Страница 88 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 237. Проведите через точку $K$ прямые, параллельные прямым $a$ и $b$.

Рис. 237

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 237. Проведите через точку $K$ прямые, параллельные прямым $a$ и $b$.

Рис. 237

В условии задачи на рисунке обе прямые обозначены буквой a. Для ясности, будем считать, что прямая, идущая слева направо вниз, — это прямая a, а прямая, идущая слева направо вверх, — это прямая b.

Чтобы построить прямую, параллельную данной и проходящую через заданную точку, нужно воспользоваться свойством параллельных прямых: они имеют одинаковый наклон (угловой коэффициент). На клетчатой бумаге это означает, что "шаг" одной прямой (смещение по горизонтали и вертикали между двумя точками в узлах сетки) будет таким же, как и у параллельной ей прямой.

Для удобства введем систему координат, где левый нижний узел сетки имеет координаты (0, 0). Тогда точка K имеет координаты (3, 1).

1. Найдем угловой коэффициент прямой a. Для этого выберем на ней две точки, лежащие в узлах сетки, например, (0, 4) и (2, 3).
2. Угловой коэффициент $m_a$ равен отношению изменения координаты y к изменению координаты x: $m_a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3 - 4}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$.
Это означает, что при смещении на 2 клетки вправо, мы должны сместиться на 1 клетку вниз.
3. Теперь построим новую прямую, назовем ее c, которая проходит через точку K(3, 1) и имеет такой же угловой коэффициент $m_c = -\frac{1}{2}$.
4. Начиная от точки K(3, 1), сместимся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз, чтобы найти другую точку на прямой c. Получим точку с координатами $(3+2, 1-1) = (5, 0)$.
5. Также можно сместиться в обратном направлении от точки K: на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Получим точку $(3-2, 1+1) = (1, 2)$.
6. Соединив точки (1, 2), K(3, 1) и (5, 0), получим прямую c, параллельную прямой a.

Ответ: Прямая, параллельная прямой a и проходящая через точку K, также проходит через узлы сетки в точках (1, 2) и (5, 0).

1. Найдем угловой коэффициент прямой b. Выберем на ней две точки, лежащие в узлах сетки, например, (3, 2) и (4, 4).
2. Угловой коэффициент $m_b$ равен: $m_b = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 - 2}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2$.
Это означает, что при смещении на 1 клетку вправо, мы должны сместиться на 2 клетки вверх.
3. Построим новую прямую, назовем ее d, которая проходит через точку K(3, 1) и имеет такой же угловой коэффициент $m_d = 2$.
4. Начиная от точки K(3, 1), сместимся на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Получим точку с координатами $(3+1, 1+2) = (4, 3)$.
5. Соединив точки K(3, 1) и (4, 3), получим прямую d, параллельную прямой b.

Ответ: Прямая, параллельная прямой b и проходящая через точку K, также проходит через узел сетки в точке (4, 3).

Итоговый рисунок с построенными прямыми (c || a и d || b):

90. На рисунке 238 $\angle ABC = \angle ACB$, $BK = KC$, $DF = DE$, $\angle FDM = \angle EDM$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 238

90. На рисунке 238 $\angle ABC = \angle ACB$, $BK = KC$, $DF = DE$, $\angle FDM = \angle EDM$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 238

Для доказательства параллельности прямых $a$ и $b$ воспользуемся признаком параллельности: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. В данном случае докажем, что обе прямые, $a$ и $b$, перпендикулярны секущей, проходящей через точки $A, K, F, M, E$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию, $\angle ABC = \angle ACB$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. По условию, $BK = KC$, следовательно, точка $K$ является серединой основания $BC$, а отрезок $AK$ — медианой, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $AK \perp BC$. Поскольку прямая $a$ проходит через точки $B$ и $C$, то прямая $a$ перпендикулярна отрезку $AK$, который лежит на секущей. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна секущей.

2. Рассмотрим треугольник $FDE$. Согласно условию, $DF = DE$, что означает, что треугольник $FDE$ — равнобедренный с основанием $FE$. По условию, $\angle FDM = \angle EDM$, следовательно, отрезок $DM$ является биссектрисой угла $\angle FDE$, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $DM \perp FE$. Поскольку прямая $b$ содержит отрезок $DM$, а отрезок $FE$ лежит на секущей, то прямая $b$ перпендикулярна этой же секущей.

3. Мы доказали, что прямая $a$ перпендикулярна секущей и прямая $b$ перпендикулярна той же секущей. Следовательно, по признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ параллельны.

91. Докажите, что прямые $m$ и $k$ параллельны (рис. 239).

Рис. 239

$m \perp a$

$n \perp a$

$n \perp b$

$k \perp b$

91. Докажите, что прямые $m$ и $k$ параллельны (рис. 239).

Рис. 239

Для доказательства того, что прямые $m$ и $k$ параллельны, необходимо последовательно применить теоремы о параллельности прямых.

Сначала рассмотрим прямые $m$ и $n$, а также секущую $a$. Из условия, представленного на рисунке, мы видим, что прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$), и прямая $n$ также перпендикулярна прямой $a$ ($n \perp a$). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, $m \parallel n$.

Теперь рассмотрим прямые $n$ и $k$, а также секущую $b$. Аналогично, из рисунка следует, что прямая $n$ перпендикулярна прямой $b$ ($n \perp b$), и прямая $k$ перпендикулярна прямой $b$ ($k \perp b$). Применяя ту же самую теорему, мы можем заключить, что $n \parallel k$.

Итак, мы установили два факта: $m \parallel n$ и $n \parallel k$. Теперь воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых (которое является следствием из аксиомы параллельности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая $m$, и прямая $k$ параллельны одной и той же прямой $n$, они параллельны друг другу. Таким образом, $m \parallel k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из того, что $m \perp a$ и $n \perp a$, следует, что $m \parallel n$. Из того, что $n \perp b$ и $k \perp b$, следует, что $n \parallel k$. Так как $m \parallel n$ и $n \parallel k$, то по свойству транзитивности параллельных прямых $m \parallel k$.

92. На рисунке 240 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 240

Разносторонние углы:

Внутренние разносторонние углы:

$\angle CMN$ и $\angle ENP$

$\angle FMN$ и $\angle DNP$

Внешние разносторонние углы:

$\angle CMP$ и $\angle ENK$

$\angle FMP$ и $\angle DNK$

Односторонние углы:

Внутренние односторонние углы:

$\angle CMN$ и $\angle DNP$

$\angle FMN$ и $\angle ENP$

Внешние односторонние углы:

$\angle CMP$ и $\angle DNK$

$\angle FMP$ и $\angle ENK$

Соответственные углы:

$\angle CMP$ и $\angle DNP$

$\angle CMN$ и $\angle DNK$

$\angle FMN$ и $\angle ENK$

$\angle FMP$ и $\angle ENP$

92. На рисунке 240 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 240

Разносторонние углы:

Разносторонние внутренние:

$\angle CMF$ и $\angle KNE$

$\angle FMC$ и $\angle ENK$

Разносторонние внешние:

$\angle PMC$ и $\angle KNE$

$\angle FMP$ и $\angle DNK$

Односторонние углы:

Односторонние внутренние:

$\angle CMF$ и $\angle DNE$

$\angle FMC$ и $\angle KNE$

Односторонние внешние:

$\angle PMC$ и $\angle DND$

$\angle FMP$ и $\angle ENA$

Соответственные углы:

$\angle PMC$ и $\angle KNE$

$\angle PMF$ и $\angle KND$

$\angle CMF$ и $\angle END$

$\angle CML$ и $\angle ENK$

На рисунке изображены две прямые $CF$ и $DE$, которые пересечены секущей $PK$ в точках $M$ и $N$ соответственно. При этом образуются следующие группы углов:

Разносторонних

Разносторонние (внутренние накрест лежащие) углы — это пары углов, которые лежат по разные стороны от секущей $PK$ и между прямыми $CF$ и $DE$. На данном рисунке это следующие пары:

$ \angle CMN $ и $ \angle MNE $
$ \angle FMN $ и $ \angle MND $

Ответ: $ \angle CMN $ и $ \angle MNE $; $ \angle FMN $ и $ \angle MND $.

Односторонних

Односторонние (внутренние односторонние) углы — это пары углов, которые лежат по одну сторону от секущей $PK$ и между прямыми $CF$ и $DE$. На данном рисунке это следующие пары:

$ \angle CMN $ и $ \angle MND $
$ \angle FMN $ и $ \angle MNE $

Ответ: $ \angle CMN $ и $ \angle MND $; $ \angle FMN $ и $ \angle MNE $.

Соответственных

Соответственные углы — это пары углов, которые лежат по одну сторону от секущей $PK$ и занимают одинаковое положение относительно прямых $CF$ и $DE$. На данном рисунке это следующие пары:

$ \angle PMC $ и $ \angle MND $
$ \angle CMK $ и $ \angle DNK $
$ \angle PMF $ и $ \angle MNE $
$ \angle FMK $ и $ \angle ENK $

Ответ: $ \angle PMC $ и $ \angle MND $; $ \angle CMK $ и $ \angle DNK $; $ \angle PMF $ и $ \angle MNE $; $ \angle FMK $ и $ \angle ENK $.

93. Параллельны ли прямые $a$ и $c$ на рисунке 241? Ответ обоснуйте.

Рис. 241

$25^\circ$

$25^\circ$

93. Параллельны ли прямые a и c на рисунке 241? Ответ обоснуйте.

Рис. 241

На рисунке показаны прямые a и c, пересекаемые третьей прямой. Указаны углы, образованные этими пересечениями. Угол в верхней части равен $25^\circ$. Угол в нижней части также равен $25^\circ$.

Да, прямые a и c параллельны.

Для того чтобы определить, параллельны ли прямые a и c, воспользуемся признаками параллельности прямых. Прямые a и c пересечены третьей прямой, которая называется секущей.

Углы, отмеченные на рисунке, равные $25^\circ$, являются внутренними накрест лежащими углами. Согласно одному из признаков параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

В данном случае оба внутренних накрест лежащих угла равны $25^\circ$. Так как эти углы равны между собой, то мы можем сделать вывод, что прямые a и c параллельны.

Ответ: Да, прямые a и c параллельны, так как внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей равны.