ - (54^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle FEK$ и $\angle KFE$.
Ответ: $\angle FEK = 34^\circ$, $\angle KFE = 92^\circ$.

в
Внутренний угол треугольника при вершине K, $\angle FKE$, смежный с внешним углом $103^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FKE = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ$.
Внутренний угол треугольника при вершине E, $\angle FEK$, смежный с внешним углом $137^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FEK = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла, $\angle FKE = 77^\circ$ и $\angle FEK = 43^\circ$, найдем третий угол $\angle KFE$:
$\angle KFE = 180^\circ - (\angle FKE + \angle FEK)$
$\angle KFE = 180^\circ - (77^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle FKE$, $\angle FEK$ и $\angle KFE$.
Ответ: $\angle FKE = 77^\circ$, $\angle FEK = 43^\circ$, $\angle KFE = 60^\circ$.

107. Найдите на рисунке 250 неизвестные углы равнобедренного треугольника FKE ($FK = KE$).

Рис. 250

На изображении показан треугольник FKE. Стороны FK и KE отмечены одинаковыми штрихами. Угол $39^\circ$ расположен у вершины E.

На изображении показан треугольник FKE. Стороны FK и KE отмечены одинаковыми штрихами. Угол $136^\circ$ расположен у вершины K.

107. Найдите на рисунке 250 неизвестные углы равнобедренного треугольника FKE ($FK = KE$).

Рис. 250

а

$39^\circ$

б

$136^\circ$

а

На рисунке а угол, равный $39°$, и внутренний угол треугольника $\angle KEF$ показаны как вертикальные углы (несмотря на то, что чертеж может быть истолкован как смежные углы, такой вариант приводит к противоречию, так как сумма двух углов треугольника окажется больше $180°$). Вертикальные углы равны, следовательно, $\angle KEF = 39°$.

По условию, треугольник $FKE$ — равнобедренный, так как $FK = KE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $FE$, значит, угол напротив стороны $KE$ ($\angle KFE$) равен углу напротив стороны $FK$ ($\angle KEF$).

$\angle KFE = \angle KEF = 39°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Третий угол треугольника, $\angle FKE$, можно найти по формуле: $\angle FKE = 180° - (\angle KFE + \angle KEF)$.

Подставим известные значения: $\angle FKE = 180° - (39° + 39°) = 180° - 78° = 102°$.

Ответ: $\angle KEF = 39°$, $\angle KFE = 39°$, $\angle FKE = 102°$.

б

На рисунке б угол, равный $136°$, является внешним углом треугольника $FKE$ при вершине $K$. Этот угол и внутренний угол $\angle FKE$ являются смежными.

Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому мы можем найти внутренний угол при вершине $K$: $\angle FKE = 180° - 136° = 44°$.

Так как треугольник $FKE$ — равнобедренный с основанием $FE$ ($FK = KE$), углы при основании равны: $\angle KFE = \angle KEF$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Сумма двух равных углов при основании составляет: $\angle KFE + \angle KEF = 180° - \angle FKE = 180° - 44° = 136°$.

Так как углы при основании равны, то каждый из них равен: $\angle KFE = \angle KEF = 136° / 2 = 68°$.

Ответ: $\angle FKE = 44°$, $\angle KFE = 68°$, $\angle KEF = 68°$.

108. Найдите углы треугольника MFK, если $ \angle M + \angle K = 130^\circ $, $ \angle K + \angle F = 170^\circ $.

108. Найдите углы треугольника MFK, если $\angle M + \angle K = 130^\circ$, $\angle K + \angle F = 170^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MFK$ это можно записать в виде уравнения:

$\angle M + \angle K + \angle F = 180^\circ$

Из условия задачи нам известны два соотношения:

1. $\angle M + \angle K = 130^\circ$

2. $\angle K + \angle F = 170^\circ$

Подставим значение из первого соотношения $(\angle M + \angle K)$ в формулу суммы углов треугольника, чтобы найти $\angle F$:

$(\angle M + \angle K) + \angle F = 180^\circ$

$130^\circ + \angle F = 180^\circ$

Выразим отсюда $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Теперь подставим значение из второго соотношения $(\angle K + \angle F)$ в формулу суммы углов, чтобы найти $\angle M$:

$\angle M + (\angle K + \angle F) = 180^\circ$

$\angle M + 170^\circ = 180^\circ$

Выразим отсюда $\angle M$:

$\angle M = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Зная величины углов $\angle M$ и $\angle F$, мы можем найти $\angle K$. Для этого можно использовать как формулу суммы углов, так и любое из начальных условий. Воспользуемся первым условием:

$\angle M + \angle K = 130^\circ$

$10^\circ + \angle K = 130^\circ$

$\angle K = 130^\circ - 10^\circ = 120^\circ$

Проверим полученные значения: $\angle M + \angle K + \angle F = 10^\circ + 120^\circ + 50^\circ = 180^\circ$. Все верно.

Ответ: $\angle M = 10^\circ$, $\angle F = 50^\circ$, $\angle K = 120^\circ$.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине в 2 раза меньше угла при основании.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине в 2 раза меньше угла при основании.

Обозначим угол при основании равнобедренного треугольника как $x$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому у нас есть два угла, равных $x$.

Согласно условию, угол при вершине в 2 раза меньше угла при основании. Следовательно, угол при вершине равен $\frac{x}{2}$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + x + \frac{x}{2} = 180^\circ$

$2x + \frac{x}{2} = 180^\circ$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4x}{2} + \frac{x}{2} = 180^\circ$

$\frac{5x}{2} = 180^\circ$

$5x = 180^\circ \cdot 2$

$5x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{5}$

$x = 72^\circ$

Таким образом, каждый из углов при основании равен $72^\circ$.

Теперь найдем угол при вершине, который в 2 раза меньше:

Угол при вершине $= \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Проверим сумму углов: $72^\circ + 72^\circ + 36^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $36^\circ$, $72^\circ$, $72^\circ$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2 : 3 : 4$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2 : 3 : 4$.

Пусть градусные меры углов треугольника относятся как $2:3:4$. Обозначим одну часть отношения за $x$. Тогда углы треугольника можно выразить как $2x$, $3x$ и $4x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. На основе этого составим уравнение:

$2x + 3x + 4x = 180^\circ$

Сложив все части, получим:

$9x = 180^\circ$

Чтобы найти $x$, разделим обе стороны уравнения на 9:

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти величину каждого угла, подставив $x = 20^\circ$ в исходные выражения:
Первый угол: $2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $3x = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Проверка: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

Ответ: углы треугольника равны $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$.

111. Один из углов треугольника равен $104^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $105^\circ$; 2) $103^\circ$?

111. Один из углов треугольника равен $104^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным:

1) $105^\circ$;

2) $103^\circ$?

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, один из углов равен $104^\circ$. Пусть это будет угол $\alpha$, то есть $\alpha = 104^\circ$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Как следствие, внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Рассмотрим внешний угол, не смежный с углом $\alpha = 104^\circ$. Это может быть либо внешний угол при вершине с внутренним углом $\beta$, либо при вершине с внутренним углом $\gamma$.

Пусть это внешний угол при вершине с углом $\beta$. Обозначим его $\beta_{внешн.}$. По теореме он равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов:$\beta_{внешн.} = \alpha + \gamma$.

Так как $\alpha = 104^\circ$, а $\gamma$ — это угол треугольника (то есть $\gamma > 0^\circ$), то:$\beta_{внешн.} = 104^\circ + \gamma$.Из этого следует, что любой внешний угол, не смежный с углом в $104^\circ$, должен быть строго больше $104^\circ$.

Проверим, может ли внешний угол быть равен $105^\circ$.Сравним это значение с $104^\circ$: $105^\circ > 104^\circ$.Это условие выполняется. Мы можем найти углы такого треугольника.Если $\beta_{внешн.} = 105^\circ$, то $105^\circ = 104^\circ + \gamma$.Отсюда $\gamma = 105^\circ - 104^\circ = 1^\circ$.Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\beta$ равен:$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 104^\circ - 1^\circ = 75^\circ$.Мы получили треугольник с углами $104^\circ$, $75^\circ$ и $1^\circ$, который может существовать.Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $104^\circ$, может быть равен $105^\circ$.
Ответ: да, может.

Проверим, может ли внешний угол быть равен $103^\circ$.Сравним это значение с $104^\circ$: $103^\circ < 104^\circ$.Как было установлено ранее, внешний угол, не смежный с углом $\alpha = 104^\circ$, должен быть строго больше $104^\circ$. Это условие не выполняется.Если мы предположим, что $\beta_{внешн.} = 103^\circ$, то получим:$103^\circ = 104^\circ + \gamma$.Отсюда $\gamma = 103^\circ - 104^\circ = -1^\circ$.Угол треугольника не может быть отрицательной величиной, следовательно, такой треугольник не существует.Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $104^\circ$, не может быть равен $103^\circ$.
Ответ: нет, не может.