Страница 90 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. На рисунке 245 найдите градусную меру угла x.

Рис. 245

a

m, n, a, b, 120°, 60°, 95°, $x$

б

m, n, a, b, 105°, 50°, 50°, $x$

98. На рисунке 245 найдите градусную меру угла x.

Рис. 245

Изображение с углами: $60^\circ$, $120^\circ$, $95^\circ$, $x$. Прямые: $m$, $n$, $a$, $b$.

Изображение с углами: $105^\circ$, $50^\circ$, $50^\circ$, $x$. Прямые: $m$, $n$, $a$, $b$.

а

Рассмотрим прямые $m$ и $n$ и секущую $a$. Углы, равные $60^\circ$ и $120^\circ$, являются внутренними односторонними углами. Согласно признаку параллельности двух прямых, если сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух прямых секущей равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие:

$60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, то прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Теперь рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $b$. Углы $95^\circ$ и $x$ также являются внутренними односторонними углами. По свойству параллельных прямых, сумма таких углов равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$95^\circ + x = 180^\circ$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = 180^\circ - 95^\circ$

$x = 85^\circ$

Ответ: $85^\circ$

б

Рассмотрим прямые $m$ и $n$ и секущую $b$. Два угла по $50^\circ$ являются внутренними накрест лежащими углами. Согласно признаку параллельности двух прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как $50^\circ = 50^\circ$, то прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Теперь рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $a$. Углы $105^\circ$ и $x$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.

Следовательно, $x = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 5 раз меньше другого. Найдите эти углы.

99. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 5 раз меньше другого. Найдите эти углы.

По свойству односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, их сумма равна $180^{\circ}$.

Пусть $x$ — градусная мера меньшего угла. Тогда, согласно условию задачи, градусная мера большего угла будет $5x$.

Составим и решим уравнение, исходя из суммы этих углов:
$x + 5x = 180^{\circ}$
$6x = 180^{\circ}$
$x = \frac{180^{\circ}}{6}$
$x = 30^{\circ}$

Таким образом, меньший угол равен $30^{\circ}$.

Найдем больший угол:
$5x = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Следовательно, искомые углы равны $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.

100. На рисунке 246 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $APM$ и $DKN$ параллельны.

Рис. 246

100. На рисунке 246 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $APM$ и $DKN$ параллельны.

Рис. 246

По условию задачи, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $MN$ является секущей.

1. Рассмотрим углы $∠APM$ и $∠CKP$. Они являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MN$. Следовательно, эти углы равны:
$∠APM = ∠CKP$.

2. Пусть $PL$ — биссектриса угла $∠APM$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$∠APL = \frac{1}{2}∠APM$.

3. Рассмотрим угол $∠DKN$. Он является вертикальным с углом $∠CKP$. Следовательно, они равны:
$∠DKN = ∠CKP$.

4. Из равенств в пунктах 1 и 3 следует, что $∠APM = ∠DKN$.

5. Пусть $KF$ — биссектриса угла $∠DKN$. По определению биссектрисы:
$∠DKF = \frac{1}{2}∠DKN$.

6. Так как $∠APM = ∠DKN$, то и половины этих углов равны: $\frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠DKN$.
Следовательно, $∠APL = ∠DKF$.

7. Теперь докажем параллельность биссектрис $PL$ и $KF$. Для этого воспользуемся другим свойством углов. Углы $∠APM$ и $∠PKD$ являются соответственными, значит $∠APM = ∠PKD$.
Так как $PL$ — биссектриса $∠APM$, то $∠APL = \frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠PKD$.

8. Углы $∠PKD$ и $∠DKN$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
$∠PKD + ∠DKN = 180^\circ$.

9. Рассмотрим сумму углов $∠LPK$ и $∠PKF$. Угол $∠LPK$ состоит из угла $∠APL$ и угла $∠APK$.
$∠LPK = ∠APL + ∠APK = \frac{1}{2}∠PKD + ∠APK$.
Угол $∠PKF$ по определению равен $∠PKD + ∠DKF = ∠PKD + \frac{1}{2}∠DKN$.
Этот подход усложняет доказательство. Вернемся к более простому методу с использованием вспомогательной биссектрисы.

Доказательство (альтернативный, более строгий способ):
1. Как было показано ранее, соответственные углы $∠APM$ и $∠CKP$ равны.
2. Пусть $PL$ — биссектриса $∠APM$, а $KG$ — биссектриса $∠CKP$.
3. Из равенства $∠APM = ∠CKP$ следует равенство их половин: $\frac{1}{2}∠APM = \frac{1}{2}∠CKP$, то есть $∠APL = ∠PKG$.
4. Углы $∠APL$ и $∠PKG$ являются соответственными для прямых $PL$, $KG$ и секущей $MN$. Так как эти углы равны, то прямые $PL$ и $KG$ параллельны: $PL \parallel KG$.
5. Углы $∠CKP$ и $∠DKN$ — вертикальные. Биссектриса $KF$ угла $∠DKN$ и биссектриса $KG$ угла $∠CKP$ являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.
6. Поскольку $PL \parallel KG$, а прямая $KG$ совпадает с прямой $KF$, то $PL \parallel KF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $P$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла сторону $BA$ в точке $N$. Найдите углы $BPN$ и $BNP$, если $\angle ABC = 120^\circ$.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $P$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла сторону $BA$ в точке $N$. Найдите углы $BPN$ и $BNP$, если $\angle ABC = 120^\circ$.

Найдите углы BPN и BNP

По условию задачи, луч BP является биссектрисой угла ABC. Это означает, что он делит угол ABC на два равных угла: $\angle ABP$ и $\angle PBC$. Так как $\angle ABC = 120°$, то:
$\angle ABP = \angle PBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.
Поскольку точка N лежит на стороне BA, то угол $\angle ABP$ совпадает с углом $\angle NBP$. Следовательно, $\angle NBP = 60°$.

Также по условию, прямая NP параллельна стороне BC ($NP \parallel BC$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую BP. Углы $\angle BPN$ и $\angle PBC$ являются накрест лежащими углами. При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
Следовательно, $\angle BPN = \angle PBC$.
Так как мы уже нашли, что $\angle PBC = 60°$, то и $\angle BPN = 60°$.

Теперь рассмотрим треугольник BPN. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
$\angle BNP + \angle NBP + \angle BPN = 180°$.
Мы уже знаем два угла этого треугольника: $\angle NBP = 60°$ и $\angle BPN = 60°$. Подставим известные значения в формулу:
$\angle BNP + 60° + 60° = 180°$
$\angle BNP + 120° = 180°$
$\angle BNP = 180° - 120°$
$\angle BNP = 60°$.

Ответ: $\angle BPN = 60°$, $\angle BNP = 60°$.

102. На рисунке 247 биссектрисы углов $AMP$ и $BMP$ пересекают прямую $CD$ в точках $F$ и $E$. Докажите, что если $MP = PE$, то $FP = PE$.

Рис. 247

102. На рисунке 247 биссектрисы углов $AMP$ и $BMP$ пересекают прямую $CD$ в точках $F$ и $E$. Докажите, что если $MP = PE$, то $FP = PE$.

Рис. 247

Рассмотрим треугольник $MPE$. По условию задачи дано, что $MP = PE$. Это означает, что треугольник $MPE$ является равнобедренным с основанием $ME$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PME = \angle PEM$.

Также по условию, луч $ME$ является биссектрисой угла $BMP$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла, то есть $\angle BME = \angle PME$.

Из двух полученных равенств ($\angle PME = \angle PEM$ и $\angle BME = \angle PME$) следует, что $\angle BME = \angle PEM$. Углы $\angle BME$ и $\angle PEM$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $ME$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Теперь, используя доказанный факт параллельности прямых $AB$ и $CD$, рассмотрим их пересечение с секущей $MF$. Углы $\angle AMF$ и $\angle MFP$ являются внутренними накрест лежащими. Так как $AB \parallel CD$, эти углы равны: $\angle AMF = \angle MFP$.

По условию, луч $MF$ является биссектрисой угла $AMP$. Следовательно, $\angle AMF = \angle FMP$.

Сравнивая два последних равенства ($\angle AMF = \angle MFP$ и $\angle AMF = \angle FMP$), мы заключаем, что $\angle MFP = \angle FMP$.

Рассмотрим треугольник $FMP$. Так как два его угла, $\angle MFP$ и $\angle FMP$, равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Отсюда следует, что $FP = MP$.

Таким образом, мы установили, что $FP = MP$. Учитывая данное в условии равенство $MP = PE$, по свойству транзитивности получаем, что $FP = PE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $FP = PE$ доказано.

103. На рисунке 248 $AB \parallel DE$. Найдите $\angle BCD$, если $\angle ABC = 140^\circ$, $\angle CDE = 10^\circ$.

Рис. 248

103. На рисунке 248 $AB \parallel DE$. Найдите $\angle BCD$, если $\angle ABC = 140^\circ$, $\angle CDE = 10^\circ$.

Рис. 248

Решение:

Для решения задачи проведем через точку C прямую CF, параллельную прямой AB.

Поскольку по условию задачи прямая $AB \parallel DE$, а мы построили прямую $CF \parallel AB$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, прямая $CF$ также будет параллельна прямой $DE$ ($CF \parallel DE$).

Построенная прямая CF делит угол $∠BCD$ на два угла: $∠BCF$ и $∠FCD$. Таким образом, $∠BCD = ∠BCF + ∠FCD$.

1. Найдем угол $∠BCF$. Прямые AB и CF параллельны, а BC является секущей. Углы $∠ABC$ и $∠BCF$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180°$.

Следовательно:
$∠BCF = 180° - ∠ABC = 180° - 140° = 40°$.

2. Найдем угол $∠FCD$. Прямые CF и DE параллельны, а CD является секущей. Углы $∠FCD$ и $∠CDE$ являются внутренними накрест лежащими углами. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

Следовательно:
$∠FCD = ∠CDE = 10°$.

3. Теперь найдем искомый угол $∠BCD$, сложив два найденных угла:

$∠BCD = ∠BCF + ∠FCD = 40° + 10° = 50°$.

Ответ: $50°$.