Страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Один из внешних углов треугольника равен $73^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $27^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

112. Один из внешних углов треугольника равен $73^{\circ}$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, — $27^{\circ}$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

По условию задачи, один из внешних углов равен $73^\circ$, а один из внутренних углов, не смежный с ним, равен $27^\circ$. Обозначим искомый второй внутренний угол, не смежный с данным внешним, как $x$.

Используя теорему, составим уравнение:
$73^\circ = 27^\circ + x$

Чтобы найти $x$, вычтем $27^\circ$ из $73^\circ$:
$x = 73^\circ - 27^\circ$
$x = 46^\circ$

Таким образом, второй угол треугольника, не смежный с данным внешним, равен $46^\circ$.
Ответ: $46^\circ$

113. Один из внешних углов треугольника равен $98^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них в 13 раз меньше другого.

113. Один из внешних углов треугольника равен $98^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из них в 13 раз меньше другого.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Пусть меньший из двух искомых углов равен $x$. Тогда, по условию задачи, второй угол, который в 13 раз больше, будет равен $13x$.

Сумма этих двух углов равна данному внешнему углу, который составляет $98^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 13x = 98^\circ$

$14x = 98^\circ$

$x = \frac{98^\circ}{14}$

$x = 7^\circ$

Итак, мы нашли меньший угол, он равен $7^\circ$.

Теперь найдем больший угол:

$13x = 13 \cdot 7^\circ = 91^\circ$

Таким образом, искомые углы треугольника равны $7^\circ$ и $91^\circ$.

Проверим правильность решения, сложив найденные углы: $7^\circ + 91^\circ = 98^\circ$. Сумма углов равна внешнему углу, что соответствует теореме.

Ответ: $7^\circ$ и $91^\circ$.

114. Два внешних угла треугольника равны $151^\circ$ и $143^\circ$.

Найдите третий внешний угол треугольника.

114. Два внешних угла треугольника равны $151^\circ$ и $143^\circ$. Найдите третий внешний угол треугольника.

Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1. Использование свойства о сумме внешних углов треугольника

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (в том числе и треугольника), взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

В задаче даны два внешних угла: $151^\circ$ и $143^\circ$. Обозначим искомый третий внешний угол как $x$.

Тогда их сумма будет равна $360^\circ$:
$151^\circ + 143^\circ + x = 360^\circ$

Сложим известные углы:
$294^\circ + x = 360^\circ$

Теперь найдем $x$:
$x = 360^\circ - 294^\circ$
$x = 66^\circ$

Способ 2. Решение через внутренние углы треугольника

Внешний и смежный с ним внутренний угол треугольника в сумме составляют $180^\circ$. Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

1. Найдем внутренние углы, смежные с данными внешними углами.

Первый внутренний угол: $180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$.

Второй внутренний угол: $180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$.

2. Теперь, зная два внутренних угла, найдем третий. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

Третий внутренний угол: $180^\circ - (29^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$.

3. Наконец, найдем третий внешний угол, который смежен с третьим внутренним углом ($114^\circ$).

Третий внешний угол: $180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $66^\circ$

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Условие, что один угол в 2 раза больше другого, приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Угол при вершине в 2 раза больше угла при основании.

Пусть каждый из равных углов при основании равен $x$. Тогда угол при вершине, который в 2 раза больше, будет равен $2x$.

Составим уравнение, исходя из свойства о сумме углов треугольника:

$x + x + 2x = 180^{\circ}$

$4x = 180^{\circ}$

$x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ}$

Таким образом, углы при основании равны по $45^{\circ}$, а угол при вершине равен $2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.

Проверка: $45^{\circ} + 45^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$, $45^{\circ}$, $90^{\circ}$.

Случай 2: Угол при основании в 2 раза больше угла при вершине.

Пусть угол при вершине равен $y$. Тогда каждый из двух равных углов при основании будет равен $2y$.

Составим уравнение:

$y + 2y + 2y = 180^{\circ}$

$5y = 180^{\circ}$

$y = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ}$

Таким образом, угол при вершине равен $36^{\circ}$, а углы при основании равны по $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.

Проверка: $36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $36^{\circ}$, $72^{\circ}$, $72^{\circ}$.

Таким образом, задача имеет два решения.

116. Биссектрисы углов $M$ и $P$ треугольника $MPK$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $MKP$, если $\angle MOP = 145^\circ$.

116. Биссектрисы углов $M$ и $P$ треугольника $MPK$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $MKP$, если $\angle MOP = 145^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MOP$, который образован пересечением биссектрис. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поэтому для треугольника $MOP$ справедливо равенство:
$\angle OMP + \angle OPM + \angle MOP = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle MOP = 145^\circ$. Подставим это значение в уравнение и найдем сумму двух других углов треугольника $MOP$:
$\angle OMP + \angle OPM + 145^\circ = 180^\circ$
$\angle OMP + \angle OPM = 180^\circ - 145^\circ$
$\angle OMP + \angle OPM = 35^\circ$

Поскольку $MO$ и $PO$ — это биссектрисы углов $\angle KMP$ и $\angle KPM$ соответственно, они делят эти углы пополам. Следовательно:
$\angle OMP = \frac{1}{2} \angle KMP$
$\angle OPM = \frac{1}{2} \angle KPM$

Подставим эти выражения в равенство для суммы углов $\angle OMP$ и $\angle OPM$:
$\frac{1}{2} \angle KMP + \frac{1}{2} \angle KPM = 35^\circ$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\frac{1}{2} (\angle KMP + \angle KPM) = 35^\circ$

Чтобы найти сумму углов $\angle KMP$ и $\angle KPM$ в исходном треугольнике $MPK$, умножим обе части последнего равенства на 2:
$\angle KMP + \angle KPM = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $MPK$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:
$\angle MKP + \angle KMP + \angle KPM = 180^\circ$

Мы уже вычислили, что сумма углов $\angle KMP + \angle KPM$ равна $70^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$\angle MKP + 70^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим искомый угол $\angle MKP$:
$\angle MKP = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $128^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $128^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим два возможных случая, которые зависят от того, биссектрисы каких углов пересекаются.

Случай 1. Пересекаются биссектрисы углов при основании.

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $\alpha$, а угол при вершине — $\beta$. Биссектрисы углов при основании образуют с основанием треугольник, два угла которого равны $\frac{\alpha}{2}$. Третий угол этого треугольника, являющийся углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha$.

При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, один из которых острый, а другой — тупой (если они не прямые). По условию, один из углов равен $128^\circ$, следовательно, это тупой угол. Таким образом, угол, образованный пересечением биссектрис внутри треугольника, должен быть равен $128^\circ$ (если он тупой) или $180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$ (если он острый).

Если предположить, что $180^\circ - \alpha = 52^\circ$, то $\alpha = 128^\circ$. Сумма двух таких углов $128^\circ + 128^\circ = 256^\circ$ превышает $180^\circ$, что для треугольника невозможно. Значит, угол пересечения биссектрис равен $128^\circ$.
$180^\circ - \alpha = 128^\circ$.
Отсюда $\alpha = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Углы при основании треугольника равны по $52^\circ$.
Угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 52^\circ = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.
Проверка: $52^\circ + 52^\circ + 76^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $52^\circ, 52^\circ, 76^\circ$.

Случай 2. Пересекаются биссектриса угла при основании и биссектриса угла при вершине.

Пусть углы при основании по-прежнему равны $\alpha$, а угол при вершине — $\beta$. Биссектрисы угла при основании и угла при вершине образуют треугольник, два угла которого равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Третий угол этого треугольника, образованный пересечением биссектрис, равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2})$.

Зная, что $2\alpha + \beta = 180^\circ$, выразим угол пересечения:
Угол = $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + (180^\circ - 2\alpha)}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку угол $\alpha$ в треугольнике положителен ($\alpha>0$), то угол $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ всегда будет тупым. Следовательно, он и равен $128^\circ$.
$90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 128^\circ$
$\frac{\alpha}{2} = 128^\circ - 90^\circ = 38^\circ$
$\alpha = 76^\circ$.
Углы при основании треугольника равны по $76^\circ$.
Угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 76^\circ = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$.
Проверка: $76^\circ + 76^\circ + 28^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $76^\circ, 76^\circ, 28^\circ$.

Поскольку оба рассмотренных случая приводят к допустимым, но разным наборам углов, задача имеет два решения.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AM$. Найдите угол $HAM$, если $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle ABC = 78^\circ$.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AM$. Найдите угол $HAM$, если $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle ABC = 78^\circ$.

Для нахождения угла $HAM$ необходимо последовательно найти величины углов $BAM$ и $BAH$.

1. Нахождение угла $BAM$

По условию, отрезок $AM$ является биссектрисой угла $BAC$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно, угол $BAM$ равен половине угла $BAC$.

$\angle BAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{28^\circ}{2} = 14^\circ$.

2. Нахождение угла $BAH$

По условию, $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$. Это означает, что $AH$ перпендикулярна $BC$, и треугольник $ABH$ является прямоугольным, где $\angle AHB = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Отсюда можем найти угол $BAH$:

$\angle BAH + \angle ABH = 90^\circ$

Угол $\angle ABH$ совпадает с углом $\angle ABC$ треугольника, который по условию равен $78^\circ$.

$\angle BAH + 78^\circ = 90^\circ$

$\angle BAH = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$.

3. Нахождение угла $HAM$

Искомый угол $HAM$ — это угол между высотой $AH$ и биссектрисой $AM$. Его можно найти как разность между углами $BAM$ и $BAH$.

$\angle HAM = \angle BAM - \angle BAH$

Подставим найденные значения:

$\angle HAM = 14^\circ - 12^\circ = 2^\circ$.

Ответ: $2^\circ$

119. Один из углов треугольника равен $130^{\circ}$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $10^{\circ}$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $130^{\circ}$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $10^{\circ}$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle B$, равен $130^\circ$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ (где $H$ — точка на прямой $AC$) и биссектриса $BL$ (где $L$ — точка на стороне $AC$). По условию, угол между высотой и биссектрисой $\angle HBL = 10^\circ$.

Биссектриса $BL$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:
$\angle ABL = \angle LBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$.

Поскольку угол $\angle B = 130^\circ$ является тупым, два других угла треугольника, $\angle A$ и $\angle C$, обязательно будут острыми (их сумма равна $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$). В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины тупого угла, падает на противолежащую сторону, то есть точка $H$ лежит между $A$ и $C$.

Высота $BH$ может располагаться либо между стороной $BA$ и биссектрисой $BL$, либо между биссектрисой $BL$ и стороной $BC$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Высота $BH$ находится между стороной $BA$ и биссектрисой $BL$.
В этом случае $\angle ABH$ равен разности углов $\angle ABL$ и $\angle HBL$:
$\angle ABH = \angle ABL - \angle HBL = 65^\circ - 10^\circ = 55^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом $\angle BHA$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
Сумма всех углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 35^\circ - 130^\circ = 15^\circ$.

Случай 2: Высота $BH$ находится между биссектрисой $BL$ и стороной $BC$.
В этом случае $\angle HBC$ равен разности углов $\angle LBC$ и $\angle HBL$:
$\angle HBC = \angle LBC - \angle HBL = 65^\circ - 10^\circ = 55^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ (с прямым углом $\angle BHC$). Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
Найдем третий угол $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 35^\circ - 130^\circ = 15^\circ$.

В обоих случаях мы получаем, что неизвестные углы треугольника равны $15^\circ$ и $35^\circ$.

Ответ: $15^\circ, 35^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $BD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 110^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $BD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 110^\circ$.

Дано: треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $BD$ — биссектриса $\angle B$, $\angle ADB = 110^\circ$.

Найти: острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

Решение:

1. Рассмотрим углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Эти углы являются смежными, так как они лежат на одной прямой $AC$ и имеют общую сторону $BD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADB$

Подставим известное значение $\angle ADB = 110^\circ$:

$\angle BDC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $BDC$ нам известны два угла: $\angle C = 90^\circ$ (по условию) и $\angle BDC = 70^\circ$ (из п.1). Найдем третий угол, $\angle DBC$:

$\angle DBC = 180^\circ - (\angle C + \angle BDC)$

$\angle DBC = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

3. По условию, отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle DBC$

$\angle ABC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

Таким образом, мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$: $\angle B = 40^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$.

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

Найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

Итак, острые углы треугольника $ABC$ равны $40^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: острые углы треугольника равны $40^\circ$ и $50^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $O$.

Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle AOH = 77^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $O$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle AOH = 77^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOH$, образованный пересечением высоты $CH$ и биссектрисы $AM$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, для $\triangle AOH$ справедливо равенство:
$\angle OAH + \angle AHO + \angle AOH = 180^\circ$.

Определим величины углов в этом равенстве:

• $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, поэтому $CH \perp AB$. Это означает, что $\angle CHA = 90^\circ$. Угол $\angle AHO$ в треугольнике $AOH$ является этим же углом, так что $\angle AHO = 90^\circ$.
• $AM$ — биссектриса угла $\angle A$, поэтому она делит его пополам. Следовательно, $\angle OAH = \frac{1}{2}\angle A$.
• По условию задачи, $\angle AOH = 77^\circ$.

Подставим известные значения в уравнение суммы углов треугольника $AOH$ и решим его относительно $\angle A$:
$\frac{1}{2}\angle A + 90^\circ + 77^\circ = 180^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A + 167^\circ = 180^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A = 180^\circ - 167^\circ$
$\frac{1}{2}\angle A = 13^\circ$
$\angle A = 2 \cdot 13^\circ = 26^\circ$

Мы нашли один из острых углов прямоугольного треугольника $ABC$. Второй острый угол, $\angle B$, найдем из свойства, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$:
$\angle A + \angle B = 90^\circ$
$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $26^\circ$ и $64^\circ$.

122. Существует ли треугольник со сторонами:

1) 8 см, 11 см, 19 см;

2) 9 см, 17 см, 27 см? Ответ обоснуйте.

122. Существует ли треугольник со сторонами:

1) 8 см, 11 см, 19 см?

2) 9 см, 17 см, 27 см?

Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными сторонами, необходимо воспользоваться правилом (неравенством) треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон. На практике достаточно проверить, будет ли сумма двух меньших сторон больше третьей, самой большой стороны.

1)

Даны стороны: 8 см, 11 см, 19 см.
Обозначим стороны как $a=8$, $b=11$ и $c=19$.
Проверим, выполняется ли неравенство для самой большой стороны ($c=19$ см): $a + b > c$.
Подставим значения:
$8 + 11 > 19$
$19 > 19$
Данное неравенство является неверным, так как 19 не больше 19, а равно 19. Условие строгого неравенства не выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует (стороны образуют вырожденный треугольник, то есть отрезок на прямой).
Ответ: нет, не существует.

2)

Даны стороны: 9 см, 17 см, 27 см.
Обозначим стороны как $a=9$, $b=17$ и $c=27$.
Проверим, выполняется ли неравенство для самой большой стороны ($c=27$ см): $a + b > c$.
Подставим значения:
$9 + 17 > 27$
$26 > 27$
Данное неравенство является неверным, так как 26 меньше 27. Сумма двух сторон меньше третьей. Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует.
Ответ: нет, не существует.

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AC = 6 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$.

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AC = 6$ см, $BC = 12$ см.

По определению, в равнобедренном треугольнике две стороны равны. В треугольнике $ABC$ даны две стороны: $AC = 6$ см и $BC = 12$ см. Третья сторона $AB$ должна быть равна одной из двух данных сторон, чтобы треугольник был равнобедренным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Сторона $AB$ равна стороне $AC$.

Если $AB = AC$, то $AB = 6$ см. В этом случае стороны треугольника будут равны 6 см, 6 см и 12 см. Для того чтобы треугольник мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух его сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим это условие: $6 + 6 > 12$. Получаем $12 > 12$, что является неверным утверждением. Следовательно, треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 12 см существовать не может.

2. Сторона $AB$ равна стороне $BC$.

Если $AB = BC$, то $AB = 12$ см. В этом случае стороны треугольника будут равны 12 см, 12 см и 6 см. Проверим неравенство треугольника для этих сторон:

• $12 + 12 > 6 \implies 24 > 6$ (верно)
• $12 + 6 > 12 \implies 18 > 12$ (верно)

Все условия неравенства треугольника выполняются, значит, такой треугольник существует. В нем стороны $AB$ и $BC$ являются боковыми, а $AC$ — основанием.

Таким образом, единственно возможным вариантом является второй случай.

Ответ: 12 см.

124. Сравните углы треугольника $MKF$, если $MK > KF$ и $MK = MF$.

124. Сравните углы треугольника $MKF$, если $MK > KF$ и $MK = MF$.

В треугольнике $MKF$ по условию $MK = MF$. Это значит, что треугольник $MKF$ является равнобедренным с основанием $KF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углом, противолежащим стороне $MF$, является $\angle K$, а углом, противолежащим стороне $MK$, является $\angle F$. Следовательно, $\angle K = \angle F$.

Также по условию известно, что $MK > KF$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Стороне $MK$ противолежит угол $\angle F$, а стороне $KF$ противолежит угол $\angle M$. Так как $MK > KF$, то и угол, лежащий против стороны $MK$, больше угла, лежащего против стороны $KF$. Таким образом, $\angle F > \angle M$.

Объединив оба вывода ($\angle K = \angle F$ и $\angle F > \angle M$), получаем итоговое соотношение между углами треугольника $MKF$.

Ответ: $\angle K = \angle F > \angle M$.