Страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

43. a) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: 1) $60^{\circ}$; 2) $90^{\circ}$?

б) Найдите углы $B$ и $D$ выпуклого четырехугольника $ABCD$, если $\angle A = \angle C = 60^{\circ}$, а $\angle B = 1.4 \cdot \angle D$.

в) Найдите наибольший и наименьший углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам: 1) $2 : 4 : 5 : 7$; 2) $3 : 7 : 4 : 6$.

г) Найдите сумму углов выпуклого: 1) семиугольника; 2) десятиугольника.

д) Существует ли выпуклый пятиугольник, градусные меры углов которого пропорциональны числам: 1) $1, 1, 2, 2, 3$; 2) $1, 2, 2, 2, 6$? Если существует, то найдите эти углы.

а) Формула для внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Найдем количество сторон $n$.

1) Если каждый угол равен $60^\circ$, то $60 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$. Решая уравнение, получаем $60n = 180n - 360$, откуда $120n = 360$, и $n=3$.
Ответ: 3 стороны.

2) Если каждый угол равен $90^\circ$, то $90 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$. Решая уравнение, получаем $90n = 180n - 360$, откуда $90n = 360$, и $n=4$.
Ответ: 4 стороны.

б) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Из условия $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Нам дано, что $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = 1,4 \cdot \angle D$. Подставим известные значения в формулу суммы углов: $60^\circ + \angle B + 60^\circ + \angle D = 360^\circ$, что упрощается до $\angle B + \angle D = 240^\circ$. Используя второе условие, получаем уравнение $1,4 \cdot \angle D + \angle D = 240^\circ$, или $2,4 \cdot \angle D = 240^\circ$. Отсюда $\angle D = 100^\circ$. Тогда $\angle B = 1,4 \cdot 100^\circ = 140^\circ$.
Ответ: $\angle B = 140^\circ, \angle D = 100^\circ$.

в) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

1) Углы пропорциональны числам $2:4:5:7$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы равны $2x, 4x, 5x, 7x$. Их сумма $2x + 4x + 5x + 7x = 18x$. Получаем уравнение $18x = 360^\circ$, откуда $x=20^\circ$. Углы равны $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$, $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$, $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$ и $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$. Наименьший угол — $40^\circ$, наибольший — $140^\circ$.
Ответ: наименьший угол $40^\circ$, наибольший $140^\circ$.

2) Углы пропорциональны числам $3:7:4:6$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $y$. Тогда углы равны $3y, 7y, 4y, 6y$. Их сумма $3y + 7y + 4y + 6y = 20y$. Получаем уравнение $20y = 360^\circ$, откуда $y=18^\circ$. Углы равны $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$, $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$, $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$ и $6 \cdot 18^\circ = 108^\circ$. Наименьший угол — $54^\circ$, наибольший — $126^\circ$.
Ответ: наименьший угол $54^\circ$, наибольший $126^\circ$.

г) Сумма углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.

1) Для семиугольника ($n=7$): $S_7 = (7-2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$.
Ответ: $900^\circ$.

2) Для десятиугольника ($n=10$): $S_{10} = (10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$.
Ответ: $1440^\circ$.

д) Сумма углов выпуклого пятиугольника ($n=5$) равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$. В выпуклом многоугольнике каждый угол должен быть меньше $180^\circ$.

1) Углы пропорциональны числам $1, 1, 2, 2, 3$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы равны $x, x, 2x, 2x, 3x$. Их сумма $x+x+2x+2x+3x = 9x$. Из уравнения $9x = 540^\circ$ находим $x=60^\circ$. Самый большой угол равен $3x = 3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$. Так как угол не может быть равен $180^\circ$ в выпуклом многоугольнике, такой пятиугольник не существует.
Ответ: не существует.

2) Углы пропорциональны числам $1, 2, 2, 2, 6$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $y$. Тогда углы равны $y, 2y, 2y, 2y, 6y$. Их сумма $y+2y+2y+2y+6y = 13y$. Из уравнения $13y = 540^\circ$ находим $y = \frac{540^\circ}{13}$. Самый большой угол равен $6y = 6 \cdot \frac{540^\circ}{13} = \frac{3240^\circ}{13} \approx 249.2^\circ$. Так как этот угол больше $180^\circ$, многоугольник не является выпуклым. Следовательно, такой пятиугольник не существует.
Ответ: не существует.

44. Узнайте, сколько видов животных (а), птиц (б) обитает в Баянаульском национальном природном парке Казахстана, найдя числовые ответы в задаче. Найдите:

а) наименьший угол четырехугольника, если один из его углов равен $160^\circ$, а остальные относятся как $2 : 3 : 5$;

б) меньший из противоположных углов четырехугольника, если он составляет $\frac{5}{13}$ другого из них, а сумма остальных его углов равна $180^\circ$.

Баянаульский парк

а) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. По условию, один из углов равен $160^\circ$. Остальные три угла относятся как $2:3:5$. Обозначим их как $2x$, $3x$ и $5x$.
Составим уравнение, исходя из суммы всех углов:
$160 + 2x + 3x + 5x = 360$
$160 + 10x = 360$
$10x = 360 - 160$
$10x = 200$
$x = 20$
Теперь найдем величины трех неизвестных углов:
Первый угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$
Все углы четырехугольника равны $160^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 100^\circ$. Наименьший из них — $40^\circ$.
Ответ: 40.

б) Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Пусть искомые противоположные углы — $\alpha$ и $\beta$, а два других — $\gamma$ и $\delta$. По условию, сумма двух других углов равна $180^\circ$, то есть $\gamma + \delta = 180^\circ$.
Сумма всех углов четырехугольника: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.
Подставим известную сумму $\gamma + \delta$:
$\alpha + \beta + 180^\circ = 360^\circ$
$\alpha + \beta = 360^\circ - 180^\circ$
$\alpha + \beta = 180^\circ$
По условию, один из этих углов составляет $\frac{5}{13}$ другого. Пусть $\alpha = \frac{5}{13}\beta$.
Подставим это соотношение в уравнение их суммы:
$\frac{5}{13}\beta + \beta = 180^\circ$
$\frac{5\beta + 13\beta}{13} = 180^\circ$
$\frac{18}{13}\beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ \cdot \frac{13}{18}$
$\beta = 10^\circ \cdot 13 = 130^\circ$
Теперь найдем второй угол $\alpha$:
$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$
Противоположные углы равны $50^\circ$ и $130^\circ$. Меньший из них равен $50^\circ$.
Ответ: 50.