Страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

57. Найдите углы параллелограмма, если:

а) один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого его угла;

б) один из его углов составляет 25 % другого угла параллелограмма.

а) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны.

Пусть меньший угол равен $x$. Согласно условию, другой угол в 3 раза больше, то есть равен $3x$. Два данных угла не могут быть противоположными, так как в этом случае они были бы равны, что противоречит условию (кроме случая, когда оба угла равны $0^\circ$, что невозможно в параллелограмме). Следовательно, эти углы являются соседними, и их сумма равна $180^\circ$.

Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4}$

$x = 45^\circ$

Таким образом, один угол параллелограмма равен $45^\circ$, а смежный с ним угол равен $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, два других угла также равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

б) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

По условию, один из углов составляет 25% другого. Это то же самое, что один угол составляет $\frac{1}{4}$ другого ($25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$), или что больший угол в 4 раза больше меньшего. Эти углы должны быть соседними.

Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним больший угол равен $4x$.

Составим уравнение, исходя из свойства соседних углов:

$x + 4x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Итак, меньший угол равен $36^\circ$.

Больший угол равен $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому его углы: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.

58. а) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его сторону на отрезки 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

б) На отрезки какой длины делит сторону биссектриса одного из углов параллелограмма, если его периметр 28 см, а одна из сторон 5 см?

в) Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$ ($a > b$). Найдите отрезки, на которые биссектриса угла параллелограмма делит его большую сторону.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть биссектриса угла $A$, назовем ее $AK$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC || AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AK$ равны: $ \angle BKA = \angle KAD $. По определению биссектрисы, $AK$ делит угол $A$ пополам, поэтому $ \angle BAK = \angle KAD $. Из этих двух равенств следует, что $ \angle BKA = \angle BAK $.

Это означает, что треугольник $ABK$, который биссектриса отсекает от параллелограмма, является равнобедренным с основанием $AK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$. То есть, длина боковой стороны параллелограмма равна длине отрезка, который биссектриса отсекает от другой стороны, прилегающего к той же боковой стороне.

По условию, сторона делится на отрезки 3 см и 4 см. Рассмотрим два возможных случая:

1. Отрезок, прилегающий к вершине $B$, равен 3 см ($BK = 3$ см), а другой отрезок $KC = 4$ см.В этом случае боковая сторона параллелограмма $AB = BK = 3$ см.Длина всей стороны, которую делит биссектриса, равна $BC = BK + KC = 3 + 4 = 7$ см.Стороны параллелограмма равны 3 см и 7 см.Периметр $P = 2 \cdot (3 + 7) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Отрезок, прилегающий к вершине $B$, равен 4 см ($BK = 4$ см), а другой отрезок $KC = 3$ см.В этом случае боковая сторона $AB = BK = 4$ см.Длина всей стороны $BC = BK + KC = 4 + 3 = 7$ см.Стороны параллелограмма равны 4 см и 7 см.Периметр $P = 2 \cdot (4 + 7) = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Ответ: 20 см или 22 см.

б) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Его периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

По условию задачи, $P = 28$ см, а одна из сторон равна 5 см. Пусть это будет сторона $a$, то есть $a = 5$ см.Найдем вторую сторону $b$:$2(5 + b) = 28$$5 + b = 14$$b = 9$ см.Итак, стороны параллелограмма равны 5 см и 9 см.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Сторона этого треугольника равна соседней стороне параллелограмма. Чтобы биссектриса разделила противолежащую сторону на два отрезка, ее длина должна быть больше, чем отсекаемый ею отрезок. Отсекаемый отрезок равен соседней стороне. Следовательно, биссектриса должна делить большую сторону, а отсекаемый ею отрезок будет равен меньшей стороне.

В нашем случае большая сторона равна 9 см, а меньшая — 5 см. Биссектриса делит сторону длиной 9 см. Один из полученных отрезков будет равен по длине меньшей стороне, то есть 5 см.Длина второго отрезка будет равна разности длин большей и меньшей сторон: $9 - 5 = 4$ см.

Ответ: 5 см и 4 см.

в) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая ($a > b$).

Как было показано в предыдущих пунктах, биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Одна из сторон этого треугольника является стороной параллелограмма, а другая — отрезком на противолежащей стороне.

Чтобы биссектриса пересекала противолежащую сторону (а не ее продолжение), она должна выходить из угла, прилежащего к меньшей стороне $b$. В этом случае она будет делить большую сторону $a$.

Пусть биссектриса угла, образованного сторонами $a$ и $b$, делит сторону $a$. Один из отрезков, на которые делится сторона $a$, будет равен по длине прилежащей к углу стороне, то есть стороне $b$.

Второй отрезок будет равен разности длин стороны $a$ и первого отрезка. Его длина составит $a - b$.

Следовательно, биссектриса делит большую сторону $a$ на два отрезка, длины которых равны $b$ и $a-b$.

Ответ: $b$ и $a-b$.

59. a) Дан параллелограмм $MNPK$, в котором $\angle P = 60^\circ$. Перпендикуляр $ND$, проведенный к стороне $MK$, делит ее на отрезки, равные 3 см и 5 см. Найдите стороны и углы параллелограмма.

б) Постройте параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ см и $BC = 8$ см, если перпендикуляр $BH$, проведенный к стороне $AD$, делит ее пополам.

а)

Для решения задачи проанализируем условие. В параллелограмме $MNPK$ противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$. Если вершины перечислены последовательно ($M, N, P, K$), то стороны это $MN, NP, PK, KM$. Противоположные углы — $\angle M$ и $\angle P$, $\angle N$ и $\angle K$.По условию $\angle P = 60^\circ$, следовательно, противолежащий ему угол $\angle M = 60^\circ$. Тогда соседние углы $\angle N = \angle K = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.В условии сказано, что перпендикуляр $ND$ проведен к стороне $MK$. В параллелограмме $MNPK$ отрезок $MK$ является диагональю, а не стороной. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и перпендикуляр следовало провести к одной из сторон, выходящих из вершины $N$ или смежных с ней.Наиболее правдоподобный вариант — перпендикуляр $ND$ проведен к стороне $PK$. В этом случае точка $D$ лежит на прямой $PK$. Разберем этот случай.

Рассмотрим треугольник $\triangle NDP$. В нем $\angle D = 90^\circ$. Угол $\angle NPD$ является частью угла параллелограмма при вершине $P$. Однако, поскольку $D$ лежит на стороне $PK$, угол $\angle NPD$ — это угол между сторонами $NP$ и $PK$, то есть $\angle NPK$. Таким образом, $\angle NPD = \angle P = 60^\circ$.

По условию, точка $D$ делит сторону, к которой проведен перпендикуляр, на отрезки 3 см и 5 см. Это означает, что точка $D$ лежит на отрезке $PK$. Проверим, возможно ли это. Для этого необходимо, чтобы углы при основании $PK$ в треугольнике $\triangle NPK$ (то есть $\angle NPK$ и $\angle NKP$) были острыми. Мы знаем, что $\angle NPK = 60^\circ$ (острый). Угол $\angle K$ параллелограмма равен $120^\circ$, поэтому угол $\angle NKP$ будет частью этого угла и заведомо острым (что можно доказать через теорему косинусов, как показано ниже). Следовательно, наше предположение корректно.

Длина стороны $PK$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка $D$:
$PK = 3 + 5 = 8$ см.По свойству параллелограмма, $MN = PK = 8$ см.

Теперь найдем длину второй стороны. В прямоугольном треугольнике $\triangle NDP$ катет $PD$ связан с гипотенузой $NP$ соотношением:
$PD = NP \cdot \cos(\angle P) = NP \cdot \cos(60^\circ) = NP \cdot \frac{1}{2}$.Возможны два случая в зависимости от того, какой из отрезков равен $PD$.

Случай 1: $PD = 3$ см, $DK = 5$ см.
$3 = NP \cdot \frac{1}{2} \implies NP = 6$ см.Стороны параллелограмма равны 8 см и 6 см.

Случай 2: $PD = 5$ см, $DK = 3$ см.
$5 = NP \cdot \frac{1}{2} \implies NP = 10$ см.Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см.

Углы параллелограмма:
$\angle M = \angle P = 60^\circ$
$\angle N = \angle K = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: Существует два возможных решения.
1. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, углы равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 8 см, углы равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

б)

Построение параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ см, $BC = 8$ см и перпендикуляром $BH$ к стороне $AD$, делящим ее пополам.

Анализ и вычисления:
1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 8$ см и $CD = AB = 5$ см.2. Перпендикуляр $BH$ проведен к стороне $AD$, значит $BH$ — высота параллелограмма, а $\triangle ABH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle BHA$.3. Точка $H$ делит сторону $AD$ пополам. Следовательно, $H$ — середина $AD$.$AH = HD = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ известны гипотенуза $AB = 5$ см и катет $AH = 4$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
$BH = \sqrt{9} = 3$ см.5. Заметим, что в треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $BH$ является одновременно и высотой (по условию), и медианой (так как $H$ — середина $AD$). Треугольник, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $AD$, и $AB = BD = 5$ см.

План построения с помощью циркуля и линейки:
1. С помощью линейки построить отрезок $AD$ длиной 8 см.2. Найти и отметить середину $H$ отрезка $AD$. (Это можно сделать, измерив 4 см от точки $A$, или с помощью циркуля, построив серединный перпендикуляр).3. В точке $H$ восстановить перпендикуляр к отрезку $AD$.4. С помощью циркуля отмерить отрезок длиной 3 см ($BH$) на перпендикуляре от точки $H$ и отметить точку $B$. (Альтернативный способ найти точку $B$: установить раствор циркуля равным 5 см ($AB$), поместить острие в точку $A$ и провести дугу до пересечения с перпендикуляром).5. Теперь нужно найти четвертую вершину $C$. Это можно сделать несколькими способами:
а) Через точку $B$ провести прямую, параллельную $AD$. Через точку $D$ провести прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения — $C$.
б) С помощью циркуля. Установить раствор циркуля равным $BC = 8$ см, поместить острие в точку $B$ и провести дугу. Затем установить раствор циркуля равным $CD = 5$ см, поместить острие в точку $D$ и провести вторую дугу. Точка пересечения дуг — искомая вершина $C$.6. Соединить точки $A, B, C, D$ отрезками. Параллелограмм $ABCD$ построен.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному плану. Сначала строится основание $AD=8$ см, затем находится его середина $H$. Из точки $H$ восстанавливается перпендикуляр, на котором откладывается высота $BH=3$ см, что позволяет найти вершину $B$. Вершина $C$ находится как пересечение дуг окружностей с центрами в точках $B$ и $D$ и радиусами $BC=8$ см и $CD=5$ см соответственно.

60. Из вершины $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена биссектриса этого угла, которая пересекает сторону $CD$ в точке $F$, а продолжение стороны $BC$ – в точке $E$. Докажите, что треугольник $CEF$ равнобедренный.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BE$ (прямая $BE$ содержит сторону $BC$) и секущую $AE$. Углы $\angle DAE$ и $\angle AEB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны:

$\angle DAE = \angle AEB$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Углы $\angle BAE$ и $\angle AFD$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle BAE = \angle AFD$. Углы $\angle AFD$ и $\angle CFE$ являются вертикальными, поэтому они также равны: $\angle AFD = \angle CFE$. Из этих двух равенств следует, что:

$\angle BAE = \angle CFE$.

3. По условию, $AE$ — биссектриса угла $A$ (угла $\angle DAB$), поэтому она делит его на два равных угла:

$\angle DAE = \angle BAE$.

4. Сопоставим полученные равенства. Из $\angle DAE = \angle AEB$ и $\angle DAE = \angle BAE$ следует, что $\angle AEB = \angle BAE$. А из $\angle BAE = \angle CFE$ следует, что $\angle AEB = \angle CFE$.

Угол $\angle AEB$ является тем же углом, что и $\angle CEF$. Таким образом, в треугольнике $CEF$ мы имеем равенство углов:

$\angle CEF = \angle CFE$.

5. В треугольнике, у которого два угла равны, стороны, противолежащие этим углам, также равны. Следовательно, треугольник $CEF$ является равнобедренным с основанием $EF$ и равными боковыми сторонами $CE$ и $CF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $CEF$ является равнобедренным.

61. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ делят сторону $CD$ на три отрезка. Найдите длину каждого отрезка, если стороны параллелограмма равны 5 см и 12 см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, его стороны равны 5 см и 12 см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$ и $AB = CD$. Необходимо рассмотреть случай, когда боковые стороны короче оснований, так как в противном случае биссектрисы не пересекут противолежащую сторону (об этом в конце решения). Итак, пусть боковые стороны $AD = BC = 5$ см, а основания $AB = CD = 12$ см.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Так как в параллелограмме стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то при секущей $AM$ накрест лежащие углы равны: $\angle DMA = \angle MAB$. По определению биссектрисы, $\angle DAM = \angle MAB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAM = \angle DMA$. Это означает, что треугольник $ADM$ является равнобедренным с основанием $AM$, и его боковые стороны равны: $AD = DM$. Поскольку $AD=5$ см, то и $DM = 5$ см.

Пусть биссектриса угла $B$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$. Аналогично, при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BN$ накрест лежащие углы равны: $\angle CNB = \angle NBA$. По определению биссектрисы, $\angle CBN = \angle NBA$. Отсюда следует, что $\angle CBN = \angle CNB$. Значит, треугольник $BCN$ является равнобедренным с основанием $BN$, и его боковые стороны равны: $BC = CN$. Поскольку $BC=5$ см, то и $CN = 5$ см.

Биссектрисы делят сторону $CD$ на три отрезка. Мы нашли длины двух крайних отрезков: $DM = 5$ см и $CN = 5$ см. Длина всей стороны $CD$ равна 12 см. Длина среднего отрезка $MN$ равна разности длины всей стороны $CD$ и длин отрезков $DM$ и $CN$:
$MN = CD - DM - CN = 12 - 5 - 5 = 2$ см.

Таким образом, длины отрезков, на которые биссектрисы делят сторону $CD$, равны 5 см, 2 см и 5 см.

Заметим, что если бы мы предположили, что $AD = BC = 12$ см и $AB = CD = 5$ см, то получили бы $DM = AD = 12$ см. Однако точка $M$ должна лежать на стороне $CD$, длина которой всего 5 см. Отрезок $DM$ (12 см) не может быть частью отрезка $CD$ (5 см). Следовательно, этот случай невозможен, и наше первоначальное предположение о длинах сторон было верным.

Ответ: длины отрезков равны 5 см, 2 см и 5 см.