Страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AC$ в точке $K$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опустили перпендикуляры $AD$ и $CE$. Докажите, что если $AD = CE$, то отрезок $BK$ — медиана треугольника $ABC$.

135. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AC$ в точке $K$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опустили перпендикуляры $AD$ и $CE$. Докажите, что если $AD = CE$, то отрезок $BK$ — медиана на треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$.

По условию задачи, из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опущены перпендикуляры $AD$ и $CE$. Это означает, что $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$ являются прямоугольными треугольниками, где $\angle ADK = 90^\circ$ и $\angle CEK = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Катет $AD$ равен катету $CE$ по условию ($AD = CE$).

2. Угол $\angle AKD$ равен углу $\angle CKE$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$ равны по катету и противолежащему ему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенуза $AK$ треугольника $\triangle ADK$ равна гипотенузе $CK$ треугольника $\triangle CEK$. Таким образом, $AK = CK$.

Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$ и делит её на два равных отрезка ($AK = CK$), то точка $K$ является серединой стороны $AC$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, отрезок $BK$ является медианой треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как равенство перпендикуляров $AD=CE$ приводит к равенству отрезков $AK=CK$, точка $K$ является серединой стороны $AC$, и, следовательно, отрезок $BK$ — медиана треугольника $ABC$.

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общую гипотенузу $AB$, а точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Докажите, что если $AD = BC$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общую гипотенузу $AB$, а точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Докажите, что если $AD = BC$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$. По условию задачи, $AB$ является их общей гипотенузой. Это означает, что прямые углы в данных треугольниках — это углы, противолежащие гипотенузе, то есть $\angle ACB = 90^{\circ}$ и $\angle ADB = 90^{\circ}$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$:
1. $AB$ — общая гипотенуза.
2. $BC = AD$ — по условию (равные катеты).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $\triangle ABC$ напротив катета $BC$ лежит угол $\angle CAB$. В треугольнике $\triangle BAD$ напротив катета $AD$ лежит угол $\angle ABD$. Так как $BC = AD$, то и соответствующие углы равны: $\angle CAB = \angle ABD$.

Теперь рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и прямую $AB$ в качестве секущей. По условию, точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Это означает, что углы $\angle CAB$ и $\angle ABD$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $AB$.

Так как мы доказали, что накрест лежащие углы $\angle CAB$ и $\angle ABD$ равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.

Дано:
$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — прямоугольные треугольники.
$ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $.
$ \angle A = \angle A_1 $ — равные острые углы.
$ AL $ — биссектриса угла $ \angle A $ в $ \triangle ABC $.
$ A_1L_1 $ — биссектриса угла $ \angle A_1 $ в $ \triangle A_1B_1C_1 $.
$ AL = A_1L_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $. Поскольку $ \angle C = 90^\circ $ и $ \angle C_1 = 90^\circ $, эти треугольники также являются прямоугольными.

2. Так как $ AL $ является биссектрисой угла $ \angle A $, то $ \angle CAL = \frac{1}{2} \angle A $. Аналогично, так как $ A_1L_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A_1 $, то $ \angle C_1A_1L_1 = \frac{1}{2} \angle A_1 $. Из условия, что $ \angle A = \angle A_1 $, следует $ \angle CAL = \angle C_1A_1L_1 $.

3. Сравним прямоугольные треугольники $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $. У них:
- гипотенуза $ AL $ равна гипотенузе $ A_1L_1 $ (по условию);
- острый угол $ \angle CAL $ равен острому углу $ \angle C_1A_1L_1 $ (по доказанному).
Следовательно, $ \triangle ALC \cong \triangle A_1L_1C_1 $ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

4. Из равенства треугольников $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, катетов: $ AC = A_1C_1 $.

5. Теперь рассмотрим исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу), так как:
- $ AC = A_1C_1 $ (равные катеты);
- $ \angle A = \angle A_1 $ (равные прилежащие острые углы).

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $BD$ и $B_1D_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $BD$ и $B_1D_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$, которые образованы высотами $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершинах $D$ и $D_1$ прямые: $\angle BDA = 90^\circ$ и $\angle B_1D_1A_1 = 90^\circ$.

По условию задачи, гипотенуза $AB$ треугольника $\Delta ABD$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\Delta A_1B_1D_1$, а острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$ следует равенство их соответственных углов, а именно $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь рассмотрим углы $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$. Поскольку исходные треугольники остроугольные, высоты $BD$ и $B_1D_1$ лежат внутри них. Таким образом, угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $

Аналогично для угла $\angle A_1B_1C_1$: $ \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_1D_1 + \angle D_1B_1C_1 $

Мы уже доказали, что $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$. По условию задачи также дано, что $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$. Складывая эти два равенства, получаем: $ \angle ABD + \angle DBC = \angle A_1B_1D_1 + \angle D_1B_1C_1 $

Из этого следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У нас есть:
1. $AB = A_1B_1$ (по условию).
2. $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
3. $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (доказано выше).

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 5 см, 12 см и 13 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, и она всегда является самой длинной из трёх сторон. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Нам даны длины сторон треугольника: 5 см, 12 см и 13 см.

Сравним эти длины, чтобы найти наибольшую:

$5 < 12 < 13$

Самая длинная сторона имеет длину 13 см, следовательно, это гипотенуза. Две оставшиеся стороны, 5 см и 12 см, являются катетами.

Мы можем проверить это с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов ($a$ и $b$) равна квадрату гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши значения:

$5^2 + 12^2 = 13^2$

$25 + 144 = 169$

$169 = 169$

Равенство выполняется, значит, наше определение сторон верное.

Ответ: длины катетов равны 5 см и 12 см, а длина гипотенузы — 13 см.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Пусть $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника, $c$ - гипотенуза, а $h$ - высота, проведенная к гипотенузе. Нам даны четыре значения длин: 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Наша задача - сопоставить эти длины с соответствующими элементами треугольника.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Из набора чисел {24, 30, 40, 50} выберем три наибольших в качестве кандидатов на стороны треугольника: 30, 40 и 50. В этом случае гипотенузой $c$ должна быть сторона длиной 50 см, а катетами $a$ и $b$ — стороны 30 см и 40 см.

Проверим, удовлетворяют ли эти стороны теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
$c^2 = 50^2 = 2500$
Поскольку $2500 = 2500$, наше предположение верно. Таким образом, катеты равны 30 см и 40 см, а гипотенуза — 50 см.

Оставшееся значение из исходного набора — 24 см. Следовательно, это длина высоты, проведенной к гипотенузе: $h = 24$ см.

Для окончательной проверки воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника. Площадь можно вычислить двумя способами: через катеты ($S = \frac{1}{2}ab$) и через гипотенузу и высоту к ней ($S = \frac{1}{2}ch$). Из этого следует, что должно выполняться равенство $ab = ch$.
Подставим наши значения:
$a \cdot b = 30 \cdot 40 = 1200$
$c \cdot h = 50 \cdot 24 = 1200$
Равенство $1200 = 1200$ подтверждает, что все величины определены правильно.

Ответ:
Длины катетов этого треугольника: 30 см и 40 см.
Длина гипотенузы: 50 см.
Длина высоты, проведённой к гипотенузе: 24 см.

141. На рисунке 56 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$. Докажите, что $AB > CD$.

Рис. 56

141. На рисунке 56 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$. Докажите, что $AB > CD$.

Рис. 56

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACB$, в котором по условию $\angle ACB = 90^{\circ}$. В этом треугольнике сторона $AB$ является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла, а сторона $AC$ является катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $AB > AC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором по условию $\angle ADC = 90^{\circ}$. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$, поскольку она лежит напротив прямого угла, а $CD$ — катетом. По тому же свойству, гипотенуза длиннее катета, поэтому $AC > CD$.

Таким образом, мы имеем два неравенства: $AB > AC$ и $AC > CD$. Объединяя их, по свойству транзитивности неравенств получаем, что $AB > CD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AB > CD$ доказано.

142. Из точки $M$ к прямой $AB$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle BMC = 35^\circ$. Сравните отрезки $MA$ и $BC$.

142. Из точки $M$ к прямой $AB$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle BMC = 35^\circ$. Сравните отрезки $MA$ и $BC$.

По условию, $MC$ — перпендикуляр к прямой $AB$, следовательно, треугольники $ \triangle MAC $ и $ \triangle MBC $ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $C$ ($ \angle MCA = \angle MCB = 90^\circ $).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MBC $. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Зная, что $ \angle BMC = 35^\circ $, найдем угол $ \angle MBC $:

$ \angle MBC = 90^\circ - \angle BMC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ $.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В $ \triangle MBC $ сравним углы $ \angle MBC $ и $ \angle BMC $:

$ 55^\circ > 35^\circ $, следовательно $ \angle MBC > \angle BMC $.

Это означает, что сторона, лежащая напротив угла $ \angle MBC $ (катет $MC$), больше стороны, лежащей напротив угла $ \angle BMC $ (катет $BC$). Таким образом, мы получаем неравенство: $MC > BC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MAC $. В этом треугольнике $MA$ является гипотенузой, а $MC$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $MA > MC$.

Мы получили два неравенства: $MA > MC$ и $MC > BC$. Из них по свойству транзитивности следует, что $MA > BC$.

Ответ: $MA > BC$.

143. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14 см, $\angle E = 30^\circ$. Найдите гипотенузу DE.

143. В прямоугольном треугольнике $DEF$ катет $DF$ равен 14 см, $\angle E = 30^{\circ}$. Найдите гипотенузу $DE$.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $DEF$. Так как $DF$ является катетом, а $DE$ — гипотенузой, то прямой угол в этом треугольнике — это угол $F$ ($\angle F = 90^\circ$).

Известно, что длина катета $DF = 14$ см, а угол $\angle E = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике существует свойство, согласно которому катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $DF$ лежит напротив угла $E$, величина которого равна $30^\circ$.

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:

$DF = \frac{1}{2} \cdot DE$

Теперь подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину гипотенузы $DE$:

$14 = \frac{1}{2} \cdot DE$

Умножим обе части уравнения на 2:

$DE = 14 \cdot 2$

$DE = 28$ см

Ответ: 28 см.

144. В треугольнике KPE известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 60^\circ$. На катете PE отметили такую точку M, что $\angle KMP = 60^\circ$. Найдите PM, если $EM = 16 \text{ см}$.

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 60^\circ$. На катете $PE$ отметили такую точку $M$, что $\angle KMP = 60^\circ$. Найдите $PM$, если $EM = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $KPE$. По условию, это прямоугольный треугольник, так как $\angle P = 90^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти угол $E$:

$\angle E = 180^{\circ} - \angle P - \angle K = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KMP$ (поскольку $\angle P = 90^{\circ}$). Сумма его острых углов равна $90^{\circ}$. Нам известен $\angle KMP = 60^{\circ}$, тогда угол $PKM$ равен:

$\angle PKM = 90^{\circ} - \angle KMP = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $KME$. Найдем его угол $MKE$:

$\angle MKE = \angle PKE - \angle PKM = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

В треугольнике $KME$ два угла равны: $\angle E = 30^{\circ}$ и $\angle MKE = 30^{\circ}$. Следовательно, треугольник $KME$ является равнобедренным с основанием $KE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, сторона $KM$ (противолежащая углу $E$) равна стороне $EM$ (противолежащей углу $MKE$).

$KM = EM$.

По условию задачи $EM = 16$ см, следовательно, $KM = 16$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $KMP$. В нем известен угол $\angle PKM = 30^{\circ}$ и гипотенуза $KM = 16$ см. Катет $PM$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.

$PM = \frac{1}{2} \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Ответ: 8 см.