Страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

19. В Улытауском национальном природном парке Казахстана растут необычные леса. Решите задачу и вы узнаете по ее числовому ответу, какой высоты достигает ель Шренка (а) и сколько лет она способна жить (б).

Ель Шренка

Найдите:

а) угол при основании равнобедренного треугольника, если он составляет 62,5 % угла при его вершине;

б) гипотенузу прямоугольного треугольника с углом $60^\circ$, если сумма гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу, равна 900 мм.

а) Обозначим угол при вершине равнобедренного треугольника как $x$, а угол при его основании как $y$. В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма всех углов составляет $180^\circ$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $x + y + y = 180^\circ$ или $x + 2y = 180^\circ$.
Согласно условию, угол при основании составляет 62,5% от угла при вершине. Представим проценты в виде десятичной дроби: $62,5\% = 0,625$. Это дает нам второе уравнение: $y = 0,625x$.
Теперь подставим второе уравнение в первое, чтобы найти неизвестные углы:
$x + 2(0,625x) = 180^\circ$
$x + 1,25x = 180^\circ$
$2,25x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{2,25} = 80^\circ$
Мы нашли угол при вершине. Теперь вычислим искомый угол при основании, подставив значение $x$ в одно из уравнений:
$y = 0,625 \times 80^\circ = 50^\circ$
Ответ: 50

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен $60^\circ$. Пусть $c$ — это гипотенуза, а $b$ — катет, прилежащий к углу в $60^\circ$.
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла: $\cos(60^\circ) = \frac{b}{c}$.
Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Следовательно, мы можем записать: $\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$.
Из этого соотношения выразим катет $b$ через гипотенузу $c$: $b = \frac{c}{2}$.
По условию задачи, сумма гипотенузы и катета, прилежащего к углу $60^\circ$, равна 900 мм: $c + b = 900$.
Подставим в это уравнение выражение для $b$:
$c + \frac{c}{2} = 900$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2c + c}{2} = 900$
$\frac{3c}{2} = 900$
Теперь решим уравнение относительно $c$:
$3c = 900 \times 2$
$3c = 1800$
$c = \frac{1800}{3} = 600$
Таким образом, длина гипотенузы равна 600 мм.
Ответ: 600

В условии задачи говорится, что числовые ответы соответствуют характеристикам ели Шренка. Таким образом, максимальная высота, которой достигает ель Шренка, составляет 50 метров (ответ на задачу а), а её продолжительность жизни может достигать 600 лет (ответ на задачу б).

20. В равнобедренном треугольнике один из углов $120^\circ$, а его основание равно 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины его острого угла.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если предположить, что заданный угол в $120^\circ$ является углом при основании, то сумма двух таких углов составит $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$ и, следовательно, невозможно в треугольнике. Значит, угол в $120^\circ$ — это угол при вершине, противолежащей основанию. Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ основание $AC = 16$ см, а угол при вершине $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину равных углов при основании $\angle A$ и $\angle C$:$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.Эти углы являются острыми, как и требуется в условии задачи.

Необходимо найти высоту, проведенную из вершины острого угла. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Так как угол $\angle A$ является острым ($30^\circ$), основание высоты $H$ будет лежать на отрезке $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике:- $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота.- Сторона $AC$ является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла. По условию, ее длина $AC = 16$ см.- Угол $\angle HAC$ — это угол $\angle A$ исходного треугольника, то есть $\angle HAC = 30^\circ$.- Искомая высота $CH$ является катетом, противолежащим углу $\angle HAC$.

В прямоугольном треугольнике для нахождения катета, противолежащего известному углу, можно использовать синус этого угла:$\sin(\angle HAC) = \frac{CH}{AC}$

Подставив известные значения, получим:$\sin(30^\circ) = \frac{CH}{16}$

Зная, что значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, выразим высоту $CH$:$CH = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

21. Из точки A, удаленной от прямой b на расстояние 7 см, проведены к ней перпендикуляр AB и наклонная AC (B и C принадлежат прямой b). Найдите BC, если $ \angle CAB = 45^\circ $.

По условию, из точки A к прямой b проведен перпендикуляр AB. Расстояние от точки A до прямой b равно длине этого перпендикуляра, следовательно, $AB = 7$ см. Поскольку AB — перпендикуляр к прямой b, на которой лежат точки B и C, то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике ABC нам известны длина катета $AB = 7$ см и величина острого угла $\angle CAB = 45^\circ$. Необходимо найти длину второго катета BC.

Найдем третий угол треугольника, зная, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике ABC два угла равны ($\angle CAB = \angle ACB = 45^\circ$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае катет BC лежит напротив угла $\angle CAB$, а катет AB — напротив угла $\angle ACB$. Следовательно, их длины равны: $BC = AB$.

Так как $AB = 7$ см, то и $BC = 7$ см. Этот же результат можно получить, используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AB}$, откуда $\tan(45^\circ) = \frac{BC}{7}$. Поскольку $\tan(45^\circ)=1$, получаем $1 = \frac{BC}{7}$, что дает $BC=7$ см.
Ответ: 7 см.

22. Медиана $CM$ прямоугольного $\Delta ABC$ с прямым углом $C$ равна 4 см. Найдите $AB$.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ΔABC$ с прямым углом $C$ ($∠C=90°$) проведена медиана $CM$ к гипотенузе $AB$. Длина медианы $CM$ равна 4 см.

Для решения задачи необходимо использовать свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Это свойство гласит, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Данное свойство вытекает из того, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине гипотенузы. Точка $M$ является центром этой окружности, а отрезки $AM$, $BM$ и $CM$ — ее радиусами. Следовательно, $AM = BM = CM$.

Таким образом, мы можем записать соотношение между медианой $CM$ и гипотенузой $AB$ в виде формулы:

$CM = \frac{1}{2}AB$

Из этой формулы выразим длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot CM$

Подставим известное из условия значение длины медианы $CM = 4$ см:

$AB = 2 \cdot 4$ см

$AB = 8$ см

Ответ: 8 см.

23. В $\triangle ABC$ медиана $CM$ вдвое меньше стороны $AB$. Найдите угол $C$.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что отрезок $CM$ делит сторону $AB$ на два равных отрезка: $AM = MB$. Таким образом, длина каждого из этих отрезков равна половине длины стороны $AB$: $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

По условию задачи дано, что длина медианы $CM$ вдвое меньше длины стороны $AB$, то есть $CM = \frac{1}{2}AB$.

Сопоставляя эти равенства, мы получаем, что $CM = AM = MB$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку две его стороны равны ($AM = CM$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAC = \angle ACM$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Поскольку две его стороны равны ($BM = CM$), он также является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle MBC = \angle BCM$. Обозначим величину этих углов через $\beta$.

Угол $C$ исходного треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle ACM$ и $\angle BCM$. Таким образом, $\angle C = \angle ACM + \angle BCM = \alpha + \beta$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Заменим углы их выражениями через $\alpha$ и $\beta$:
$\angle A = \angle MAC = \alpha$
$\angle B = \angle MBC = \beta$
$\angle C = \alpha + \beta$

Подставим эти выражения в уравнение суммы углов:
$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$
$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$
$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$
$\alpha + \beta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как мы ранее установили, что $\angle C = \alpha + \beta$, то получаем, что $\angle C = 90^\circ$.

Примечание: Эту задачу можно решить, используя свойство описанной окружности. Если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным, и эта сторона является его гипотенузой. В нашем случае $AM = MB = CM$, что означает, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а сторона $AB$ - ее диаметром. Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, следовательно, угол $C$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

24. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника, используется ключевое свойство: центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы.

Из этого свойства следует, что гипотенуза данного треугольника является диаметром описанной около него окружности. Радиус ($R$) любой окружности равен половине ее диаметра. Следовательно, радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы ($c$).

Это можно выразить следующей формулой:
$R = \frac{c}{2}$

По условию задачи, длина гипотенузы составляет $c = 10$ см. Подставим это значение в нашу формулу для нахождения радиуса:
$R = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

25. Докажите, что радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: $r=\frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ его катеты, $c$ – гипотенуза.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Пусть вершина прямого угла будет $C$, тогда катеты $AC=b$ и $BC=a$. Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ как $M$, $K$ и $N$ соответственно. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AC$ и $OK \perp BC$.

Рассмотрим четырехугольник $CMOK$. В нем $\angle C = 90^\circ$ (по условию), $\angle OMC = 90^\circ$ и $\angle OKC = 90^\circ$ (так как радиусы перпендикулярны касательным). Значит, $CMOK$ — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $OM$ и $OK$ равны радиусу $r$, то $CMOK$ — это квадрат. Отсюда следует, что $CM = CK = r$.

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Поэтому:

$AM = AN$

$BK = BN$

Теперь выразим длины этих отрезков. Катет $b = AC = AM + CM$. Так как $CM = r$, то $AM = b - r$. Аналогично, катет $a = BC = BK + CK$. Так как $CK = r$, то $BK = a - r$.

Так как $AN = AM$ и $BN = BK$, то мы имеем $AN = b - r$ и $BN = a - r$.

Гипотенуза $c = AB$ равна сумме отрезков $AN$ и $BN$:

$c = AN + BN = (b - r) + (a - r)$

Упростим полученное равенство:

$c = a + b - 2r$

Выразим из этого уравнения $r$:

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Таким образом, требуемая формула доказана.

Ответ: $r = \frac{a+b-c}{2}$

26. Чему равен радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 8 см, а сумма катетов – 11 см?

Для определения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, используется формула, связывающая радиус r с катетами a, b и гипотенузой c.

Формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеет вид:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

Сумма катетов: $a + b = 11$ см.

Длина гипотенузы: $c = 8$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$r = \frac{(a + b) - c}{2} = \frac{11 - 8}{2}$

Теперь выполним вычисление:

$r = \frac{3}{2} = 1,5$

Следовательно, радиус вписанной окружности равен 1,5 см.

Ответ: 1,5 см.