Страница 76 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Отметьте в тетради точки, как показано на рисунке 199. Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 199

1. Отметьте в тетради точки, как показано на рисунке 199. Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 199

Прямые: $CM$, $CD$, $CN$, $MD$, $MN$, $DN$.

На рисунке отмечены четыре точки: C, M, D и N. Согласно заданию, необходимо провести прямые через все возможные пары этих точек. Прямая однозначно определяется двумя точками, при этом порядок точек не важен (прямая CM — это та же прямая, что и MC).

Чтобы найти общее количество уникальных прямых, можно использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. В данном случае у нас $n=4$ (точки) и мы выбираем их по $k=2$ для построения прямой.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, мы можем провести 6 различных прямых, если никакие три точки не лежат на одной прямой. По расположению точек на рисунке видно, что это условие выполняется.

Теперь перечислим все эти прямые, систематически соединяя точки:

1. Соединяем точку C с остальными: получаем прямые CM, CD, CN.

2. Соединяем точку M с остальными, исключая уже соединенную точку C: получаем прямые MD, MN.

3. Соединяем точку D с оставшейся точкой N (пары с C и M уже есть): получаем прямую DN.

Для точки N все возможные пары уже были рассмотрены.

Ответ: CM, CD, CN, MD, MN, DN.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки P, Q и R. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки $P$, $Q$ и $R$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

В геометрии прямую можно обозначить двумя любыми точками, которые на ней лежат. Порядок этих точек в названии не имеет значения. То есть, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, может быть названа как $AB$ или $BA$.

В условии задачи на прямой отмечены три точки: $P$, $Q$ и $R$. Чтобы найти все возможные обозначения этой прямой, нужно составить все возможные пары из этих трех точек.

1. Выберем точки $P$ и $Q$. Прямую можно обозначить как $PQ$ или $QP$.
2. Выберем точки $P$ и $R$. Прямую можно обозначить как $PR$ или $RP$.
3. Выберем точки $Q$ и $R$. Прямую можно обозначить как $QR$ или $RQ$.

Таким образом, мы перечислили все возможные комбинации, которые дают 6 различных обозначений для одной и той же прямой.

Ответ: $PQ$, $QP$, $PR$, $RP$, $QR$, $RQ$.

3. Пользуясь рисунком 200:

1) определите, пересекаются ли прямые $MN$ и $c$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $c$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $MN$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $c$, ни прямой $MN$.

Рис. 200

3. Пользуясь рисунком 200:

1) определите, пересекаются ли прямые $MN$ и $c$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $c$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $MN$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $c$, ни прямой $MN$.

Рис. 200

1) определите, пересекаются ли прямые MN и c;
В евклидовой геометрии на плоскости две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Прямая является бесконечной линией. На рисунке 200 изображены отрезки, которые являются частями прямых $c$ и $MN$. Чтобы определить, пересекаются ли прямые, нужно мысленно продлить эти отрезки в обе стороны. Прямая $c$ имеет положительный наклон (поднимается слева направо), а прямая $MN$ имеет отрицательный наклон (опускается слева направо). Поскольку наклоны прямых различны, они не параллельны и, следовательно, обязательно пересекутся в одной точке.
Ответ: да, прямые $MN$ и $c$ пересекаются.

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой с;
Прямая $c$ проходит через две отмеченные точки. Это точка $L$, которая является концом изображенного отрезка, и точка $T$, которая лежит между концами этого отрезка. Таким образом, обе точки $L$ и $T$ принадлежат прямой $c$.
Ответ: $L$, $T$.

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой MN;
Прямая $MN$ по своему определению проходит через точки $M$ и $N$. На рисунке видно, что именно эти две точки лежат на данной прямой. Других отмеченных точек на прямой $MN$ нет.
Ответ: $M$, $N$.

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой с, ни прямой MN.
Всего на рисунке отмечено семь точек: $F, T, L, K, M, P, N$. Из предыдущих пунктов мы знаем, что точки $L$ и $T$ принадлежат прямой $c$, а точки $M$ и $N$ принадлежат прямой $MN$. Остаются точки $F, K$ и $P$. Визуально они не лежат ни на одной из указанных прямых.
Ответ: $F, K, P$.

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 201, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 201, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Рис. 201

Точки, лежащие между двумя другими:

E, C

Равенства для каждых трёх точек:

$DE + EC = DC$

$DE + EF = DF$

$DC + CF = DF$

$EC + CF = EF$

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 201, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 201, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Рис. 201

D E C F

Точки, лежащие между двумя другими:

E, C

Равенства, следующие из основного свойства длины отрезка:

Для точек D, E, C: $DC = DE + EC$

Для точек D, E, F: $DF = DE + EF$

Для точек D, C, F: $DF = DC + CF$

Для точек E, C, F: $EF = EC + CF$

На рисунке 201 точки D, E, C и F расположены на одной прямой в указанном порядке.

1. Укажем, какие из точек лежат между двумя другими:
- Точка E лежит между точками D и C, а также между точками D и F.
- Точка C лежит между точками E и F, а также между точками D и F.

2. Для каждых трёх точек запишем равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка (если точка делит отрезок на две части, то длина всего отрезка равна сумме длин этих частей).

Для точек D, E, C
Точка E лежит на отрезке DC. Следовательно, длина отрезка DC равна сумме длин отрезков DE и EC.
Ответ: $DE + EC = DC$

Для точек D, E, F
Точка E лежит на отрезке DF. Следовательно, длина отрезка DF равна сумме длин отрезков DE и EF.
Ответ: $DE + EF = DF$

Для точек D, C, F
Точка C лежит на отрезке DF. Следовательно, длина отрезка DF равна сумме длин отрезков DC и CF.
Ответ: $DC + CF = DF$

Для точек E, C, F
Точка C лежит на отрезке EF. Следовательно, длина отрезка EF равна сумме длин отрезков EC и CF.
Ответ: $EC + CF = EF$