Страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

67. a) В прямоугольнике $ABCD$ проведены биссектрисы углов $A$ и $C$, которые пересекают стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Установите вид четырехугольника $AMCN$.

б) Дан параллелограмм $KBFD$. На его сторонах $BF$ и $KD$ отмечены соответственно точки $C$ и $A$ такие, что $\angle ABK = \angle CDF$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

в) В кубе $ABCD,B_1C_1D_1$ на его ребрах $BC$ и $DA$ отложены равные отрезки $BM$ и $DK$. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ – параллелограмм.

а)

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. Так как точки $N$ и $M$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, то отрезки $AN$ и $MC$ также лежат на параллельных прямых, следовательно, $AN \parallel MC$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его углы $\angle A$ и $\angle C$ равны $90^\circ$. $AM$ и $CN$ — биссектрисы этих углов, поэтому они делят их пополам:

$\angle DAM = \angle BAM = \frac{1}{2} \angle A = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

$\angle BCM = \angle DCN = \frac{1}{2} \angle C = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (где $\angle B = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle AMB = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AM$ равны, $\triangle ABM$ является равнобедренным, и $AB = BM$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDN$ ($\angle D = 90^\circ$). $\angle CND = 90^\circ - \angle DCN = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle CDN$ также является равнобедренным, и $CD = DN$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $AB=CD$ и $AD=BC$.

Так как $AB = BM$ и $CD = DN$, а $AB=CD$, то $BM = DN$.

Теперь сравним длины сторон $AN$ и $MC$ четырехугольника $AMCN$:

$AN = AD - DN$

$MC = BC - BM$

Поскольку $AD=BC$ и $DN=BM$, мы заключаем, что $AN=MC$.

В четырехугольнике $AMCN$ противоположные стороны $AN$ и $MC$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $AMCN$ является параллелограммом.

б)

Поскольку $KBFD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, $KD \parallel BF$ и $KD = BF$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его сторона $AD$ лежит на прямой $KD$, а сторона $BC$ — на прямой $BF$. Так как $KD \parallel BF$, то и $AD \parallel BC$.

Чтобы доказать, что $ABCD$ — параллелограмм, достаточно доказать, что $AD = BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle FDC$.

1. $KB = FD$ (как противоположные стороны параллелограмма $KBFD$).

2. $\angle DKB = \angle BFD$ (как противоположные углы параллелограмма $KBFD$). Поскольку $A$ лежит на $KD$ и $C$ на $BF$, эти углы можно записать как $\angle AKB = \angle CFD$.

3. $\angle ABK = \angle CDF$ (по условию задачи).

Таким образом, треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle FDC$ равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников, AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KA = FC$.

Теперь найдем длины сторон $AD$ и $BC$.

$AD = KD - KA$

$BC = BF - CF$

Мы знаем, что $KD = BF$ (противоположные стороны параллелограмма) и только что доказали, что $KA = FC$. Подставляя эти равенства, получаем $AD = BC$.

В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$) и равны ($AD = BC$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

в)

Вершины четырехугольника $AMCK$ — это точки $A$ и $C$, а также точки $M$ на ребре $BC$ и $K$ на ребре $DA$. Все эти точки лежат в одной плоскости — плоскости грани $ABCD$ куба.

Грань $ABCD$ куба является квадратом. В квадрате противоположные стороны равны и параллельны, то есть $DA = BC$ и $DA \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMCK$.

Его сторона $AK$ является частью стороны квадрата $DA$, а сторона $MC$ — частью стороны $BC$. Поскольку прямые $DA$ и $BC$ параллельны, то и отрезки $AK$ и $MC$, лежащие на них, также параллельны: $AK \parallel MC$.

Теперь сравним длины этих сторон. Так как точка $K$ лежит на отрезке $DA$, то длина отрезка $AK$ равна $DA - DK$. Аналогично, точка $M$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $MC = BC - BM$.

По условию задачи, $BM = DK$.

Из свойств квадрата мы знаем, что $DA = BC$.

Таким образом, мы можем записать: $AK = DA - DK = BC - BM = MC$.

Получается, что в четырехугольнике $AMCK$ противоположные стороны $AK$ и $MC$ равны и параллельны.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.

68. Дана окружность с центром $O$. Через некоторую точку $A$ к окружности проведены две касательные, угол между которыми равен $120^\circ$. Через точку $B$, симметричную точку $A$ относительно центра $O$, проведены еще две касательные к данной окружности. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными, является параллелограммом и найдите его периметр, если $AO = 3$ см.

Доказательство
Пусть $l_1$ и $l_2$ — касательные, проведенные из точки $A$ к окружности, а $l_3$ и $l_4$ — касательные, проведенные из точки $B$. Четырехугольник образован пересечением этих четырех прямых.Поскольку точка $B$ симметрична точке $A$ относительно центра окружности $O$, вся geometric-ческая фигура, состоящая из окружности и четырех касательных, обладает центральной симметрией относительно точки $O$.При центральной симметрии относительно центра $O$:1. Точка $A$ переходит в точку $B$.2. Касательная к окружности переходит в касательную к той же окружности.3. Прямая переходит в параллельную ей прямую.Следовательно, касательная $l_1$, проходящая через точку $A$, при симметрии перейдет в параллельную ей касательную, проходящую через точку $B$. Пусть это будет касательная $l_3$. Таким образом, $l_1 \parallel l_3$.Аналогично, касательная $l_2$, проходящая через $A$, перейдет в параллельную ей касательную $l_4$, проходящую через $B$. Таким образом, $l_2 \parallel l_4$.Четырехугольник, образованный этими касательными, имеет две пары параллельных противоположных сторон. По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение периметра
Пусть вершины образованного параллелограмма — это точки пересечения касательных. Две противоположные вершины этого параллелограмма — это точки $A$ и $B$. Пусть две другие вершины — $C$ и $D$. Тогда наш параллелограмм — $ACBD$.Угол при вершине $A$ по условию равен $120^\circ$. В силу центральной симметрии фигуры относительно точки $O$, угол при противоположной вершине $B$ также равен $120^\circ$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому два других угла, при вершинах $C$ и $D$, равны $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Его стороны $AC$ и $AD$ являются сторонами параллелограмма, поэтому $AD = BC$. А отрезки касательных, проведенных из одной точки $A$ к окружности, равны (имеются в виду отрезки от точки $A$ до точек касания). Из-за симметрии всей фигуры относительно прямой, перпендикулярной $AB$, следует, что смежные стороны параллелограмма равны: $AC = AD$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он равнобедренный, так как его стороны $AD$ и $BD$ являются сторонами ромба ($AD=BD$). Угол при вершине $D$ равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним.Следовательно, сторона ромба равна его диагонали $AB$. То есть, $AD = AB$.Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно $O$, значит $O$ является серединой отрезка $AB$.По условию дано, что $AO = 3$ см. Тогда длина диагонали $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3 = 6$ см.Так как сторона ромба равна диагонали $AB$, то длина стороны ромба равна 6 см.Периметр ромба $P$ вычисляется как учетверенная длина его стороны:$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Ответ: 24 см.

Проведите две пересекающиеся прямые и от их общей точки от- ложите на этих прямых четыре равных отрезка. Постройте четыреху- гольник, соединив последовательно концы этих отрезков. Измерьте его углы и сравните их.

Для решения этой задачи выполним последовательно все шаги.

Проведите две пересекающиеся прямые и от их общей точки отложите на этих прямых четыре равных отрезка.

1. Проведем две произвольные прямые, назовем их $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$.
2. Из точки пересечения $O$ отложим на прямой $a$ два равных отрезка $OA$ и $OC$ в разные стороны от точки $O$. Таким образом, $OA = OC$.
3. Аналогично на прямой $b$ отложим два равных отрезка $OB$ и $OD$ в разные стороны от точки $O$. Таким образом, $OB = OD$.
4. Согласно условию задачи, все четыре отрезка должны быть равны между собой. Следовательно, мы строим их так, чтобы выполнялось равенство: $OA = OC = OB = OD$. Обозначим длину этих отрезков буквой $r$.

Постройте четырехугольник, соединив последовательно концы этих отрезков.

1. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. В результате получим четырехугольник $ABCD$.
2. Рассмотрим свойства полученного четырехугольника. Отрезки $AC$ и $BD$ являются его диагоналями.
3. По построению, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
4. Так как $OA = OC = r$, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.
5. Так как $OB = OD = r$, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.
6. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ – это параллелограмм.
7. Найдем длины диагоналей: $AC = OA + OC = r + r = 2r$. Аналогично, $BD = OB + OD = r + r = 2r$.
8. Мы видим, что диагонали четырехугольника равны: $AC = BD$.
9. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, построенная фигура $ABCD$ – это прямоугольник.

Измерьте его углы и сравните их.

1. Так как мы установили, что четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, мы можем определить величину его углов, основываясь на свойствах этой фигуры.
2. По определению, все углы прямоугольника прямые, то есть их градусная мера составляет $90^\circ$.
3. Следовательно, $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.
4. Сравнивая полученные значения, мы приходим к выводу, что все углы построенного четырехугольника равны между собой.

Ответ: Все углы построенного четырехугольника являются прямыми и равны $90^\circ$. При сравнении они оказываются равными друг другу.