Страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Решение

Признаками параллелограмма являются условия, при которых четырехугольник можно однозначно определить как параллелограмм. Ниже сформулированы и доказаны основные признаки параллелограмма.

Признак 1: По двум сторонам, которые равны и параллельны

Формулировка: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, то есть $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по условию: $AB = CD$.

2. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

3. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$: $\angle BAC = \angle DCA$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), что по определению означает, что $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.

Признак 2: По диагоналям

Формулировка: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $AO$ равна стороне $OC$ по условию: $AO = OC$.

2. Сторона $BO$ равна стороне $OD$ по условию: $BO = OD$.

3. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные углы: $\angle AOB = \angle COD$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны: $\triangle AOB \cong \triangle COD$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон $AB = CD$ и равенство соответствующих углов $\angle OAB = \angle OCD$. Так как $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими углами при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB \parallel CD$.

Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ две стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. Согласно первому признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.

Признак 3: По попарному равенству противоположных сторон

Формулировка: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором противолежащие стороны попарно равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по условию: $AB = CD$.

2. Сторона $BC$ равна стороне $AD$ по условию: $BC = AD$.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, ССС), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

Так как $\angle BAC = \angle DCA$ и эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB \parallel CD$.

Так как $\angle BCA = \angle DAC$ и эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), что по определению означает, что $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.

62. Из предложенных утверждений выберите и докажите теорему, которая является обратной к теореме – противоположные стороны параллелограмма равны:

а) если противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом;

б) если хотя бы две стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм;

в) если в четырехугольнике противоположные стороны не равны, то он не является параллелограммом.

Для начала определим, что такое обратная теорема. Если дана прямая теорема в виде «Если A, то B», то обратной к ней будет теорема «Если B, то A». В нашем случае прямая теорема звучит так: «Если четырехугольник является параллелограммом (условие A), то его противоположные стороны равны (заключение B)».

Следовательно, обратная теорема должна звучать так: «Если у четырехугольника противоположные стороны равны (условие B), то он является параллелограммом (заключение A)».

Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) если противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом;

Это утверждение полностью соответствует формулировке обратной теоремы. Докажем его.

Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, в котором $AB = CD$ и $BC = DA$.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Она разделяет четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Рассмотрим эти треугольники.

- $AB = CD$ (по условию)

- $BC = DA$ (по условию)

- AC — общая сторона

3. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

- $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$).

- $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).

5. Поскольку в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, то по определению он является параллелограммом. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение а) является теоремой, обратной к теореме о равенстве противоположных сторон параллелограмма. Оно верно и доказано выше.

б) если хотя бы две стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм;

Это утверждение не является обратной теоремой. Кроме того, оно ложно. В качестве контрпримера можно привести равнобедренную трапецию, у которой равны боковые (не противоположные) стороны, но она не является параллелограммом. Или воздушный змей (дельтоид), у которого равны две пары смежных сторон.

Ответ: Утверждение б) не является обратной теоремой и является ложным.

в) если в четырехугольнике противоположные стороны не равны, то он не является параллелограммом.

Это утверждение не является обратной теоремой. Оно называется теоремой, противоположной обратной, или контрапозицией к исходной (прямой) теореме. Если прямая теорема имеет вид «Если А, то В», то контрапозиция — «Если не В, то не А». Контрапозиция всегда верна, если верна прямая теорема, но это не обратная теорема.

Ответ: Утверждение в) не является обратной теоремой.

63. a) Дано: ABFG и DCFG – параллелограммы (рисунок 42, а). Докажите, что ABCD – параллелограмм.

б) Дано: MNKL – параллелограмм, $NE \perp MK$; $LH \perp MK$ (рисунок 42, б). Докажите, что $NE \parallel LH$ и $NE = LH$.

в) Дано: OPQR – параллелограмм, $OS = QT$ (рисунок 42, в). Докажите, что SPTR – параллелограмм.

Рисунок 42

а)

1. Поскольку $ABFG$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $FG$ ($AB \parallel FG$) и равна ей по длине ($AB = FG$).

2. Аналогично, поскольку $DCFG$ является параллелограммом, его противоположные стороны также параллельны и равны. Следовательно, сторона $DC$ параллельна стороне $FG$ ($DC \parallel FG$) и равна ей по длине ($DC = FG$).

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $AB \parallel FG$ и $DC \parallel FG$. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, $AB \parallel DC$.

4. Также мы установили, что $AB = FG$ и $DC = FG$. Методом подстановки получаем, что $AB = DC$.

5. В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ одновременно параллельны и равны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

6. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

б)

1. По условию, отрезки $NE$ и $LH$ перпендикулярны одной и той же прямой $MK$ ($NE \perp MK$ и $LH \perp MK$). По свойству перпендикулярных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу. Следовательно, $NE \parallel LH$.

2. Для доказательства равенства $NE = LH$ рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$. Угол $\angle NEM = 90^\circ$ и угол $\angle LHK = 90^\circ$.

3. $MNKL$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что $MN = LK$ и $MN \parallel LK$.

4. Так как прямые $MN$ и $LK$ параллельны, то при пересечении их секущей $MK$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle NMK = \angle LKM$.

5. Сравним треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$. Они являются прямоугольными. Гипотенуза $MN$ треугольника $\triangle MNE$ равна гипотенузе $LK$ треугольника $\triangle KLH$. Острый угол $\angle NME$ (он же $\angle NMK$) равен острому углу $\angle LKH$ (он же $\angle LKM$).

6. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов, то есть $NE = LH$.

Ответ: Доказано, что $NE \parallel LH$ и $NE = LH$.

в)

1. В параллелограмме $OPQR$ диагонали $OQ$ и $PR$ пересекаются в некоторой точке, пусть это будет точка $M$, и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $M$ является серединой для каждой из диагоналей: $OM = MQ$ и $PM = MR$.

2. Точки $S$ и $T$ расположены на диагонали $OQ$. По условию задачи, длины отрезков $OS$ и $QT$ равны: $OS = QT$.

3. Рассмотрим отрезки $SM$ и $MT$, которые являются частями диагонали $ST$ четырехугольника $SPTR$.

4. Длина отрезка $SM$ может быть выражена как разность длин отрезков $OM$ и $OS$: $SM = OM - OS$.

5. Длина отрезка $MT$ может быть выражена как разность длин отрезков $MQ$ и $QT$: $MT = MQ - QT$.

6. Так как $OM = MQ$ (из свойства диагоналей параллелограмма) и $OS = QT$ (по условию), то правые части выражений для $SM$ и $MT$ равны. Следовательно, равны и левые части: $SM = MT$.

7. Равенство $SM = MT$ означает, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$. Поскольку точка $M$ также является серединой отрезка $PR$, мы заключаем, что диагонали $ST$ и $PR$ четырехугольника $SPTR$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

8. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом.

9. Следовательно, $SPTR$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $SPTR$ — параллелограмм.