Страница 93 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Сравните стороны треугольника MKE, если $ \angle M < \angle K $ и $ \angle E = \angle M $.

125. Сравните стороны треугольника MKE, если $ \angle M < \angle K $ и $ \angle E = \angle M $.

Для сравнения сторон треугольника $MKE$ воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против равных углов лежат равные стороны.

В задаче даны следующие условия для углов треугольника $MKE$:

1. $\angle M < \angle K$

2. $\angle E = \angle M$

Рассмотрим второе условие: $\angle E = \angle M$. В треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона, противолежащая углу $\angle E$, — это сторона $MK$. Сторона, противолежащая углу $\angle M$, — это сторона $KE$. Следовательно, из равенства углов следует, что треугольник $MKE$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны:

$MK = KE$

Теперь рассмотрим первое условие: $\angle M < \angle K$. Согласно теореме, сторона, лежащая напротив меньшего угла, короче стороны, лежащей напротив большего угла. Сторона, противолежащая углу $\angle M$, — это $KE$. Сторона, противолежащая углу $\angle K$, — это $ME$. Таким образом, из неравенства $\angle M < \angle K$ следует неравенство для длин противолежащих сторон:

$KE < ME$

Объединим полученные результаты. Мы установили, что $MK = KE$ и $KE < ME$. Сопоставив эти два соотношения, мы можем записать итоговое сравнение всех трех сторон треугольника:

$MK = KE < ME$

Ответ: $MK = KE < ME$.

126. Существует ли треугольник MPK, в котором $ \angle M = 75^\circ $, $ \angle K = 61^\circ $, $ PK = 28 \text{ см} $, $ MP = 30 \text{ см}? $

126. Существует ли треугольник MPK, в котором $\angle M = 75^{\circ}$, $\angle K = 61^{\circ}$, $PK = 28$ см, $MP = 30$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, необходимо проверить, выполняются ли для него основные свойства треугольников. Одно из таких свойств гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот.

В заданном треугольнике $MPK$ даны:

• Угол $\angle M = 75^\circ$
• Угол $\angle K = 61^\circ$
• Сторона $PK = 28$ см (лежит напротив угла $M$)
• Сторона $MP = 30$ см (лежит напротив угла $K$)

Сравним данные углы:

$75^\circ > 61^\circ$, следовательно, $\angle M > \angle K$.

Согласно свойству о соотношении сторон и углов в треугольнике, сторона, лежащая напротив большего угла, должна быть длиннее. То есть, сторона $PK$, лежащая напротив угла $\angle M$, должна быть длиннее стороны $MP$, лежащей напротив угла $\angle K$.

Математически это записывается как неравенство: $PK > MP$.

Подставим известные из условия значения длин сторон в это неравенство:

$28 \text{ см} > 30 \text{ см}$

Полученное неравенство является ложным, так как $28$ на самом деле меньше $30$. Это означает, что данные в условии задачи противоречат фундаментальному свойству треугольника.

Ответ: Треугольник $MPK$ с указанными параметрами не существует.

127. Существует ли треугольник MNT, в котором $\angle N = 98^\circ$, $MN = 12$ см, $MT = 10$ см?

127. Существует ли треугольник $MNT$, в котором $\angle N = 98^\circ$, $MN = 12$ см, $MT = 10$ см?

Чтобы определить, существует ли треугольник MNT с заданными параметрами (∠N = 98°, MN = 12 см, MT = 10 см), воспользуемся свойством соотношения между сторонами и углами треугольника.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Угол ∠N = 98°, так как $98^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым. В треугольнике может быть только один тупой угол, поэтому ∠N — наибольший угол в данном треугольнике.

Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большего угла лежит большая сторона.

В треугольнике MNT сторона MT лежит напротив угла ∠N. Так как ∠N — наибольший угол, то сторона MT должна быть наибольшей стороной. Следовательно, должно выполняться неравенство $MT > MN$.

Подставим известные значения в это неравенство:
$10 \text{ см} > 12 \text{ см}$

Данное неравенство является ложным, поскольку 10 меньше 12. Мы получили противоречие. Это означает, что треугольник с заданными параметрами не может существовать.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $69^\circ$?

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $69^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством соотношения сторон и углов треугольника: в любом треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Предположим, что такой треугольник существует. Если наименьшая сторона треугольника лежит против угла в $69^{\circ}$, то этот угол должен быть наименьшим в данном треугольнике.

Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 69^{\circ}$ и это наименьший угол. Тогда два других угла должны быть не меньше этого значения:
$\beta \ge 69^{\circ}$
$\gamma \ge 69^{\circ}$

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^{\circ}$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

Исходя из нашего предположения, найдем минимально возможную сумму углов в таком треугольнике:
$\alpha + \beta + \gamma \ge 69^{\circ} + 69^{\circ} + 69^{\circ}$
$\alpha + \beta + \gamma \ge 207^{\circ}$

Мы получили противоречие. Сумма углов в предполагаемом треугольнике должна быть не менее $207^{\circ}$, что невозможно, так как она всегда строго равна $180^{\circ}$. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такого треугольника неверно.

В общем случае, наименьший угол в любом треугольнике не может быть больше $60^{\circ}$. Если бы наименьший угол был больше $60^{\circ}$, то сумма всех трех углов была бы больше, чем $3 \times 60^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: нет, не может.

129. В треугольнике $PKE$ известно, что $PK = 1,4$ см, $PE = 2,5$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

129. В треугольнике $PKE$ известно, что $PK = 1,4$ см, $PE = 2,5$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон, но больше модуля их разности.

Пусть неизвестная третья сторона треугольника $PKE$ – это $KE$. Даны длины двух других сторон: $PK = 1,4$ см и $PE = 2,5$ см.

Согласно неравенству треугольника, длина стороны $KE$ должна удовлетворять следующему двойному неравенству:$|PE - PK| < KE < PE + PK$

Подставим известные значения в формулу:$|2,5 - 1,4| < KE < 2,5 + 1,4$

Вычислим границы для длины $KE$:$1,1 < KE < 3,9$

По условию задачи, длина третьей стороны $KE$, выраженная в сантиметрах, является целым числом. Найдём все целые числа, которые находятся в интервале $(1,1; 3,9)$.

Этому условию удовлетворяют целые числа $2$ и $3$.

Следовательно, длина третьей стороны треугольника может быть либо $2$ см, либо $3$ см. Так как существует два возможных варианта для длины третьей стороны, задача имеет два решения.

Ответ: длина третьей стороны равна 2 см или 3 см. Задача имеет 2 решения.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $54^\circ$. Найдите другой острый угол.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $54^\circ$. Найдите другой острый угол.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, который равен $90°$. Следовательно, сумма двух других, острых, углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $180° - 90° = 90°$.

Пусть один из острых углов, данный в условии, равен $\alpha = 54°$. Другой острый угол обозначим как $\beta$.

Исходя из свойства суммы острых углов прямоугольного треугольника, мы можем составить следующее уравнение:
$\alpha + \beta = 90°$

Чтобы найти неизвестный угол $\beta$, подставим в уравнение известное значение угла $\alpha$:
$54° + \beta = 90°$

Выразим $\beta$ из этого уравнения:
$\beta = 90° - 54°$
$\beta = 36°$

Таким образом, второй острый угол прямоугольного треугольника равен $36°$.

Ответ: $36°$.

131. На рисунке 251 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle CDB$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 251

131. На рисунке 251 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle CDB$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 251

Для доказательства равенства отрезков $ AC $ и $ BD $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $, в которые эти отрезки входят в качестве сторон.

По условию задачи нам дано:
1) $ \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} $, следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $ являются прямоугольными.
2) $ \angle BAC = \angle CDB $.
3) Сторона $ BC $ является общей для обоих треугольников.

Чтобы доказать равенство треугольников, найдем их третьи углы. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^{\circ} $.
В прямоугольном $ \triangle ABC $: $ \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - \angle BAC $.
В прямоугольном $ \triangle DCB $: $ \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle CDB = 90^{\circ} - \angle CDB $.

Так как по условию $ \angle BAC = \angle CDB $, то и выражения $ 90^{\circ} - \angle BAC $ и $ 90^{\circ} - \angle CDB $ равны. Следовательно, $ \angle BCA = \angle CBD $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle DCB $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
- $ BC $ — общая сторона.
- $ \angle ABC = \angle DCB = 90^{\circ} $ (углы, прилежащие к стороне $ BC $).
- $ \angle BCA = \angle CBD $ (углы, прилежащие к стороне $ BC $, как доказано выше).

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle DCB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. $ AC $ и $ BD $ являются гипотенузами в этих прямоугольных треугольниках (лежат напротив прямых углов $ \angle ABC $ и $ \angle DCB $ соответственно), поэтому они являются соответственными сторонами.
Следовательно, $ AC = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AC = BD $ доказано.

132. На рисунке 252 $ \angle ABO = \angle DCO = 90^\circ $, $ BO = CO $. Найдите $ OD $, если $ AO = 12 $ см.

132. На рисунке 252 $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ$, $BO = CO$. Найдите $OD$, если $AO = 12$ см.

Рис. 252

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$.

Согласно условию задачи, $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ$, что означает, что оба треугольника являются прямоугольными. Также по условию дано, что катеты $BO$ и $CO$ равны: $BO = CO$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle DOC$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равны катет и прилежащий к нему острый угол:

1. $BO = CO$ (по условию).
2. $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные углы).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle DCO$ равны по второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. В данном случае гипотенуза $AO$ треугольника $\triangle ABO$ (сторона, лежащая напротив прямого угла $\angle ABO$) соответствует гипотенузе $OD$ треугольника $\triangle DCO$ (сторона, лежащая напротив прямого угла $\angle DCO$). Значит, $AO = OD$.

По условию задачи $AO = 12$ см, следовательно, $OD = 12$ см.

Ответ: 12 см.

133. Из точки $M$, принадлежащей углу $ABC$, проведены перпендикуляры $ME$ и $MD$ к его сторонам. Найдите угол $DMB$, если $ \angle EMB = 52^\circ $ и $ BD = BE $.

133. Из точки $M$, принадлежащей углу $\angle ABC$, проведены перпендикуляры $ME$ и $MD$ к его сторонам. Найдите угол $\angle DMB$, если $\angle EMB = 52^\circ$ и $BD = BE$.

Рассмотрим два треугольника, $\triangle MDB$ и $\triangle MEB$.

По условию задачи, из точки $M$ проведены перпендикуляры $MD$ и $ME$ к сторонам угла $ABC$. Это означает, что треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle MEB$ являются прямоугольными, так как $\angle MDB = 90^{\circ}$ и $\angle MEB = 90^{\circ}$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. У них есть общая сторона $MB$, которая является гипотенузой для обоих треугольников.
2. Их катеты $BD$ и $BE$ равны по условию ($BD = BE$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle MDB \cong \triangle MEB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle DMB$ в треугольнике $\triangle MDB$ соответствует углу $\angle EMB$ в треугольнике $\triangle MEB$. Таким образом, $\angle DMB = \angle EMB$.

По условию задачи дано, что $\angle EMB = 52^{\circ}$. Значит, искомый угол $\angle DMB$ также равен $52^{\circ}$.

Ответ: $52^{\circ}$.

134. На рисунке 253 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle FEK = \angle DKE$. Докажите, что $DE = FK$.

Рис. 253

134. На рисунке 253 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle FEK = \angle DKE$. Докажите, что $DE = FK$.

Рис. 253

Для доказательства равенства отрезков $DE$ и $FK$ мы докажем равенство треугольников $\triangle DKE$ и $\triangle FEK$.

Из условия задачи известно, что $DA \perp EK$ и $FB \perp EK$. Это означает, что $DA$ и $FB$ являются перпендикулярами, опущенными из точек $D$ и $F$ на прямую, содержащую отрезок $EK$. Точки $A$ и $B$ являются основаниями этих перпендикуляров и, следовательно, лежат на прямой $EK$. Это значит, что треугольники $\triangle DAK$ и $\triangle FBE$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle DAK = 90^\circ$ и $\angle FBE = 90^\circ$ соответственно. (Следует отметить, что расположение точек A и B на рисунке не соответствует текстовому условию задачи, и в решении мы опираемся на текст).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAK$. Катет $DA$ противолежит углу $\angle DKA$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $ \sin(\angle DKA) = \frac{DA}{DK} $ Отсюда получаем: $ DA = DK \cdot \sin(\angle DKA) $

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBE$. Катет $FB$ противолежит углу $\angle FEB$. По определению синуса: $ \sin(\angle FEB) = \frac{FB}{FE} $ Отсюда получаем: $ FB = FE \cdot \sin(\angle FEB) $

По условию задачи $DA = FB$ и $\angle DKE = \angle FEK$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой с $E$ и $K$, то $\angle DKA = \angle DKE$ и $\angle FEB = \angle FEK$. Приравняем полученные выражения для $DA$ и $FB$: $ DK \cdot \sin(\angle DKE) = FE \cdot \sin(\angle FEK) $

Поскольку по условию $\angle DKE = \angle FEK$, и в невырожденной фигуре эти углы не равны $0^\circ$ или $180^\circ$, то их синусы равны и отличны от нуля. Следовательно, мы можем сократить обе части равенства на $\sin(\angle DKE)$: $ DK = FE $

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle DKE$ и $\triangle FEK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $DK = FE$ (как доказано выше).
• $\angle DKE = \angle FEK$ (по условию).
• $EK$ — общая сторона.

Таким образом, $\triangle DKE \cong \triangle FEK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В треугольнике $\triangle DKE$ сторона $DE$ лежит напротив угла $\angle DKE$. В треугольнике $\triangle FEK$ сторона $FK$ лежит напротив угла $\angle FEK$. Так как $\angle DKE = \angle FEK$, то и противолежащие им стороны равны: $ DE = FK $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = FK$ доказано.

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опустили перпендикуляры $BK$ и $CN$. Докажите, что $KM = NM$.

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опустили перпендикуляры $BK$ и $CN$. Докажите, что $KM = NM$.

Рассмотрим треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$.

1. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезки $BM$ и $CM$ равны: $BM = CM$.

2. По условию, из точек $B$ и $C$ на прямую $AM$ опущены перпендикуляры $BK$ и $CN$. Это означает, что $∠BKM = 90°$ и $∠CNM = 90°$. Таким образом, треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$ являются прямоугольными.

3. Углы $∠BMK$ и $∠CMN$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $AM$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠BMK = ∠CMN$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $ΔBMK$ и $ΔCMN$ равны по гипотенузе ($BM = CM$) и острому углу ($∠BMK = ∠CMN$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данных треугольниках сторона $KM$ лежит против угла $∠KBM$, а сторона $NM$ лежит против угла $∠NCM$. Поскольку треугольники равны, то и эти углы равны ($∠KBM = ∠NCM$), а значит и противолежащие им стороны $KM$ и $NM$ также равны.

Следовательно, $KM = NM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KM = NM$ доказано на основе равенства прямоугольных треугольников $ΔBMK$ и $ΔCMN$ по гипотенузе и острому углу.