Страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

36. В треугольник с углами $40^\circ$ и $50^\circ$ вписана окружность. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания.

Сначала найдем третий угол треугольника. Пусть углы треугольника равны $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. По условию, $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 50^\circ$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть вписанная окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $F$, $D$ и $E$ соответственно. Окружность разделена этими точками на три дуги: $\overset{\frown}{DE}$, $\overset{\frown}{EF}$ и $\overset{\frown}{FD}$. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, нам нужно найти величины углов $\angle DOE$, $\angle EOF$ и $\angle FOD$.

Рассмотрим четырехугольник $AFOE$, образованный вершиной $A$ и точками касания $F$, $E$ на прилежащих сторонах, а также центром вписанной окружности $O$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника, поэтому $\angle AFO = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Отсюда получаем:
$\angle EOF = 360^\circ - \angle A - \angle AFO - \angle AEO = 360^\circ - 40^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 140^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{EF}$ равна $140^\circ$.

Аналогично для четырехугольника $BFOD$:
$\angle FOD = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{FD}$ равна $130^\circ$.

И для четырехугольника $CDOE$:
$\angle DOE = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{DE}$ равна $90^\circ$.

Проверим, что сумма градусных мер всех дуг составляет полную окружность: $140^\circ + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Ответ: градусные меры дуг равны $90^\circ$, $130^\circ$ и $140^\circ$.

37. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его гипотенузе.

Задача состоит в построении равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью циркуля и линейки, если задан отрезок, являющийся его гипотенузой. Решение включает в себя анализ свойств такого треугольника, пошаговый алгоритм построения и доказательство корректности.

Проведем анализ. Пусть дан отрезок $AB$, который является гипотенузой искомого равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны ($AC = BC$), а углы при гипотенузе равны по $45^\circ$. Вершина прямого угла $C$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, если $M$ — середина $AB$, то $CM = AM = MB$. Это свойство означает, что вершина $C$ лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза $AB$. Таким образом, точка $C$ является пересечением серединного перпендикуляра к $AB$ и окружности с центром в середине $AB$ и радиусом, равным половине $AB$.

Основываясь на анализе, приводим следующий алгоритм построения:

1. На плоскости отложим заданный отрезок $AB$, который будет служить гипотенузой.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров проведем циркулем две пересекающиеся дуги окружностей с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$. Через точки пересечения дуг проведем прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AB$. Отметим точку $M$ — точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AB$.

3. Поставим ножку циркуля в точку $M$ и установим его радиус равным длине отрезка $AM$ (или $MB$).

4. Проведем этой окружностью (или ее дугой) до пересечения с серединным перпендикуляром. Точка пересечения и будет искомой вершиной $C$ прямого угла. (Таких точек пересечения две, по одной с каждой стороны от гипотенузы. Для построения треугольника достаточно выбрать одну из них).

5. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Докажем, что построенный треугольник удовлетворяет условиям задачи.По построению, точка $C$ находится на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $AC = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.Также по построению $M$ — середина гипотенузы $AB$, и $CM = AM = MB$. Это значит, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а гипотенуза $AB$ — её диаметром. Вписанный угол $∠ACB$ опирается на диаметр, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным, а $AB$ — его гипотенузой.

Ответ: Искомый треугольник строится путем нахождения его третьей вершины (вершины прямого угла) на пересечении серединного перпендикуляра к данной гипотенузе и окружности, построенной на этой гипотенузе как на диаметре.

38. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD$ его высота. Докажите, что треугольники $ACD$ и $CDB$ имеют соответственно равные углы.

По условию задачи, в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $∠C = 90°$, а $CD$ — его высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Из определения высоты следует, что $CD \perp AB$, а значит, углы при основании высоты являются прямыми: $∠CDA = 90°$ и $∠CDB = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180°$. Так как $∠C = 90°$, то сумма двух других острых углов равна $90°$: $∠A + ∠B = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $∠CDA = 90°$. Сумма его острых углов также равна $90°$: $∠A + ∠ACD = 90°$.

Сравнивая два полученных равенства, $∠A + ∠B = 90°$ и $∠A + ∠ACD = 90°$, мы видим, что $∠B = ∠ACD$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CDB$. Он также является прямоугольным, так как $∠CDB = 90°$. Сумма его острых углов равна $90°$: $∠B + ∠BCD = 90°$.

Сравнивая равенства $∠A + ∠B = 90°$ и $∠B + ∠BCD = 90°$, мы видим, что $∠A = ∠BCD$.

Таким образом, мы установили соответствие между углами треугольников $ACD$ и $CDB$:

1. $∠CDA = ∠CDB = 90°$ (как углы, образованные высотой).

2. $∠A$ (в $\triangle ACD$) = $∠BCD$ (в $\triangle CDB$).

3. $∠ACD$ (в $\triangle ACD$) = $∠B$ (в $\triangle CDB$).

Все три угла треугольника $ACD$ соответственно равны трем углам треугольника $CDB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники $ACD$ и $CDB$ имеют соответственно равные углы: $∠A = ∠BCD$, $∠ACD = ∠B$ и $∠CDA = ∠CDB = 90°$.

39. На рисунке 21 $AB = CD$, $AC = BD$. Докажите, что:

а) треугольники $AOD$ и $BOC$ имеют соответственно равные углы;

б) $BC \parallel AD$.

Рисунок 21

а)

Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△DCA$. По условию задачи $AB = CD$ и $BD = AC$. Сторона $AD$ у них общая. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $△ABD \cong △DCA$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $∠CAD = ∠BDA$.

Аналогично рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△DCB$. По условию $AB = DC$ и $AC = DB$. Сторона $BC$ у них общая. Следовательно, по третьему признаку, $△ABC \cong △DCB$. Из этого следует равенство углов $∠BCA = ∠CBD$.

Теперь сравним треугольники $△AOD$ и $△BOC$.Во-первых, $∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные углы.Во-вторых, из равенства $∠CAD = ∠BDA$ (углы $∠OAD$ и $∠ODA$ в $△AOD$) следует, что треугольник $AOD$ является равнобедренным.Аналогично, из равенства $∠BCA = ∠CBD$ (углы $∠OCB$ и $∠OBC$ в $△BOC$) следует, что треугольник $BOC$ является равнобедренным.Поскольку $∠AOD = ∠BOC$, а оба треугольника равнобедренные, их углы при основании также должны быть равны. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, значит угол при основании $△AOD$ равен $(180° - ∠AOD)/2$, а угол при основании $△BOC$ равен $(180° - ∠BOC)/2$. Отсюда $∠OAD = ∠OBC$.Так как в равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании равны ($∠OAD = ∠ODA$), а в равнобедренном треугольнике $BOC$ углы при основании равны ($∠OBC = ∠OCB$), то из равенства $∠OAD = ∠OBC$ вытекает, что $∠ODA = ∠OCB$.Таким образом, углы треугольников $AOD$ и $BOC$ соответственно равны: $∠AOD = ∠BOC$, $∠OAD = ∠OBC$, $∠ODA = ∠OCB$.

Ответ: Доказано, что треугольники $AOD$ и $BOC$ имеют соответственно равные углы.

б)

Для доказательства параллельности прямых $BC$ и $AD$ рассмотрим их и секущую $AC$. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими. Если мы докажем их равенство, то по признаку параллельности прямых $BC \parallel AD$.

В ходе доказательства пункта а) были установлены следующие равенства углов:1. $∠BCA = ∠CBD$ (из $△ABC \cong △DCB$).2. $∠OAD = ∠OBC$, что эквивалентно $∠CAD = ∠CBD$.Из этих двух равенств следует, что $∠BCA = ∠CAD$.

Так как накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$ равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Ответ: Доказано, что $BC \parallel AD$.

40. На рисунке 22 $AM \parallel BN$, $AM = MC$, $CN = NB$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Рисунок 22

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи дано, что $AM = MC$. Это означает, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим величину этих равных углов через $\alpha$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BNC$. По условию $CN = NB$, следовательно, треугольник $BNC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle NBC = \angle NCB$. Обозначим величину этих равных углов через $\beta$.

Из условия задачи известно, что прямые $AM$ и $BN$ параллельны ($AM \parallel BN$). Прямая $MN$ является секущей по отношению к этим параллельным прямым. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. В данном случае, это углы $\angle AMN$ и $\angle BNM$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle AMN + \angle BNM = 180^\circ$.

Выразим углы $\angle AMN$ и $\angle BNM$ через $\alpha$ и $\beta$, используя свойство о сумме углов треугольника (сумма углов равна $180^\circ$).
Для $\triangle AMC$: $\angle AMN + \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ$. Подставляя $\angle MAC = \angle MCA = \alpha$, получаем $\angle AMN + 2\alpha = 180^\circ$, откуда $\angle AMN = 180^\circ - 2\alpha$.
Для $\triangle BNC$: $\angle BNM + \angle NBC + \angle NCB = 180^\circ$. Подставляя $\angle NBC = \angle NCB = \beta$, получаем $\angle BNM + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\angle BNM = 180^\circ - 2\beta$.

Теперь подставим полученные выражения для углов $\angle AMN$ и $\angle BNM$ в равенство для суммы внутренних односторонних углов:
$(180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ$
$360^\circ - 2\alpha - 2\beta = 180^\circ$
$360^\circ - 180^\circ = 2\alpha + 2\beta$
$180^\circ = 2(\alpha + \beta)$
$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Точки $M$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой, что означает, что угол $\angle MCN$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трех углов: $\angle MCN = \angle MCA + \angle ACB + \angle BCN$.
Используя наши обозначения $\angle MCA = \alpha$ и $\angle BCN = \beta$, получаем: $180^\circ = \alpha + \angle ACB + \beta$.
Сгруппируем слагаемые: $180^\circ = \angle ACB + (\alpha + \beta)$.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что сумма углов $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в последнее уравнение:
$180^\circ = \angle ACB + 90^\circ$
$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ$
$\angle ACB = 90^\circ$.
Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Доказано, что $\angle ACB = 90^\circ$.

41. На боковых сторонах равнобедренного $\triangle ABC$ отмечены точки $M, N$ и $K$ так, что $BN = NK = KM = MC = AC$ (рисунок 23). Найдите угол $B$.

Для решения задачи воспользуемся методом углов и теоремой синусов. Пусть $\triangle ABC$ – равнобедренный треугольник с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Обозначим искомый угол $\angle B$ через $\beta$. Тогда углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

В условии задачи сказано, что точки M, N, и K лежат на боковых сторонах $AB$ и $BC$. Равенство $BN=NK=KM=MC=AC$ представляет собой цепочку отрезков. Наиболее естественная конфигурация, соответствующая таким задачам и наличию рисунка (который здесь не представлен, но подразумевается), — это ломаная линия, где точки последовательно располагаются на разных сторонах. Рассмотрим конфигурацию, где точка N лежит на стороне $BC$, а точки K и M — на стороне $AB$.

Пусть длина основания $AC$ равна $x$. Тогда из условия следует, что $BN=NK=KM=MC=x$.

1. Анализ $\triangle AMC$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Точка M лежит на стороне $AB$. По условию $MC=AC=x$. Следовательно, $\triangle AMC$ является равнобедренным. Углы при его основании $AM$ равны, то есть $\angle MAC = \angle AMC$. Однако угол $\angle MAC$ совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $\triangle ABC$, поэтому $\angle MAC = \alpha$.

Отсюда следует, что и другой угол при основании $\triangle AMC$ равен $\alpha$: $\angle AMC = \alpha$.

Сумма углов в $\triangle AMC$ равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ACM = 180^\circ - (\angle MAC + \angle AMC) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.Заметим, что $180^\circ - 2\alpha = \beta$. Таким образом, $\angle ACM = \beta$.

2. Анализ $\triangle BNK$

Рассмотрим треугольник $\triangle BNK$. Точка N лежит на стороне $BC$, а точка K — на стороне $AB$. По условию $BN=NK=x$. Следовательно, $\triangle BNK$ является равнобедренным. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $NK$, — это $\angle KBN$, который совпадает с углом $\angle ABC$, то есть $\angle KBN = \beta$. Угол, противолежащий стороне $BN$, — это $\angle BKN$.

Следовательно, $\angle BKN = \angle KBN = \beta$.

Третий угол треугольника $\angle BNK = 180^\circ - (\angle KBN + \angle BKN) = 180^\circ - (\beta + \beta) = 180^\circ - 2\beta$.

3. Выражение длин отрезков на стороне AB

Теперь выразим длины отрезков $AM$ и $BK$ через $x$ и углы треугольника, используя теорему синусов.

В $\triangle AMC$ по теореме синусов:

$\frac{AM}{\sin(\angle ACM)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

$\frac{AM}{\sin\beta} = \frac{x}{\sin\alpha} \implies AM = x \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$

Так как $\beta = 180^\circ - 2\alpha$, то $\sin\beta = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$AM = x \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2x\cos\alpha$.

В $\triangle BNK$ по теореме синусов:

$\frac{BK}{\sin(\angle BNK)} = \frac{NK}{\sin(\angle KBN)}$

$\frac{BK}{\sin(180^\circ - 2\beta)} = \frac{x}{\sin\beta} \implies BK = x \frac{\sin(2\beta)}{\sin\beta} = x \frac{2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta} = 2x\cos\beta$.

4. Составление и решение уравнения

Точки K и M лежат на одной стороне $AB$. Длина отрезка $KM$ по условию равна $x$. Длину $KM$ можно выразить как модуль разности расстояний от одной из вершин (например, A) до точек K и M: $KM = |AM - AK|$.

Сначала найдем длину боковой стороны $AB$ из $\triangle ABC$ по теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin\beta} \implies AB = x \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = x \frac{\sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{x}{2\cos\alpha}$.

Расстояние $AK$ от вершины A до точки K равно $AK = AB - BK = \frac{x}{2\cos\alpha} - 2x\cos\beta$.

Теперь составим уравнение для $KM$:

$KM = |AM - AK| = |2x\cos\alpha - (\frac{x}{2\cos\alpha} - 2x\cos\beta)| = x$.

Разделим обе части на $x$ (так как $x\neq0$):

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2\cos\beta| = 1$.

Заменим $\cos\beta$ через $\cos\alpha$: $\cos\beta = \cos(180^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) = -(2\cos^2\alpha - 1) = 1-2\cos^2\alpha$.

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2(1-2\cos^2\alpha)| = 1$.

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2 - 4\cos^2\alpha| = 1$.

Умножим выражение в модуле на $2\cos\alpha$, чтобы избавиться от дроби:

$|\frac{4\cos^2\alpha - 1 + 4\cos\alpha - 8\cos^3\alpha}{2\cos\alpha}| = 1$.

$|-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha - 1| = |2\cos\alpha|$.

Так как $\alpha$ - угол остроугольного или тупоугольного треугольника, $0 < \alpha < 90^\circ$, то $\cos\alpha > 0$. Значит, $|2\cos\alpha|=2\cos\alpha$.

$-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha - 1 = \pm 2\cos\alpha$.

Рассмотрим случай со знаком "+":

$-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$.

$8\cos^3\alpha - 4\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 = 0$.

Это кубическое уравнение относительно $\cos\alpha$. Проверим, есть ли у него простые корни. Например, $\cos\alpha = 1/2$ ($\alpha=60^\circ$):

$8(\frac{1}{2})^3 - 4(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 1 = 8(\frac{1}{8}) - 4(\frac{1}{4}) - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Равенство выполняется, значит $\cos\alpha = 1/2$ является корнем уравнения.

Если $\cos\alpha = 1/2$, то $\alpha = 60^\circ$.

Тогда $\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2(60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ является равносторонним. В этом случае все условия задачи выполняются (при этом точки K и M совпадут с вершинами A и B, а точка N — с вершиной C).

Ответ:

Угол $B$ равен $60^\circ$.

Представьте себе земельный участок в форме пятиугольника, между любыми двумя пунктами которого можно пройти по прямой дорожке, не пересекающей его границу. Постройте примерный план этого участка в тетради. Измерьте транспортиром все углы полученного пятиугольника и найдите их сумму.

Условие, согласно которому между любыми двумя точками участка можно пройти по прямой дорожке, не пересекая его границу, означает, что земельный участок должен иметь форму выпуклого пятиугольника. У выпуклого многоугольника все внутренние углы меньше $180^{\circ}$, и он не имеет вогнутых частей («впадин»).

Построение и измерение

Для выполнения задания необходимо сначала построить в тетради произвольный выпуклый пятиугольник. Для этого отметьте пять точек (вершин) и последовательно соедините их отрезками с помощью линейки.
После построения пятиугольника (назовем его ABCDE) следует измерить все его пять внутренних углов с помощью транспортира.
Поскольку построение и измерение выполняются вручную, они будут иметь некоторую погрешность. Приведем пример возможных измерений:
$\angle A \approx 108^{\circ}$
$\angle B \approx 110^{\circ}$
$\angle C \approx 105^{\circ}$
$\angle D \approx 120^{\circ}$
$\angle E \approx 97^{\circ}$
Теперь найдем сумму этих измеренных углов:
Сумма $\approx 108^{\circ} + 110^{\circ} + 105^{\circ} + 120^{\circ} + 97^{\circ} = 540^{\circ}$.
При реальном измерении ваша сумма может незначительно отличаться (например, быть в диапазоне $537^{\circ} - 543^{\circ}$), что является нормальным из-за погрешности инструментов и построений.

Теоретический расчет и вывод

В геометрии существует формула для нахождения суммы внутренних углов любого выпуклого n-угольника:
$S = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$
где $n$ — количество углов (и сторон) многоугольника.
Для пятиугольника $n=5$. Подставим это значение в формулу:
$S = (5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$.
Этот расчет показывает, что сумма внутренних углов любого выпуклого пятиугольника всегда строго равна $540^{\circ}$, независимо от длины его сторон и конкретных значений углов. Практические измерения должны стремиться к этому значению.

Ответ: Сумма углов построенного выпуклого пятиугольника, измеренная с помощью транспортира, будет приблизительно равна $540^{\circ}$. Точное теоретическое значение суммы внутренних углов любого выпуклого пятиугольника составляет $540^{\circ}$.