Страница 77 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 202.

Рис. 202

а) Отрезки: $AT$, $ST$, $TK$.

б) Отрезки: $KO$, $OB$, $VO$, $OF$, $KB$, $VF$.

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 202.

Рис. 202

а

$ST$, $TK$, $AT$, $AK$, $SK$

б

$KO$, $OB$, $KB$, $VO$, $OF$, $VF$

а
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. На рисунке «а» отмечены точки $S$, $A$, $T$ и $K$.
Точка $T$ лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $K$. Таким образом, мы можем выделить следующие отрезки:

• Отрезок с концами в точках $S$ и $T$: $ST$.
• Отрезок с концами в точках $A$ и $T$: $AT$.
• Отрезок с концами в точках $T$ и $K$: $TK$.
• Отрезок с концами в точках $A$ и $K$, состоящий из отрезков $AT$ и $TK$: $AK$.

Ответ: $ST$, $AT$, $TK$, $AK$.

б
На рисунке «б» отмечены точки $K$, $V$, $O$, $F$ и $B$.
Точка $O$ является точкой пересечения двух прямых и лежит на отрезках $KF$ и $VB$. Также точки $V$ и $F$ соединены отрезком.
Рассмотрим все отрезки, образованные этими точками:

• Отрезки, частью которых является точка $O$: $KO$, $OF$, $VO$, $OB$.
• Отрезки, которые содержат точку $O$ как внутреннюю точку: $KF$ (состоит из $KO$ и $OF$) и $VB$ (состоит из $VO$ и $OB$).
• Отрезок, не проходящий через точку $O$: $VF$.

Таким образом, на рисунке изображены 7 отрезков.
Ответ: $KO$, $OF$, $KF$, $VO$, $OB$, $VB$, $VF$.

6. Точка $S$ лежит между точками $P$ и $K$. Найдите:

1) отрезок $PK$, если $PS = 3,4$ дм, $SK = 1,9$ дм;

2) отрезок $PS$, если $PK = 3$ м, $SK = \frac{4}{11}$ м.

6. Точка S лежит между точками P и K. Найдите:

1) отрезок PK, если $PS = 3,4$ дм, $SK = 1,9$ дм;

2) отрезок PS, если $PK = 3$ м, $SK = \frac{4}{11}$ м.

1)

Поскольку точка $S$ лежит между точками $P$ и $K$, длина отрезка $PK$ равна сумме длин отрезков $PS$ и $SK$. Это следует из аксиомы измерения отрезков.

Формула для нахождения длины отрезка $PK$:

$PK = PS + SK$

Подставим известные значения в формулу:

$PS = 3,4$ дм

$SK = 1,9$ дм

$PK = 3,4 + 1,9 = 5,3$ дм

Ответ: $5,3$ дм.

2)

Исходя из того же свойства, что и в первом пункте ($PK = PS + SK$), мы можем выразить длину отрезка $PS$ через длины отрезков $PK$ и $SK$.

Формула для нахождения длины отрезка $PS$:

$PS = PK - SK$

Подставим известные значения в формулу:

$PK = 3$ м

$SK = \frac{4}{11}$ м

Выполним вычитание. Для этого представим число $3$ в виде неправильной дроби со знаменателем $11$:

$3 = \frac{3 \cdot 11}{11} = \frac{33}{11}$

Теперь найдем разность:

$PS = \frac{33}{11} - \frac{4}{11} = \frac{33 - 4}{11} = \frac{29}{11}$ м

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{29}{11} = 2\frac{7}{11}$ м

Ответ: $2\frac{7}{11}$ м.

7. Лежит ли точка $Q$ между точками $P$ и $R$, если $PQ = 4,7 \text{ дм}$, $QR = 5,8 \text{ дм}$, $PR = 9,5 \text{ дм}$? Ответ обоснуйте.

7. Лежит ли точка Q между точками P и R, если $PQ = 4,7$ дм, $QR = 5,8$ дм, $PR = 9,5$ дм? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы точка $Q$ лежала между точками $P$ и $R$, необходимо, чтобы все три точки лежали на одной прямой и чтобы выполнялось равенство, следующее из аксиомы измерения отрезков: $PQ + QR = PR$.

Проверим, выполняется ли это равенство для заданных в условии значений: $PQ = 4,7$ дм, $QR = 5,8$ дм, $PR = 9,5$ дм.

Найдем сумму длин отрезков $PQ$ и $QR$:
$PQ + QR = 4,7 \text{ дм} + 5,8 \text{ дм} = 10,5 \text{ дм}$.

Теперь сравним полученную сумму с длиной отрезка $PR$:
$10,5 \text{ дм} \neq 9,5 \text{ дм}$.

Поскольку равенство $PQ + QR = PR$ не выполняется, точка $Q$ не лежит между точками $P$ и $R$. В данном случае выполняется неравенство треугольника ($PQ + QR > PR$), что означает, что точки $P$, $Q$ и $R$ являются вершинами треугольника и не лежат на одной прямой.

Ответ: Нет, точка Q не лежит между точками P и R, так как сумма длин отрезков $PQ$ и $QR$ ($4,7 + 5,8 = 10,5$ дм) не равна длине отрезка $PR$ ($9,5$ дм).

8. Точка $V$ принадлежит отрезку $KO$, длина которого равна на 28 см. Найдите длины отрезков $KV$ и $VO$, если:

1) длина отрезка $VO$ на 18 см больше длины отрезка $KV$;

2) длина отрезка $KV$ в 3 раза меньше длины отрезка $VO$;

3) $KV : VO = 2 : 5$.

8. Точка V принадлежит отрезку KO, длина которого равна 28 см. Найдите длины отрезков KV и VO, если:

1) длина отрезка VO на 18 см больше длины отрезка KV;

2) длина отрезка KV в 3 раза меньше длины отрез- ка VO;

3) $KV : VO = 2 : 5.$

Поскольку точка V принадлежит отрезку КО, то длина отрезка КО равна сумме длин отрезков KV и VO. По условию $KO = 28$ см, следовательно, $KV + VO = 28$.

1) длина отрезка VO на 18 см больше длины отрезка KV

Пусть длина отрезка KV равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка VO будет $(x + 18)$ см.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма их длин равна 28 см:

$x + (x + 18) = 28$

$2x + 18 = 28$

$2x = 28 - 18$

$2x = 10$

$x = 5$

Значит, длина отрезка KV равна 5 см.

Найдем длину отрезка VO: $VO = 5 + 18 = 23$ см.

Проверим: $5 + 23 = 28$ см.

Ответ: $KV = 5$ см, $VO = 23$ см.

2) длина отрезка KV в 3 раза меньше длины отрезка VO

Пусть длина отрезка KV равна $x$ см. Если она в 3 раза меньше длины VO, то длина отрезка VO равна $3x$ см.

Составим уравнение:

$x + 3x = 28$

$4x = 28$

$x = 28 / 4$

$x = 7$

Значит, длина отрезка KV равна 7 см.

Найдем длину отрезка VO: $VO = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Проверим: $7 + 21 = 28$ см.

Ответ: $KV = 7$ см, $VO = 21$ см.

3) KV : VO = 2 : 5

Данное отношение означает, что отрезок KV состоит из 2 частей, а отрезок VO — из 5 таких же частей. Всего отрезок КО состоит из $2 + 5 = 7$ частей.

Найдем длину одной части:

$28 / 7 = 4$ см.

Теперь найдем длины отрезков KV и VO:

$KV = 2 \cdot 4 = 8$ см.

$VO = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Проверим: $8 + 20 = 28$ см.

Ответ: $KV = 8$ см, $VO = 20$ см.

9. На прямой последовательно отмечены точки F, E, K и T так, что $FK = 7 \text{ см}$, $FT = 14 \text{ см}$, $ET = 10 \text{ см}$. Найдите $KE$.

9. На прямой последовательно отмечены точки $F, E, K$ и $T$ так, что $FK = 7$ см, $FT = 14$ см, $ET = 10$ см. Найдите $KE$.

Поскольку точки F, E, K и T отмечены на прямой последовательно, они располагаются в указанном порядке. Это означает, что длина большего отрезка равна сумме длин составляющих его меньших отрезков.

По условию задачи имеем следующие длины отрезков: $FK = 7 \text{ см}$, $FT = 14 \text{ см}$, $ET = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим отрезок FT. Он состоит из отрезков FK и KT. Следовательно, их длины связаны соотношением: $FT = FK + KT$.

Подставим известные значения и найдем длину отрезка KT:

$14 \text{ см} = 7 \text{ см} + KT$

$KT = 14 - 7 = 7 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим отрезок ET. Он состоит из отрезков EK и KT. Следовательно, их длины связаны соотношением: $ET = EK + KT$.

Подставим известные значения ET и найденное значение KT, чтобы найти искомую длину отрезка KE (что равносильно EK):

$10 \text{ см} = KE + 7 \text{ см}$

$KE = 10 - 7 = 3 \text{ см}$.

Для проверки правильности решения можно выполнить следующие действия. Найдем длину отрезка FE. Из соотношения $FT = FE + ET$ следует, что $FE = FT - ET = 14 - 10 = 4 \text{ см}$. Тогда длина отрезка FK должна быть равна сумме длин FE и EK: $FK = FE + EK = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$. Это совпадает с данным в условии значением, что подтверждает верность нашего ответа.

Ответ: $3 \text{ см}$.

10. Точка $A$ лежит между точками $X$ и $Y$, точки $O$ и $P$ — середины отрезков $AX$ и $AY$ соответственно. Найдите длину отрезка $OP$, если $XY = 7,8$ см.

10. Точка A лежит между точками X и Y, точки O и P – середины отрезков $AX$ и $AY$ соответственно. Найдите длину отрезка $OP$, если $XY = 7,8$ см.

По условию задачи, точка A лежит между точками X и Y. Это означает, что все три точки лежат на одной прямой, и длина отрезка XY равна сумме длин отрезков AX и AY.
$XY = AX + AY$

Точка O является серединой отрезка AX. Это значит, что длина отрезка AO составляет половину длины отрезка AX.
$AO = \frac{1}{2} AX$

Аналогично, точка P является серединой отрезка AY. Это значит, что длина отрезка AP составляет половину длины отрезка AY.
$AP = \frac{1}{2} AY$

Длина искомого отрезка OP равна сумме длин отрезков AO и AP, так как точка A лежит между точками O и P (поскольку O лежит на отрезке AX, а P — на отрезке AY, а сама A лежит между X и Y).
$OP = AO + AP$

Подставим выражения для AO и AP в полученную формулу:
$OP = \frac{1}{2} AX + \frac{1}{2} AY$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$OP = \frac{1}{2} (AX + AY)$

Так как мы знаем, что $AX + AY = XY$, заменим сумму в скобках на XY:
$OP = \frac{1}{2} XY$

По условию задачи, $XY = 7,8$ см. Подставим это значение в нашу формулу, чтобы найти длину OP:
$OP = \frac{1}{2} \times 7,8 = 3,9$ см.

Ответ: 3,9 см.

11. Отрезок длиной 12 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 8 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

11. Отрезок длиной 12 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 8 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

Пусть исходный отрезок длиной 12 см разделили на четыре последовательных отрезка с длинами $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$. Тогда их общая длина равна 12 см.

$l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 12$

Крайними отрезками являются первый ($l_1$) и четвертый ($l_4$), а средними — второй ($l_2$) и третий ($l_3$).

Расстояние между серединами крайних отрезков можно выразить как общую длину исходного отрезка за вычетом половин длин первого и четвертого отрезков. По условию задачи это расстояние равно 8 см.

$12 - \frac{l_1}{2} - \frac{l_4}{2} = 8$

Преобразуем уравнение, чтобы найти сумму длин крайних отрезков:

$12 - (\frac{l_1 + l_4}{2}) = 8$

$\frac{l_1 + l_4}{2} = 12 - 8 = 4$

$l_1 + l_4 = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Сумма длин крайних отрезков составляет 8 см. Теперь найдем сумму длин средних отрезков, вычитая сумму длин крайних отрезков из общей длины:

$l_2 + l_3 = (l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (l_1 + l_4) = 12 - 8 = 4$ см.

Искомое расстояние между серединами средних отрезков равно сумме половины длины второго отрезка и половины длины третьего отрезка.

$d = \frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = \frac{l_2 + l_3}{2}$

Подставим найденное значение суммы длин средних отрезков в эту формулу:

$d = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

12. На прямой последовательно отметили точки M, P, K, E и N так, что $MK = PE$ и $PK = EN$. Найдите MK, если $KN = 8$ см.

12. На прямой последовательно отметили точки M, P, K, E и N так, что $MK = PE$ и $PK = EN$. Найдите MK, если $KN = 8 \text{ см}$.

По условию задачи точки M, P, K, E, N расположены на прямой последовательно. Это означает, что они следуют друг за другом в указанном порядке.

Из расположения точек следует, что отрезок KN состоит из двух отрезков: KE и EN. Таким образом, его длина равна сумме длин этих отрезков: $KN = KE + EN$.

В условии сказано, что $PK = EN$. Заменим в предыдущей формуле отрезок EN на равный ему отрезок PK: $KN = KE + PK$.

Рассмотрим отрезок PE. Так как точки P, K, E расположены последовательно, длина отрезка PE равна сумме длин отрезков PK и KE: $PE = PK + KE$.

Сравнивая выражения для KN и PE, мы видим, что они равны, так как оба представляют собой сумму длин одних и тех же отрезков KE и PK: $KN = PE$.

Также по условию задачи нам известно, что $MK = PE$.

Поскольку $KN = PE$ и $MK = PE$, то из этого следует, что $MK = KN$.

Так как дано, что $KN = 8$ см, то и длина отрезка MK также равна 8 см.

Ответ: 8 см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $D$ так, чтобы длина отрезка $CD$ была равной $4\text{ см}$. Отметьте на прямой $CD$ такую точку $K$, что $CK - KD = 1\text{ см}$.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $C$ и $D$ так, чтобы длина отрезка $CD$ была равной $4 \text{ см}$. Отметьте на прямой $CD$ такую точку $K$, что $CK - KD = 1 \text{ см}$.

Для решения задачи сначала начертим прямую и отметим на ней точки C и D так, чтобы расстояние между ними было равно 4 см. Точка K также должна лежать на этой прямой и удовлетворять условию $CK - KD = 1$ см. Это означает, что расстояние от точки K до точки C на 1 см больше, чем расстояние от точки K до точки D.

Рассмотрим все возможные случаи расположения точки K на прямой относительно точек C и D.

1. Точка K лежит между точками C и D.

В этом случае сумма длин отрезков CK и KD равна длине отрезка CD. Мы можем составить систему из двух уравнений:

1) $CK + KD = CD = 4$ (так как K лежит на отрезке CD)

2) $CK - KD = 1$ (по условию задачи)

Сложим два уравнения:

$(CK + KD) + (CK - KD) = 4 + 1$

$2 \cdot CK = 5$

$CK = 2,5$ см

Теперь найдем длину KD, подставив найденное значение CK в первое уравнение:

$2,5 + KD = 4$

$KD = 4 - 2,5 = 1,5$ см

Проверим, выполняется ли второе условие: $CK - KD = 2,5 - 1,5 = 1$ см. Условие выполняется. Таким образом, это возможное расположение точки K.

2. Точка D лежит между точками C и K.

В этом случае длина отрезка CK равна сумме длин отрезков CD и DK:

$CK = CD + KD$

Отсюда $CK - KD = CD$.

По условию $CD = 4$ см, значит, $CK - KD = 4$ см. Это противоречит требованию задачи, где $CK - KD = 1$ см. Следовательно, такое расположение невозможно.

3. Точка C лежит между точками K и D.

В этом случае длина отрезка KD равна сумме длин отрезков KC и CD:

$KD = KC + CD$

Отсюда $KC - KD = -CD$, или $CK - KD = -4$ см. Это также противоречит условию задачи. Следовательно, и такое расположение невозможно.

Таким образом, существует только одно решение: точка K должна находиться между точками C и D.

Построение:

1. Начертите прямую.
2. Отметьте на ней точку C.
3. С помощью линейки отложите от точки C отрезок длиной 4 см и отметьте точку D.
4. От точки C в направлении точки D отложите отрезок длиной 2,5 см и отметьте точку K.

Ответ: Точка K должна лежать на отрезке CD на расстоянии 2,5 см от точки C и 1,5 см от точки D.