Страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $DF$ и хорда $FE$. Найдите $\angle FDE$, если $\angle FEO = 23^{\circ}$.

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $DF$ и хорда $FE$. Найдите $\angle FDE$, если $\angle FEO = 23^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $FEO$. Поскольку $O$ — центр окружности, отрезки $OF$ и $OE$ являются радиусами этой окружности, следовательно, они равны: $OF = OE$. Это означает, что треугольник $FEO$ является равнобедренным с основанием $FE$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle OFE = \angle FEO$. По условию задачи дано, что $\angle FEO = 23^\circ$, значит, и $\angle OFE = 23^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $FDE$. Угол $\angle FED$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $DF$. Согласно свойству, вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle FED = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $FDE$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $FDE$ это означает, что $\angle FDE + \angle DFE = 90^\circ$.

Угол $\angle DFE$ — это тот же самый угол, что и $\angle OFE$, так как точки $D$, $O$ и $F$ лежат на одной прямой (диаметре). Мы уже установили, что $\angle OFE = 23^\circ$, поэтому $\angle DFE = 23^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle FDE$:

$\angle FDE = 90^\circ - \angle DFE = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

Ответ: $67^\circ$.

155. На рисунке 259 хорда $ME$ пересекает диаметр $CD$ в точке $A$, $\angle MNA = \angle EFA = 90^\circ$, $\angle MAN = 30^\circ$, сумма длин отрезков $MN$ и $EF$ равна 16 см. Найдите хорду $EM$.

Рис. 259

155. На рисунке 259 хорда $ME$ пересекает диаметр $CD$ в точке $A$, $\angle MNA = \angle EFA = 90^\circ$, $\angle MAN = 30^\circ$, сумма длин отрезков $MN$ и $EF$ равна 16 см. Найдите хорду $EM$.

Рис. 259

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMNA$, так как по условию $∠MNA = 90°$. В этом треугольнике катет $MN$ лежит напротив угла $∠MAN = 30°$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$sin(∠MAN) = \frac{MN}{AM}$

Отсюда можем выразить длину катета $MN$ через гипотенузу $AM$:

$MN = AM \cdot sin(30°)$

Поскольку значение $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MN = \frac{1}{2}AM$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔEFA$, так как по условию $∠EFA = 90°$. Углы $∠MAN$ и $∠EAF$ являются вертикальными, а значит, они равны:

$∠EAF = ∠MAN = 30°$

В треугольнике $ΔEFA$ катет $EF$ лежит напротив угла $∠EAF = 30°$. Аналогично первому случаю, запишем:

$sin(∠EAF) = \frac{EF}{AE}$

Выразим длину катета $EF$ через гипотенузу $AE$:

$EF = AE \cdot sin(30°) = \frac{1}{2}AE$

По условию задачи нам дана сумма длин отрезков $MN$ и $EF$:

$MN + EF = 16$ см

Подставим в это уравнение найденные выражения для $MN$ и $EF$:

$\frac{1}{2}AM + \frac{1}{2}AE = 16$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобку:

$\frac{1}{2}(AM + AE) = 16$

Так как точка $A$ лежит на хорде $ME$ (является точкой пересечения хорды и диаметра), то длина хорды $ME$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $AE$:

$ME = AM + AE$

Подставив это в наше уравнение, получим:

$\frac{1}{2}ME = 16$

Для нахождения длины хорды $ME$ умножим обе части уравнения на 2:

$ME = 16 \cdot 2 = 32$ см

Ответ: 32 см.

156. Дан отрезок $MN$ длиной 3 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $MN$.

156. Дан отрезок $MN$ длиной $3 \text{ см}$. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии $3 \text{ см}$ от прямой $MN$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ), необходимо определить множество точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям.

1. Первое условие гласит, что искомые точки должны быть равноудалены от точек $M$ и $N$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, все искомые точки лежат на прямой $p$, которая перпендикулярна отрезку $MN$ и проходит через его середину.

2. Второе условие гласит, что искомые точки должны находиться на расстоянии 3 см от прямой $MN$. Геометрическим местом точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, являются две параллельные прямые, расположенные по разные стороны от данной прямой на этом расстоянии. Таким образом, все искомые точки лежат на одной из двух прямых, $l_1$ или $l_2$, которые параллельны прямой $MN$ и удалены от неё на 3 см.

Искомое ГМТ — это пересечение множеств точек, удовлетворяющих первому и второму условиям. Следовательно, нам нужно найти точки пересечения серединного перпендикуляра $p$ с двумя параллельными прямыми $l_1$ и $l_2$.

Поскольку прямая $p$ перпендикулярна прямой $MN$, а прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны прямой $MN$, то прямая $p$ перпендикулярна и прямым $l_1$ и $l_2$. Прямая, перпендикулярная двум различным параллельным прямым, пересекает каждую из них ровно в одной точке.

Следовательно, прямая $p$ пересечёт прямую $l_1$ в одной точке и прямую $l_2$ в другой. Эти две точки и составляют искомое ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$ и находящиеся на расстоянии 3 см от прямой $MN$ (по разные стороны от неё).

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих двум независимым условиям, и найти их пересечение.

Первое условие: равноудаленность от точек M и N

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек $M$ и $N$, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Обозначим эту прямую как $p$. Эта прямая перпендикулярна прямой, содержащей сторону угла с точками $M$ и $N$.

Второе условие: расстояние 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла

Пусть прямая, содержащая вторую сторону угла, обозначена как $l$. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии (3 см) от прямой $l$, — это две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и расположенные на расстоянии 3 см от нее по обе стороны.

Построение искомого ГМТ

Искомое ГМТ — это пересечение множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Таким образом, нам нужно найти точки пересечения прямой $p$ (серединного перпендикуляра) с парой прямых $l_1$ и $l_2$.

Пусть прямая, на которой лежат точки $M$ и $N$, — это прямая $a$. Тогда $p \perp a$. Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны прямой $l$. В условии сказано, что угол, образованный прямыми $a$ и $l$, — тупой. Это значит, что угол между прямыми $a$ и $l$ не равен $90^\circ$.

Так как $p \perp a$, а $a$ и $l$ не перпендикулярны, то прямая $p$ не может быть параллельна прямой $l$. А раз прямая $p$ не параллельна $l$, она не параллельна и прямым $l_1$ и $l_2$.

Любые две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая $p$ пересечет прямую $l_1$ в одной точке, и прямую $l_2$ — в другой. Эти две точки и будут составлять искомое ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из двух точек. Они являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой, содержащей вторую сторону угла, и находятся на расстоянии 3 см от нее.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 3 раза больше её радиуса.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 3 раза больше её радиуса.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. Обозначим произвольную точку искомого ГМТ буквой $M$.

Согласно условию задачи, расстояние от точки $M$ до центра $O$ данной окружности должно быть в 3 раза больше её радиуса $R$. Математически это условие записывается в виде равенства: $OM = 3 \times R$.

По определению, окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) постоянно и равно радиусу. В нашем случае все искомые точки $M$ находятся на постоянном расстоянии, равном $3R$, от одной и той же точки $O$.

Следовательно, искомое ГМТ является окружностью с центром в той же точке $O$, что и у данной окружности, и с радиусом, равным $3R$. Такие окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, концентрическая данной, радиус которой в 3 раза больше радиуса данной окружности.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 4 см от прямой $a$ и 1 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихсяся на расстоянии $4 \text{ см}$ от прямой $a$ и $1 \text{ см}$ от прямой $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две прямые, параллельные исходной и расположенные на этом расстоянии по обе стороны от нее.

1. ГМТ, находящихся на расстоянии $4 \text{ см}$ от прямой $a$, состоит из двух прямых, назовем их $a_1$ и $a_2$. Прямые $a_1$ и $a_2$ параллельны прямой $a$ и удалены от нее на $4 \text{ см}$.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии $1 \text{ см}$ от прямой $b$, состоит из двух прямых, назовем их $b_1$ и $b_2$. Прямые $b_1$ и $b_2$ параллельны прямой $b$ и удалены от нее на $1 \text{ см}$.

Искомые точки должны удовлетворять обоим условиям одновременно, следовательно, они являются точками пересечения этих двух пар параллельных прямых.

Поскольку по условию прямые $a$ и $b$ пересекаются, то каждая из прямых $a_1$ и $a_2$ пересечет каждую из прямых $b_1$ и $b_2$. Таким образом, мы получаем четыре точки пересечения. Эти четыре точки и составляют искомое ГМТ. Геометрически они являются вершинами параллелограмма, центр которого совпадает с точкой пересечения прямых $a$ и $b$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это четыре точки.

160. Даны точки $P$ и $D$. Найдите ГМТ вершин $F$ треугольников $PDF$ таких, что медиана $FB$ равна 3,5 см.

160. Даны точки $P$ и $D$. Найдите ГМТ вершин $F$ треугольников $PDF$ таких, что медиана $FB$ равна 3,5 см.

Пусть $P$ и $D$ — две данные фиксированные точки. В треугольнике $PDF$ отрезок $FB$ является медианой, проведенной из вершины $F$ к стороне $PD$.

По определению медианы, точка $B$ является серединой стороны $PD$. Так как точки $P$ и $D$ зафиксированы, их середина, точка $B$, также является фиксированной точкой на плоскости.

По условию задачи, длина медианы $FB$ постоянна и равна 3,5 см. Это означает, что расстояние от искомой вершины $F$ до фиксированной точки $B$ всегда составляет 3,5 см, то есть $|FB| = 3,5$ см.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на постоянном расстоянии от некоторой фиксированной точки, является окружностью. Центром этой окружности является фиксированная точка, а радиусом — заданное расстояние.

Таким образом, искомое ГМТ для вершины $F$ — это окружность с центром в точке $B$ (середине отрезка $PD$) и радиусом $R = 3,5$ см.

Важно учесть, что для существования треугольника $PDF$ его вершины $P$, $D$ и $F$ не должны лежать на одной прямой. Если точка $F$ будет лежать на прямой, проходящей через точки $P$ и $D$, то треугольник вырождается в отрезок. Точки пересечения найденной окружности с прямой $PD$ как раз и являются теми положениями вершины $F$, при которых три точки оказываются коллинеарными.

Следовательно, эти две точки необходимо исключить из искомого ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в середине отрезка $PD$ и радиусом 3,5 см, за исключением двух точек пересечения этой окружности с прямой $PD$.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые a и b. Расстояние между ними обозначим как h, по условию h = 2,5 см. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), для каждой из которых (обозначим её M) сумма расстояний до прямых a и b равна 4 см. Пусть d_a — расстояние от точки M до прямой a, а d_b — расстояние от точки M до прямой b. Согласно условию задачи, должно выполняться равенство: $d_a + d_b = 4$ см.

Рассмотрим все возможные расположения точки M в плоскости относительно прямых a и b.

1. Точка M находится в полосе между прямыми a и b.
Если точка M расположена между параллельными прямыми, то сумма расстояний от этой точки до прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми.
В нашем случае: $d_a + d_b = h = 2,5$ см.
Это значение не соответствует условию задачи, так как $2,5 \text{ см} \neq 4 \text{ см}$. Следовательно, в полосе между данными прямыми искомых точек нет.

2. Точка M находится вне полосы, образованной прямыми a и b.
В этом случае точка M расположена по одну сторону от обеих прямых. Это означает, что одна из прямых находится между точкой M и другой прямой.
Предположим, что точка M находится со стороны прямой b, но вне полосы. Тогда расстояние до дальней прямой a будет равно сумме расстояния до ближней прямой b и расстояния между прямыми h.
$d_a = d_b + h$
Подставим это выражение в исходное условие $d_a + d_b = 4$:
$(d_b + h) + d_b = 4$
$2d_b + 2,5 = 4$
$2d_b = 4 - 2,5$
$2d_b = 1,5$
$d_b = 0,75$ см.
Это означает, что все точки, удовлетворяющие условию, должны находиться на расстоянии 0,75 см от прямой b (с внешней стороны полосы). Множество таких точек образует прямую, параллельную b.
Аналогично, если точка M находится со стороны прямой a, но вне полосы, то $d_b = d_a + h$. Подставим это в условие:
$d_a + (d_a + h) = 4$
$2d_a + 2,5 = 4$
$2d_a = 1,5$
$d_a = 0,75$ см.
Это множество точек образует вторую прямую, параллельную a и расположенную на расстоянии 0,75 см от нее с внешней стороны полосы.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, параллельных данным.

Ответ: Искомое ГМТ — это пара прямых, параллельных данным, расположенных вне полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 0,75 см от ближайшей к каждой из них прямой.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 6 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 6 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми $h = 4$ см. Нам нужно найти геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых меньше 6 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ как $d_b$. По условию задачи, мы ищем множество точек $M$, удовлетворяющих неравенству:

$d_a + d_b < 6$

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

1. Точка M лежит в полосе между прямыми $a$ и $b$, включая сами прямые.

Если точка $M$ находится между параллельными прямыми $a$ и $b$ или на одной из них, то сумма расстояний от этой точки до прямых всегда равна расстоянию между этими прямыми. То есть:

$d_a + d_b = h = 4$ см

Проверим, выполняется ли для этих точек условие задачи: $4 < 6$. Это неравенство верное. Следовательно, все точки, расположенные в полосе между прямыми $a$ и $b$ (включая сами прямые), являются частью искомого ГМТ.

2. Точка M лежит вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Пусть точка $M$ находится вне полосы. Это означает, что одна из прямых, например $a$, лежит между точкой $M$ и другой прямой $b$. Пусть расстояние от точки $M$ до ближайшей к ней прямой (в данном случае $a$) равно $x$. Тогда расстояние от $M$ до другой прямой $b$ будет равно сумме расстояния между прямыми и расстояния от $M$ до $a$, то есть $h + x = 4 + x$.

Сумма расстояний в этом случае равна:

$d_a + d_b = x + (4 + x) = 2x + 4$

Подставим это выражение в наше исходное неравенство:

$2x + 4 < 6$

Решим это неравенство относительно $x$:

$2x < 6 - 4$

$2x < 2$

$x < 1$

Поскольку $x$ представляет собой расстояние, оно должно быть положительным: $x > 0$. Таким образом, мы получаем условие $0 < x < 1$.

Это означает, что искомые точки, лежащие вне исходной полосы, должны находиться на расстоянии менее 1 см от ближайшей к ним прямой ($a$ или $b$).

Объединение результатов

Искомое ГМТ состоит из:

• Всех точек, лежащих в полосе шириной 4 см между исходными прямыми $a$ и $b$.
• Всех точек из двух соседних полос, каждая из которых примыкает к одной из исходных прямых с внешней стороны и имеет ширину 1 см. Границы этих внешних полос, находящиеся на расстоянии 1 см от исходных прямых, не включаются в ГМТ, так как неравенство строгое.

В совокупности эти три области образуют единую открытую полосу, симметричную относительно исходных прямых. Общая ширина этой полосы равна сумме ширин трех частей: $1 \text{ см} + 4 \text{ см} + 1 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Эта полоса ограничена двумя прямыми, параллельными исходным, каждая из которых находится на расстоянии 1 см от ближайшей из исходных прямых (с внешней стороны).

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытая полоса шириной 6 см, ограниченная двумя прямыми, параллельными данным. Данные прямые лежат внутри этой полосы и делят ее на три части шириной 1 см, 4 см и 1 см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $D$. На касательной по разные стороны от точки $D$ отметили точки $E$ и $F$ такие, что $\angle OED = \angle OFD$. Найдите угол $\angle FOD$, если $\angle EOD = 54^{\circ}$.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $D$.

На касательной по разные стороны от точки $D$ отметили точки $E$ и $F$ такие, что $\angle OED = \angle OFD$. Найдите угол $FOD$, если $\angle EOD = 54^\circ$.

Рассмотрим треугольники $ΔOED$ и $ΔOFD$.

Поскольку прямая, содержащая точки E, D, и F, является касательной к окружности с центром O в точке D, то радиус $OD$ перпендикулярен этой касательной. Это означает, что $∠ODE = 90°$ и $∠ODF = 90°$. Следовательно, треугольники $ΔOED$ и $ΔOFD$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Сторона $OD$ является общей для обоих треугольников (общий катет).

2. По условию задачи, $∠OED = ∠OFD$ (равные острые углы).

Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему острому углу. Таким образом, $ΔOED = ΔOFD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠FOD$ в треугольнике $ΔOFD$ соответствует углу $∠EOD$ в треугольнике $ΔOED$.

Следовательно, $∠FOD = ∠EOD$.

По условию задачи дано, что $∠EOD = 54°$, значит, искомый угол $∠FOD$ также равен $54°$.

Ответ: $54°$.