Страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Один из углов, полученных при пересечении двух прямых, равен $48^\circ$. Найдите остальные углы.

1. При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Они попарно являются либо смежными, либо вертикальными. Пусть известный угол, назовем его $\angle 1$, равен $48^\circ$.

Угол, который является вертикальным по отношению к $\angle 1$ (назовем его $\angle 3$), будет равен ему по свойству вертикальных углов. Таким образом:
$\angle 3 = \angle 1 = 48^\circ$.

Другие два угла (назовем их $\angle 2$ и $\angle 4$) являются смежными к углу $\angle 1$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle 2$:
$\angle 2 + \angle 1 = 180^\circ$
$\angle 2 = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Угол $\angle 4$ является вертикальным углу $\angle 2$, следовательно, он также равен $132^\circ$. Кроме того, $\angle 4$ является смежным углу $\angle 1$, поэтому его также можно найти как $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Таким образом, три оставшихся угла равны $48^\circ$, $132^\circ$ и $132^\circ$.

Ответ: $48^\circ, 132^\circ, 132^\circ$.

2. Углы $ABD$ и $DBC$ – смежные, луч $BM$ – биссектриса угла $ABD$, причем $\angle ABM$ на $30^\circ$ меньше $\angle DBC$. Найдите $\angle ABD$.

По условию задачи, углы $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $ являются смежными. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $ 180^\circ $. Таким образом, мы можем записать равенство:
$ \angle ABD + \angle DBC = 180^\circ $

Известно, что луч $ BM $ является биссектрисой угла $ \angle ABD $. Это означает, что он делит угол $ \angle ABD $ на два равных угла, $ \angle ABM $ и $ \angle MBD $. Следовательно, величина угла $ \angle ABD $ в два раза больше величины угла $ \angle ABM $:
$ \angle ABD = 2 \cdot \angle ABM $

В задаче дано соотношение: угол $ \angle ABM $ на $ 30^\circ $ меньше угла $ \angle DBC $. Запишем это в виде формулы:
$ \angle ABM = \angle DBC - 30^\circ $
Из этого соотношения можно выразить $ \angle DBC $ через $ \angle ABM $:
$ \angle DBC = \angle ABM + 30^\circ $

Теперь подставим полученные выражения для $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $ в уравнение для смежных углов:
$ (2 \cdot \angle ABM) + (\angle ABM + 30^\circ) = 180^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $ \angle ABM $:
$ 3 \cdot \angle ABM + 30^\circ = 180^\circ $
$ 3 \cdot \angle ABM = 180^\circ - 30^\circ $
$ 3 \cdot \angle ABM = 150^\circ $
$ \angle ABM = \frac{150^\circ}{3} $
$ \angle ABM = 50^\circ $

Мы нашли величину угла $ \angle ABM $. Теперь можем найти искомую величину угла $ \angle ABD $, используя формулу из второго шага:
$ \angle ABD = 2 \cdot \angle ABM $
$ \angle ABD = 2 \cdot 50^\circ $
$ \angle ABD = 100^\circ $

Ответ: $ \angle ABD = 100^\circ $.

3. Две параллельные прямые $AB$ и $CD$ пересечены прямой $MN$, $M \in AB$, $N \in CD$, $\angle AMN = 55^\circ$. Чему равны $\angle CNM$ и $\angle DNM$?

По условию задачи даны две параллельные прямые $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$), которые пересекает прямая $MN$ (секущая). Угол $\angle AMN$ равен $55^\circ$. Необходимо найти величины углов $\angle CNM$ и $\angle DNM$.

Нахождение угла $\angle DNM$

Углы $\angle AMN$ и $\angle DNM$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $MN$. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны.

Следовательно, $\angle DNM = \angle AMN$.

Так как $\angle AMN = 55^\circ$, то $\angle DNM = 55^\circ$.

Нахождение угла $\angle CNM$

Углы $\angle CNM$ и $\angle DNM$ являются смежными, так как они имеют общую вершину $N$, общую сторону $NM$, а две другие их стороны ($NC$ и $ND$) лежат на одной прямой $CD$. Сумма смежных углов всегда составляет $180^\circ$.

Поэтому, $\angle CNM + \angle DNM = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденное значение угла $\angle DNM$:

$\angle CNM + 55^\circ = 180^\circ$

$\angle CNM = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Альтернативный способ: Углы $\angle AMN$ и $\angle CNM$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AMN + \angle CNM = 180^\circ$, откуда $\angle CNM = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Ответ: $\angle CNM = 125^\circ$, $\angle DNM = 55^\circ$.

4. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой, при этом получилось 8 углов и односторонние углы относятся как $4:8$. Найдите полученные углы.

Пусть две параллельные прямые пересечены третьей прямой, называемой секущей. При этом образуется 8 углов. Обозначим два односторонних внутренних угла как $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. По свойству параллельных прямых, их сумма равна 180°.

$ \angle 1 + \angle 2 = 180° $

По условию задачи, эти углы относятся как 4:8. Это значит, что можно выразить их величины через коэффициент пропорциональности $ x $. Пусть $ \angle 1 = 4x $, а $ \angle 2 = 8x $.

Подставим эти выражения в формулу суммы односторонних углов и решим получившееся уравнение: $ 4x + 8x = 180° $ $ 12x = 180° $ $ x = \frac{180°}{12} $ $ x = 15° $

Теперь, зная значение $ x $, мы можем найти величины углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $: $ \angle 1 = 4x = 4 \cdot 15° = 60° $ $ \angle 2 = 8x = 8 \cdot 15° = 120° $

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются углы только двух величин. Все острые углы равны между собой, и все тупые углы равны между собой. В нашем случае это 60° и 120°.

В каждой из двух точек пересечения образуется по 4 угла: два по 60° (как вертикальные) и два по 120° (как вертикальные, а также смежные с углами в 60°). Всего получается 8 углов: четыре из них равны 60°, а другие четыре — 120°.

Ответ: четыре угла равны 60°, а остальные четыре угла равны 120°.

5. Через точку пересечения биссектрис $\triangle MNK$ проведена прямая, параллельная стороне $MK$ и пересекающая сторону $MN$ в точке $A$, а сторону $NK$ в точке $B$. Докажите, что $AB = MA + KB$.

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ΔMNK$. По условию задачи, через эту точку проведена прямая, параллельная стороне $MK$. Эта прямая пересекает сторону $MN$ в точке $A$ и сторону $NK$ в точке $B$. Таким образом, точка $I$ лежит на отрезке $AB$, и прямая $AB$ параллельна прямой $MK$ ($AB || MK$).

Рассмотрим треугольник $ΔMAI$. Поскольку $I$ — точка пересечения биссектрис (инцентр), отрезок $MI$ является биссектрисой угла $∠NMK$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно $∠AMI = ∠IMK$.

Так как прямые $AB$ и $MK$ параллельны, а $MI$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠MIA$ и $∠IMK$ равны: $∠MIA = ∠IMK$.

Из двух полученных равенств ($∠AMI = ∠IMK$ и $∠MIA = ∠IMK$) следует, что $∠AMI = ∠MIA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ΔMAI$ — равнобедренный с основанием $MI$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, значит, $MA = AI$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔKBI$. Аналогично, отрезок $KI$ является биссектрисой угла $∠NKM$, поэтому $∠BKI = ∠IKM$.

Так как $AB || MK$, а $KI$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠KIB$ и $∠IKM$ равны: $∠KIB = ∠IKM$.

Следовательно, $∠BKI = ∠KIB$. Это означает, что треугольник $ΔKBI$ также является равнобедренным с основанием $KI$. Его боковые стороны равны, то есть $KB = BI$.

Точка $I$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AI$ и $IB$: $AB = AI + IB$.

Заменим в этом равенстве отрезок $AI$ на равный ему отрезок $MA$ и отрезок $IB$ на равный ему отрезок $KB$. Получим:$AB = MA + KB$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Равенство $AB = MA + KB$ доказано.

6. Найдите основание и боковую сторону равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 5 см и 11 см.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны (это боковые стороны), а третья сторона (основание) может отличаться от них. По условию, две стороны треугольника равны 5 см и 11 см. Это означает, что возможны два варианта.

Случай 1: Боковые стороны равны 5 см, а основание равно 11 см.

Проверим, может ли существовать такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае стороны равны 5 см, 5 см и 11 см.

Проверим сумму боковых сторон: $5 + 5 = 10$ см.

Сравним с основанием: $10 \text{ см} < 11 \text{ см}$.

Неравенство треугольника ($5 + 5 > 11$) не выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Случай 2: Боковые стороны равны 11 см, а основание равно 5 см.

Проверим, может ли существовать такой треугольник. Стороны равны 11 см, 11 см и 5 см.

Применим неравенство треугольника:

$11 + 11 > 5$ ( $22 > 5$ ) – верно.

$11 + 5 > 11$ ( $16 > 11$ ) – верно.

Все условия неравенства треугольника выполняются, значит, такой треугольник существует.

Таким образом, единственный возможный вариант – это треугольник с боковыми сторонами по 11 см и основанием 5 см.

Ответ: основание равно 5 см, боковая сторона равна 11 см.

7. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если:

а) его периметр равен 36 см и основание составляет 1,6 боковой стороны;

б) его периметр равен 40 см, а одна из сторон – 12 см.

а)

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть боковая сторона равна $x$ см. По условию, основание составляет 1,6 боковой стороны, следовательно, его длина равна $1.6x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр равен 36 см. Составим уравнение:

$x + x + 1.6x = 36$

Решим полученное уравнение:

$3.6x = 36$

$x = \frac{36}{3.6}$

$x = 10$

Итак, длина боковой стороны равна 10 см. Теперь найдем длину основания:

$1.6 \times 10 = 16$ см.

Стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см. Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. $10 + 10 = 20$, что больше 16. Условие выполняется.

Ответ: боковые стороны по 10 см, основание 16 см.

б)

Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см, а одна из его сторон — 12 см. В этой задаче необходимо рассмотреть два возможных случая, так как неизвестно, является ли данная сторона основанием или боковой стороной.

Случай 1: Сторона длиной 12 см является основанием.

Пусть основание равно 12 см. Две другие стороны (боковые) равны между собой. Обозначим их длину как $a$. Периметр равен $a + a + 12 = 40$.

Составим и решим уравнение:

$2a + 12 = 40$

$2a = 40 - 12$

$2a = 28$

$a = 14$ см.

В этом случае стороны треугольника равны 14 см, 14 см и 12 см. Неравенство треугольника выполняется ($14+12 > 14$). Этот вариант является решением.

Случай 2: Сторона длиной 12 см является боковой.

Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны, значит, две стороны равны по 12 см. Третья сторона является основанием. Обозначим ее длину как $b$. Периметр равен $12 + 12 + b = 40$.

Составим и решим уравнение:

$24 + b = 40$

$b = 40 - 24$

$b = 16$ см.

В этом случае стороны треугольника равны 12 см, 12 см и 16 см. Неравенство треугольника выполняется ($12+12 > 16$). Этот вариант также является решением.

Ответ: стороны треугольника могут быть 14 см, 14 см, 12 см или 12 см, 12 см, 16 см.