Страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

27. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника 20 см, а радиус вписанной в него окружности 4 см. Найдите длины катетов, если больший из них равен среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$. Согласно условию задачи, мы имеем:

Длина гипотенузы: $c = 20$ см.

Радиус вписанной окружности: $r = 4$ см.

Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим известные значения $r=4$ и $c=20$ в эту формулу:

$4 = \frac{a + b - 20}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 = a + b - 20$

Из этого уравнения выразим сумму длин катетов:

$a + b = 28$

Теперь используем второе условие задачи: больший из катетов равен среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы. Пусть $a$ — это больший катет, а $b$ — меньший катет ($a > b$). Тогда это условие можно записать в виде уравнения:

$a = \frac{b + c}{2}$

Подставим известное значение $c=20$:

$a = \frac{b + 20}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2a = b + 20$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 28 \\ 2a - b = 20 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(a + b) + (2a - b) = 28 + 20$

$3a = 48$

$a = \frac{48}{3} = 16$

Мы нашли длину большего катета: $a = 16$ см.

Чтобы найти длину меньшего катета $b$, подставим значение $a$ в первое уравнение системы $a + b = 28$:

$16 + b = 28$

$b = 28 - 16 = 12$

Длина меньшего катета: $b = 12$ см.

Таким образом, длины катетов равны 12 см и 16 см. Проверим решение с помощью теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$20^2 = 400$

Равенство $400=400$ верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: длины катетов равны 12 см и 16 см.

28. Чему равен радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 2 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта общая точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника.

Ключевым свойством является то, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины, является также и медианой. Радиус описанной окружности ($R$) — это расстояние от центра до вершины треугольника. Радиус вписанной окружности ($r$) — это расстояние от центра до стороны треугольника (длина перпендикуляра). Таким образом, $R$ представляет собой большую часть медианы (от вершины до центра), а $r$ — меньшую часть (от центра до стороны).

Из свойства деления медиан в отношении 2:1 следует, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности. Это можно выразить следующей формулой:

$R = 2r$

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 2$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти радиус описанной окружности $R$:

$R = 2 \times 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

29. В треугольнике $ABC$ $\angle B = 40^\circ$. Найдите $\angle AOC$, где $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник.

Точка $O$ является центром вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезки $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.

Это значит, что угол $\angle OAC$ равен половине угла $\angle BAC$, а угол $\angle OCA$ равен половине угла $\angle BCA$:
$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$
$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Зная, что $\angle B = 40^\circ$, мы можем найти сумму двух других углов:
$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:
$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для $\angle OAC$ и $\angle OCA$:
$\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle BCA = 180^\circ$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle AOC + \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ$

Мы уже вычислили, что $\angle BAC + \angle BCA = 140^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$\angle AOC + \frac{1}{2}(140^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOC + 70^\circ = 180^\circ$

Наконец, найдем искомый угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Ответ: $110^\circ$

30. Докажите, что если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она принадлежит биссектрисе этого угла. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Эта задача состоит из двух частей: доказательства прямого и обратного утверждений, которые вместе описывают свойство биссектрисы угла как геометрического места точек.

1. Доказательство: если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она принадлежит биссектрисе этого угла.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Пусть точка $M$ лежит внутри этого угла. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MK$ и $MP$ на стороны угла.

Дано:
- Точка $M$ внутри $\angle A$.
- $MK \perp$ стороне $AK$.
- $MP \perp$ стороне $AP$.
- Точка $M$ равноудалена от сторон, то есть $MK = MP$.

Доказать:
- Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ (они прямоугольные, так как $MK$ и $MP$ — перпендикуляры). В этих треугольниках: - гипотенуза $AM$ является общей; - катеты $MK$ и $MP$ равны по условию ($MK = MP$). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle MAK = \angle MAP$. А это означает, что луч $AM$ делит угол $\angle A$ на два равных угла, то есть луч $AM$ является биссектрисой этого угла. Таким образом, точка $M$ принадлежит биссектрисе угла, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2. Формулировка и доказательство обратного утверждения.

Формулировка обратного утверждения:
Если точка, лежащая внутри угла, принадлежит его биссектрисе, то она равноудалена от сторон этого угла.

Дано:
- Точка $M$ лежит на биссектрисе $AM$ угла $\angle A$.
- $MK \perp$ стороне $AK$.
- $MP \perp$ стороне $AP$.

Доказать:
- Точка $M$ равноудалена от сторон угла, то есть $MK = MP$.

Доказательство:
Поскольку точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$, то луч $AM$ делит угол на два равных угла: $\angle MAK = \angle MAP$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$. В этих треугольниках: - гипотенуза $AM$ является общей; - острые углы $\angle MAK$ и $\angle MAP$ равны по условию (так как $AM$ — биссектриса). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MK = MP$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до сторон угла равны, то есть точка $M$ равноудалена от сторон угла, что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.

31. Через точку $C$ окружности с центром $O$ проведены касательная $CB$ и хорда $CA$, $\angle ACB = 48^\circ$. Найдите $\angle AOC$.

Проведем радиус $OC$ к точке касания $C$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол между радиусом $OC$ и касательной $CB$ равен $90°$. Таким образом, $∠OCB = 90°$.

Из условия задачи известно, что угол между касательной $CB$ и хордой $CA$ составляет $48°$, то есть $∠ACB = 48°$. Угол $∠OCA$ является частью угла $∠OCB$. Мы можем найти его величину, вычтя $∠ACB$ из $∠OCB$:

$∠OCA = ∠OCB - ∠ACB = 90° - 48° = 42°$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны ($OA = OC$). Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:

$∠OAC = ∠OCA = 42°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $AOC$ справедливо равенство: $∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°$. Подставим известные значения углов в это уравнение, чтобы найти искомый угол $∠AOC$:

$∠AOC + 42° + 42° = 180°$

$∠AOC + 84° = 180°$

$∠AOC = 180° - 84° = 96°$.

Ответ: $96°$.

32. Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Найдите $\angle AOB$, если:
a) $OM = 8 \text{ см}$ и радиус окружности равен $4 \text{ см}$;
б) $\angle AMB = 84^\circ$.

а) Рассмотрим треугольник $OAM$. Поскольку $MA$ является касательной к окружности, проведенной в точку $A$, радиус $OA$ перпендикулярен этой касательной. Таким образом, треугольник $OAM$ — прямоугольный, где $\angle OAM = 90^{\circ}$.

В этом треугольнике нам даны:
1. Катет $OA$, равный радиусу окружности: $OA = 4$ см.
2. Гипотенуза $OM$: $OM = 8$ см.

Катет $OA$ в два раза короче гипотенузы $OM$ ($4 = 8 / 2$). В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в $30^{\circ}$. Следовательно, $\angle AMO = 30^{\circ}$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому:
$\angle AOM = 90^{\circ} - \angle AMO = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по катету и гипотенузе ($OA = OB$ как радиусы, $OM$ — общая гипотенуза). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM = 60^{\circ}$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен сумме углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$:

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$

Ответ: $120^{\circ}$.

б) Рассмотрим четырехугольник $OAMB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^{\circ}$.

По свойству касательных, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Это означает, что $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$. Следовательно, углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ являются прямыми:

$\angle OAM = 90^{\circ}$
$\angle OBM = 90^{\circ}$

По условию задачи, угол $\angle AMB = 84^{\circ}$.

Теперь мы можем найти четвертый угол четырехугольника, $\angle AOB$, используя свойство о сумме углов:

$\angle AOB + \angle OAM + \angle AMB + \angle OBM = 360^{\circ}$

Подставим известные значения:

$\angle AOB + 90^{\circ} + 84^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle AOB + 264^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle AOB = 360^{\circ} - 264^{\circ}$

$\angle AOB = 96^{\circ}$

Ответ: $96^{\circ}$.

33. a) Найдите угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$, если эта хорда стягивает дугу в $62^{\circ}$.

б) Две точки окружности разделили ее на две дуги. Найдите их градусные меры, если угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен $110^{\circ}$.

а) Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности, где $AC$ — диаметр, а $AB$ — хорда. Угол, который необходимо найти, — это угол $\angle BAC$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AC$ является диаметром, то вписанный угол $\angle ABC$, который опирается на дугу $AC$ (полуокружность), является прямым. Следовательно, $\angle ABC = 90^{\circ}$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.
По условию, хорда $AB$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $62^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на эту дугу. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 62^{\circ} = 31^{\circ}$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому $\angle BAC + \angle ACB = 90^{\circ}$.
Выразим искомый угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 90^{\circ} - \angle ACB = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}$.
Ответ: $59^{\circ}$.

б) Пусть две точки на окружности делят ее на две дуги. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, является центральным углом. По условию, его величина составляет $110^{\circ}$.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, одна из дуг (меньшая) имеет градусную меру $110^{\circ}$.
Полная окружность составляет $360^{\circ}$. Так как две дуги вместе образуют всю окружность, сумма их градусных мер равна $360^{\circ}$.
Чтобы найти градусную меру второй (большей) дуги, необходимо из полной меры окружности вычесть меру первой дуги:
$360^{\circ} - 110^{\circ} = 250^{\circ}$.
Таким образом, градусные меры двух дуг равны $110^{\circ}$ и $250^{\circ}$.
Ответ: $110^{\circ}$ и $250^{\circ}$.

34. Какова градусная мера дуги, которую описывает:

а) ежеминутно конец часовой стрелки;

б) ежесекундно окружность махового колеса, делающего 45 оборотов в минуту;

в) ежеминутно каждая точка экватора Земли при ее вращении вокруг оси?

а) Полный оборот циферблата часов составляет $360°$. Часовая стрелка совершает один полный оборот за 12 часов. Для того чтобы найти, на какой угол она поворачивается за один час, необходимо разделить общее количество градусов на количество часов:

$360° \div 12 \text{ часов} = 30° \text{ в час}$

В одном часе 60 минут. Чтобы найти, какую дугу описывает конец стрелки за одну минуту, нужно разделить полученное значение на 60:

$30° \div 60 \text{ минут} = 0.5°$

Ответ: 0,5°.

б) Маховое колесо делает 45 оборотов в минуту. Один полный оборот равен $360°$. Найдем общую угловую меру, которую описывает точка на окружности колеса за одну минуту:

$45 \text{ оборотов/минуту} \times 360°/\text{оборот} = 16200° \text{ в минуту}$

В одной минуте 60 секунд. Чтобы найти, какую дугу окружность описывает ежесекундно, разделим полученное значение на 60:

$16200° \div 60 \text{ секунд} = 270°$

Ответ: 270°.

в) Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, равный $360°$, за 24 часа. Найдем угловую скорость вращения Земли:

$360° \div 24 \text{ часа} = 15° \text{ в час}$

В одном часе 60 минут. Чтобы найти, какую дугу описывает каждая точка экватора за одну минуту, разделим часовое смещение на 60:

$15° \div 60 \text{ минут} = 0.25°$

Ответ: 0,25°.

35. Из точки $M$ к окружности с центром $O$ и радиусом 5 см проведены две касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ – точки касания). На большей из дуг $AB$ отмечена точка $C$. Найдите градусные меры дуг $AB$ и $ACB$, если $AM = 5$ см.

По условию задачи имеем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 5$ см. Из точки $M$ к окружности проведены две касательные $MA$ и $MB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Длина отрезка касательной $AM$ равна 5 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. Так как $MA$ — это касательная, а $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания, то они перпендикулярны. Следовательно, $\angle OAM = 90^\circ$, и треугольник $\triangle OAM$ является прямоугольным.

Катет $OA$ равен радиусу окружности, то есть $OA = 5$ см. По условию, катет $AM$ также равен 5 см. Поскольку катеты прямоугольного треугольника $\triangle OAM$ равны ($OA=AM=5$ см), он является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и составляют по $45^\circ$. Значит, $\angle AOM = 45^\circ$.

Аналогично, треугольник $\triangle OBM$ также является прямоугольным и равнобедренным ($OB=r=5$ см, а $MB=MA=5$ см по свойству касательных из одной точки). Поэтому $\angle BOM = 45^\circ$.

Центральный угол $\angle AOB$, на который опирается меньшая дуга $AB$, равен сумме углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$.

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

дуга AB

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, градусная мера меньшей дуги $AB$ равна величине угла $\angle AOB$.

Градусная мера дуги $AB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

дуга ACB

По условию, точка $C$ отмечена на большей из дуг $AB$. Следовательно, дуга $ACB$ — это большая дуга. Градусная мера полной окружности составляет $360^\circ$. Чтобы найти градусную меру большей дуги, нужно из $360^\circ$ вычесть градусную меру меньшей дуги.

Градусная мера дуги $ACB = 360^\circ - \text{градусная мера дуги } AB = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.