Страница 78 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Точки D, E и F лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками D и F, если $DE = 3,6 \text{ см}$, $EF = 2,9 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

14. Точки $D$, $E$ и $F$ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между точками $D$ и $F$, если $DE = 3,6 \text{ см}$, $EF = 2,9 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки D, E и F лежат на одной прямой, существует несколько вариантов их взаимного расположения. Это приводит к тому, что задача имеет более одного решения. Рассмотрим все возможные случаи.

Если точка E находится между точками D и F, то расстояние между D и F (длина отрезка DF) равно сумме расстояний DE и EF.

Схематически это расположение можно представить так: D——E——F.

Формула для вычисления расстояния DF в этом случае:

$DF = DE + EF$

Подставляем известные значения:

$DF = 3,6 \text{ см} + 2,9 \text{ см} = 6,5 \text{ см}$

Ответ: 6,5 см.

Если точка F находится между точками D и E, то расстояние DE равно сумме расстояний DF и FE. Чтобы найти искомое расстояние DF, необходимо из длины большего отрезка DE вычесть длину меньшего отрезка FE.

Схематически это расположение можно представить так: D——F—E.

Формула для вычисления расстояния DF в этом случае:

$DF = DE - EF$

Подставляем известные значения:

$DF = 3,6 \text{ см} - 2,9 \text{ см} = 0,7 \text{ см}$

Ответ: 0,7 см.

Стоит также рассмотреть третий возможный вариант, когда точка D лежит между точками E и F. В этом случае расстояние EF должно быть равно сумме расстояний ED и DF ($EF = ED + DF$). Отсюда $DF = EF - ED = 2,9 - 3,6 = -0,7$ см. Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, данный случай невозможен.

Таким образом, мы нашли два возможных положительных значения для расстояния DF.

Исходя из рассмотренных случаев, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 2.

15. Точки $P$, $R$, $S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$. Найдите длину отрезка $RT$, если $PS = 9$ см, $SR = 8$ см, $PT = 16$ см. Сколько решений имеет задача?

15. Точки $P, R, S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$. Найдите длину отрезка $RT$, если $PS = 9$ см, $SR = 8$ см, $PT = 16$ см. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи точки $P, R, S$ и $T$ лежат на одной прямой. Точка $R$ лежит между точками $P$ и $S$, следовательно, для длин отрезков выполняется равенство: $PS = PR + RS$.

Нам известны длины $PS = 9$ см и $SR = 8$ см. Подставив их в равенство, найдем длину отрезка $PR$:
$PR = PS - RS = 9 \text{ см} - 8 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Теперь нам известно взаимное расположение точек $P, R, S$ на прямой и расстояния между ними: $PR=1$ см, $RS=8$ см.

Далее нужно определить положение точки $T$. Из условия мы знаем, что $PT = 16$ см. Это означает, что точка $T$ может находиться на прямой по любую из двух сторон от точки $P$. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Точка P лежит между точками T и R.
В этом случае порядок точек на прямой будет $T-P-R-S$. Длина отрезка $RT$ будет равна сумме длин отрезков $TP$ и $PR$:
$RT = TP + PR = 16 \text{ см} + 1 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

Случай 2: Точка R лежит между точками P и T.
В этом случае порядок точек на прямой будет $P-R-S-T$, так как $PS = 9$ см, а $PT = 16$ см. Длина отрезка $PT$ будет равна сумме длин отрезков $PR$ и $RT$:
$PT = PR + RT$.
Отсюда найдем $RT$:
$RT = PT - PR = 16 \text{ см} - 1 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Таким образом, мы получили два возможных значения для длины отрезка $RT$. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: длина отрезка $RT$ может быть 15 см или 17 см; задача имеет 2 решения.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $F$ так, чтобы длина отрезка $CF$ была равной 9 см. Найдите на прямой $CF$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CF$ равна:

1) 9 см;

2) 10 см;

3) 6 см.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $F$ так, чтобы длина отрезка $CF$ была равной $9 \text{ см}$. Найдите на прямой $CF$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $CF$ равна:

1) $9 \text{ см}$;

2) $10 \text{ см}$;

3) $6 \text{ см}$.

1) 9 см
Пусть $M$ — искомая точка на прямой, содержащей отрезок $CF$. Длина отрезка $CF$ по условию равна 9 см. Рассмотрим различные случаи расположения точки $M$.
Если точка $M$ принадлежит отрезку $CF$ (включая его концы), то по определению расстояния на прямой сумма расстояний от $M$ до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MC + MF = CF = 9$ см. Это означает, что все точки отрезка $CF$ удовлетворяют условию.
Если точка $M$ лежит на прямой вне отрезка $CF$, то одно из расстояний ($MC$ или $MF$) будет равно сумме другого расстояния и длины отрезка $CF$. Например, если $M$ лежит на прямой за точкой $F$, то $MC = CF + MF$. Тогда сумма расстояний будет $MC + MF = (CF + MF) + MF = CF + 2MF = 9 + 2MF$. Поскольку $MF > 0$, то сумма $MC+MF > 9$ см. Аналогично, если $M$ лежит за точкой $C$, сумма также будет больше 9 см.
Таким образом, условию удовлетворяют только точки самого отрезка $CF$.
Ответ: все точки отрезка $CF$.

2) 10 см
Требуется найти точки $M$ на прямой $CF$, для которых $MC + MF = 10$ см.
Как показано в предыдущем пункте, если точка $M$ находится на отрезке $CF$, то сумма расстояний равна 9 см. Следовательно, искомые точки должны лежать на прямой $CF$, но вне отрезка $CF$.
1. Пусть точка $M$ лежит на прямой за точкой $F$. В этом случае, как мы выяснили, сумма расстояний $MC + MF = 9 + 2MF$. Приравниваем это значение к 10:$9 + 2MF = 10$$2MF = 1$$MF = 0.5$ см.Итак, одна из искомых точек находится на расстоянии 0,5 см от точки $F$ на продолжении отрезка $CF$.
2. Пусть точка $M$ лежит на прямой за точкой $C$. В этом случае сумма расстояний $MC + MF = 9 + 2MC$. Приравниваем это значение к 10:$9 + 2MC = 10$$2MC = 1$$MC = 0.5$ см.Вторая искомая точка находится на расстоянии 0,5 см от точки $C$ на продолжении отрезка $CF$.
Ответ: две точки: одна на прямой $CF$ на расстоянии 0,5 см от точки $F$ (вне отрезка), и другая на расстоянии 0,5 см от точки $C$ (вне отрезка).

3) 6 см
Требуется найти точки $M$ на прямой $CF$, для которых $MC + MF = 6$ см.
Для любых трех точек $C$, $F$, $M$, лежащих на одной прямой, выполняется неравенство треугольника (в его вырожденном виде): сумма расстояний от точки $M$ до двух других точек $C$ и $F$ не может быть меньше расстояния между самими точками $C$ и $F$. То есть, $MC + MF \ge CF$.
Поскольку по условию $CF = 9$ см, то для любой точки $M$ на прямой должно выполняться неравенство $MC + MF \ge 9$ см.
Условие задачи требует, чтобы эта сумма была равна 6 см. Так как $6 < 9$, не существует ни одной точки на прямой $CF$, которая бы удовлетворяла данному условию.
Ответ: таких точек нет.

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 203:

1) луч $SB$ и отрезок $ME$;

2) прямая $KN$ и луч $SB$?

Рис. 203

17. Пересекаются ли изображённые на рисунке 203:

1) луч $SB$ и отрезок $ME$;

2) прямая $KN$ и луч $SB$?

Рис. 203

1) луч SB и отрезок ME;

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. Луч SB начинается в точке S и продолжается бесконечно в направлении через точку B. Отрезок ME — это часть прямой, ограниченная двумя точками, M и E. На рисунке видно, что луч SB направлен в сторону и вверх, в то время как отрезок ME расположен ниже. Если мысленно продолжить луч SB в его направлении, он будет только удаляться от отрезка ME. Таким образом, у них нет и не может быть общих точек.

Ответ: не пересекаются.

2) прямая KN и луч SB?

Прямая — это линия, которая бесконечна в обе стороны. Прямая KN проходит через точки K и N и продолжается бесконечно в обоих направлениях. Луч SB, как мы уже определили, начинается в точке S и продолжается бесконечно в одном направлении. Прямые, на которых лежат данные фигуры, не параллельны (у них разные наклоны), а значит, они обязательно пересекаются в одной точке на плоскости. Чтобы определить, пересекаются ли именно прямая KN и луч SB, нужно понять, принадлежит ли точка их пересечения лучу SB. Если мысленно продолжить прямую KN и луч SB, то видно, что их точка пересечения будет находиться на той части прямой, которая начинается в S и проходит через B. Следовательно, точка пересечения принадлежит лучу SB.

Ответ: пересекаются.

18. Прямая $KT$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $S$ и $O$ соответственно (рис. 204).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $S$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $O$.

Рис. 204

18. Прямая $KT$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $S$ и $O$ соответственно (рис. 204).

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке $S$.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка $O$.

Рис. 204

1) Укажите все образовавшиеся лучи с началом в точке S.

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой (началом луча). В точке S пересекаются две прямые: AB и KT. Каждая прямая, на которой лежит точка, делится этой точкой на два луча, направленных в противоположные стороны.

Прямая AB в точке S образует два луча: луч SA и луч SB.

Прямая KT в точке S образует два луча: луч ST и луч SK (который также можно обозначить как SO).

Таким образом, всего образовалось четыре луча с началом в точке S.

Ответ: SA, SB, ST, SK.

2) Укажите пары дополнительных лучей, начало которых — точка O.

Дополнительные лучи — это два луча, которые лежат на одной прямой, имеют общее начало и направлены в противоположные стороны. Вместе они составляют эту прямую.

Точка O является точкой пересечения прямых CD и KT.

На прямой CD лучи OC и OD имеют общее начало в точке O и направлены в противоположные стороны. Следовательно, они образуют пару дополнительных лучей.

На прямой KT лучи OT (который также можно обозначить как OS) и OK имеют общее начало в точке O и направлены в противоположные стороны. Следовательно, они также образуют пару дополнительных лучей.

Ответ: OC и OD; OT и OK.

19. Отметьте точки $S$, $Q$, $B$ и $C$ так, чтобы прямые $SQ$ и $BC$ пересекались, а луч $SQ$ не пересекал отрезок $BC$.

19. Отметьте точки $S$, $Q$, $B$ и $C$ так, чтобы прямые $SQ$ и $BC$ пересекались, а луч $SQ$ не пересекал отрезок $BC$.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать геометрические понятия прямой, луча и отрезка, а также их взаимное расположение. Задача ставит два условия: прямые $SQ$ и $BC$ должны пересекаться, а луч $SQ$ не должен пересекать отрезок $BC$.

Первое условие — "прямые $SQ$ и $BC$ пересекались" — означает, что эти две прямые не параллельны и имеют одну общую точку. Обозначим эту точку пересечения как $P$.

Второе условие — "луч $SQ$ не пересекал отрезок $BC$" — означает, что у множества точек, составляющих луч $SQ$, и множества точек, составляющих отрезок $BC$, нет ни одной общей точки. Луч $SQ$ представляет собой часть прямой $SQ$, которая начинается в точке $S$ и продолжается бесконечно в направлении точки $Q$. Отрезок $BC$ — это часть прямой $BC$ между точками $B$ и $C$, включая сами эти точки.

Поскольку точка $P$ является единственной общей точкой для прямых $SQ$ и $BC$, то для выполнения второго условия достаточно, чтобы точка $P$ не принадлежала одновременно и лучу $SQ$, и отрезку $BC$. Рассмотрим один из возможных вариантов, который удовлетворяет этому требованию: случай, когда точка $P$ принадлежит отрезку $BC$, но не принадлежит лучу $SQ$.

Для построения такого расположения точек следует выполнить следующие действия. Сначала начертим две пересекающиеся прямые. На одной из них выберем точки $B$ и $C$ таким образом, чтобы точка их пересечения $P$ оказалась между ними. Это обеспечит принадлежность точки $P$ отрезку $BC$.

Затем на второй прямой выберем точки $S$ и $Q$. Чтобы точка $P$ не принадлежала лучу $SQ$, который начинается в точке $S$ и проходит через $Q$, необходимо расположить точку $S$ между точкой $P$ и точкой $Q$. В этом случае луч $SQ$ будет направлен в сторону от точки $P$, и, следовательно, не будет содержать ее.

Таким образом, мы получим конфигурацию, где прямые $SQ$ и $BC$ пересекаются (в точке $P$), но луч $SQ$ и отрезок $BC$ не имеют общих точек, так как их единственная возможная общая точка $P$ не принадлежит лучу $SQ$.

Ответ: Необходимо начертить две пересекающиеся прямые. На одной из прямых отметить отрезок $BC$ так, чтобы он содержал точку пересечения этих прямых. На второй прямой отметить точки $S$ и $Q$ так, чтобы точка $S$ (начало луча $SQ$) лежала между точкой пересечения прямых и точкой $Q$.

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной S, изображённого на рисунке 205: DSA; SDY; SDX; ASX; SDA; DSY; XSY; ASD; XSA.

Рис. 205

20. Из приведённых записей выпишите те, которые являются обозначением угла с вершиной S, изображённого на рисунке 205: $\angle DSA$; $\angle SDY$; $\angle SDX$; $\angle ASX$; $\angle SDA$; $\angle DSY$; $\angle XSY$; $\angle ASD$; $\angle XSA$.

Рис. 205

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (сторон угла), исходящих из этой точки.

На рисунке 205 изображен угол с вершиной в точке $S$. Сторонами этого угла являются лучи, проходящие через точки $D$ и $X$ и через точки $A$ и $Y$.

Для обозначения угла с помощью трех букв, буква, соответствующая вершине угла, всегда должна находиться в середине. Две другие буквы должны соответствовать точкам, лежащим на разных сторонах (лучах) угла.

Исходя из этого правила, проанализируем каждое из предложенных обозначений:

• DSA: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $D$ лежит на одной стороне, а точка $A$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.
• SDY: В центре находится буква $D$. Это обозначает угол с вершиной в точке $D$, что неверно.
• SDX: В центре находится буква $D$. Это обозначает угол с вершиной в точке $D$, что неверно.
• ASX: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $A$ лежит на одной стороне, а точка $X$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.
• SDA: В центре находится буква $D$. Это обозначает угол с вершиной в точке $D$, что неверно.
• DSY: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $D$ лежит на одной стороне, а точка $Y$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.
• XSY: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $X$ лежит на одной стороне, а точка $Y$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.
• ASD: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $A$ лежит на одной стороне, а точка $D$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.
• XSA: Буква $S$ (вершина) находится в центре. Точка $X$ лежит на одной стороне, а точка $A$ — на другой. Следовательно, это обозначение верное.

Таким образом, мы выписали все правильные обозначения для данного угла.

Ответ: DSA; ASX; DSY; XSY; ASD; XSA.