Страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

2. Сформулируйте и докажите один из признаков ромба.

3. Приведите примеры фигур, имеющих:

а) одну;

б) две;

в) три;

г) четыре оси симметрии;

д) бесконечно много осей симметрии.

1. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Решение

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Так как ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COB$. У них: $AB = BC$ (стороны ромба); $BO$ - общая сторона; $AO = CO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам). Следовательно, треугольники $AOB$ и $COB$ равны по трем сторонам (признак $SSS$), то есть $\triangle AOB \cong \triangle COB$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOB = \angle COB$. Поскольку эти углы являются смежными и их сумма равна $180^\circ$, то $\angle AOB = \angle COB = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Также из равенства треугольников $\triangle AOB \cong \triangle COB$ следует, что $\angle ABO = \angle CBO$. Это означает, что диагональ $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам.

Аналогично, рассмотрим треугольники $BAO$ и $DAO$. У них: $AB = AD$ (стороны ромба); $AO$ - общая сторона; $BO = DO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам). Следовательно, треугольники $BAO$ и $DAO$ равны по трем сторонам (признак $SSS$), то есть $\triangle BAO \cong \triangle DAO$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAO = \angle DAO$. Это означает, что диагональ $AC$ делит угол $\angle BAD$ пополам.

Поскольку ромб обладает центральной симметрией и осевой симметрией относительно своих диагоналей, доказанное для углов $\angle ABC$ и $\angle BAD$ справедливо и для остальных углов ромба.

Ответ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, что было доказано выше.

2. Сформулируйте и докажите один из признаков ромба.

Решение

Сформулируем следующий признак ромба: "Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом".

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей.

Так как $ABCD$ - параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COB$. У них: $AO = CO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам); $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$ (по условию перпендикулярности диагоналей); $BO$ - общая сторона. Следовательно, треугольники $AOB$ и $COB$ равны по двум сторонам и углу между ними (признак $SAS$), то есть $\triangle AOB \cong \triangle COB$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CB$.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), а мы доказали, что две смежные стороны равны ($AB = CB$), то все стороны параллелограмма $ABCD$ равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

По определению, параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Таким образом, доказано, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Ответ: Сформулирован и доказан признак ромба: "Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом".

3. Приведите примеры фигур, имеющих: а) одну; б) две; в) три; г) четыре оси симметрии; д) бесконечно много осей симметрии.

а) одну:

Равнобедренный треугольник (не равносторонний), равнобедренная трапеция (не прямоугольник), парабола.

б) две:

Прямоугольник (не квадрат), ромб (не квадрат), эллипс (не круг).

в) три:

Равносторонний треугольник.

г) четыре:

Квадрат.

д) бесконечно много осей симметрии:

Круг.

Ответ: Примеры фигур с указанным количеством осей симметрии приведены выше.

76. Установите, какие из утверждений верны:

а) любой параллелограмм является ромбом;

б) любой ромб является параллелограммом;

в) квадрат – это прямоугольник.

Для того чтобы определить, какие из утверждений верны, проанализируем каждое из них на основе определений геометрических фигур.

а) любой параллелограмм является ромбом

Это утверждение неверно.
По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Из этого свойства следует, что у параллелограмма противолежащие стороны равны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Таким образом, для того чтобы параллелограмм стал ромбом, необходимо дополнительное условие равенства его смежных сторон. В общем случае это условие не выполняется. Например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, является параллелограммом, но не является ромбом.
Ответ: утверждение неверно.

б) любой ромб является параллелограммом

Это утверждение верно.
По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Так как у ромба все стороны равны, то его противолежащие стороны также попарно равны. Существует признак параллелограмма: если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, ромб всегда является параллелограммом. Ромб — это частный случай параллелограмма.
Ответ: утверждение верно.

в) квадрат – это прямоугольник

Это утверждение верно.
По определению, прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.
Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы равны $90^\circ$.
Поскольку квадрат обладает свойством "все углы прямые", он полностью удовлетворяет определению прямоугольника. Квадрат является частным случаем прямоугольника, а именно прямоугольником, у которого все стороны равны.
Ответ: утверждение верно.

77. Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол $40^\circ$.

Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

По условию, одна из диагоналей ромба образует со стороной угол в $40°$. Рассмотрим треугольник, образованный этой диагональю и двумя смежными сторонами ромба. Так как все стороны ромба равны, этот треугольник является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. В данном случае, основанием является диагональ, а боковыми сторонами — стороны ромба.

Следовательно, угол, который диагональ образует с другой смежной стороной, также равен $40°$.

Один из углов ромба состоит из этих двух углов. Найдем его величину:
$40° + 40° = 80°$

Это один из углов ромба. В ромбе противолежащие углы равны, значит, в ромбе есть два угла по $80°$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба (как и у любого параллелограмма), равна $180°$. Найдем второй угол ромба:
$180° - 80° = 100°$

Противолежащий ему угол также равен $100°$.

Таким образом, мы нашли все углы ромба.

Ответ: Углы ромба равны $80°$, $100°$, $80°$, $100°$.

78. В ромбе $ABCD$ диагональ $BD$ равна его стороне. Найдите:

а) углы ромба;

б) $\angle BAC, \angle CBD$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию задачи, диагональ $BD$ равна его стороне, то есть $BD = a$.

а) углы ромба

Рассмотрим треугольник $ABD$. У него все стороны равны: $AB = AD = BD = a$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$. Таким образом, угол ромба $\angle DAB = 60°$.

Противоположный ему угол $\angle BCD$ также равен $60°$, так как в ромбе противоположные углы равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180°$. Поэтому угол $\angle ABC$ можно найти как $180° - \angle DAB$.

$\angle ABC = 180° - 60° = 120°$.

Противоположный ему угол $\angle CDA$ также равен $120°$.

Таким образом, углы ромба равны $60°, 120°, 60°, 120°$.

Ответ: $60°, 120°, 60°, 120°$.

б) $\angle BAC, \angle CBD$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам.

Так как $\angle DAB = 60°$, то $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \times 60° = 30°$.

Угол $\angle CBD$ является частью угла $\angle ABC$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Так как $\angle ABC = 120°$, то $\angle CBD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$.

Также можно было заметить, что угол $\angle CBD$ является одним из углов равностороннего треугольника $BCD$, что также дает нам $60°$.

Ответ: $\angle BAC = 30°, \angle CBD = 60°$.

79. a) Сторона $DC$ ромба $ABCD$ образует с продолжениями его диагоналей $BD$ и $AC$ за точки $D$ и $C$ углы $FDC$ и $ECD$ соответственно, которые относятся как $4 : 5$. Найдите углы ромба.

б) В ромбе $MNPK$ проведены перпендикуляры $NF$ и $NH$ к сторонам $MK$ и $KP$ соответственно. Найдите углы ромба, если $\angle FNH = 54^\circ$.

а) Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $\triangle DOC$ является прямоугольным с $\angle DOC = 90^\circ$.
Угол $\angle FDC$ образован стороной $DC$ и продолжением диагонали $BD$ за точку $D$. Этот угол является смежным с углом $\angle BDC$, который является частью угла $\angle D$ ромба. Таким образом, $\angle BDC + \angle FDC = 180^\circ$.
Угол $\angle ECD$ образован стороной $DC$ и продолжением диагонали $AC$ за точку $C$. Этот угол является смежным с углом $\angle ACD$, который является частью угла $\angle C$ ромба. Таким образом, $\angle ACD + \angle ECD = 180^\circ$.
По условию, $\angle FDC : \angle ECD = 4 : 5$. Обозначим $\angle FDC = 4x$ и $\angle ECD = 5x$.
Тогда углы треугольника $\triangle DOC$ (углы $\angle ODC$ и $\angle OCD$ совпадают с углами $\angle BDC$ и $\angle ACD$ соответственно) можно выразить через $x$:
$\angle ODC = 180^\circ - \angle FDC = 180^\circ - 4x$.
$\angle OCD = 180^\circ - \angle ECD = 180^\circ - 5x$.
Сумма углов в треугольнике $\triangle DOC$ равна $180^\circ$:
$\angle DOC + \angle ODC + \angle OCD = 180^\circ$
$90^\circ + (180^\circ - 4x) + (180^\circ - 5x) = 180^\circ$
$450^\circ - 9x = 180^\circ$
$9x = 450^\circ - 180^\circ$
$9x = 270^\circ$
$x = 30^\circ$
Теперь найдем величины углов $\angle ODC$ и $\angle OCD$:
$\angle ODC = 180^\circ - 4 \cdot 30^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\angle OCD = 180^\circ - 5 \cdot 30^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому:
$\angle D = 2 \cdot \angle ODC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
$\angle C = 2 \cdot \angle OCD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Противоположные углы ромба равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = \angle D = 120^\circ$.
Ответ: углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

б) В ромбе $MNPK$ проведены перпендикуляры $NF$ и $NH$ из вершины $N$ к прямым, содержащим стороны $MK$ и $KP$. Рассмотрим четырехугольник $NFKH$.
По построению $NF \perp MK$ и $NH \perp KP$, следовательно, углы $\angle NFK$ и $\angle NHK$ в этом четырехугольнике являются прямыми: $\angle NFK = 90^\circ$ и $\angle NHK = 90^\circ$.
Угол $\angle FKH$ четырехугольника $NFKH$ совпадает с углом $\angle K$ ромба $MNPK$.
Угол $\angle FNH$ четырехугольника $NFKH$ задан по условию: $\angle FNH = 54^\circ$.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $NFKH$ имеем:
$\angle K + \angle FNH + \angle NFK + \angle NHK = 360^\circ$
Подставим известные значения:
$\angle K + 54^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle K + 234^\circ = 360^\circ$
$\angle K = 360^\circ - 234^\circ$
$\angle K = 126^\circ$
Таким образом, один из углов ромба равен $126^\circ$. Противоположный ему угол $\angle N$ также равен $126^\circ$.
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому другие два угла, $\angle M$ и $\angle P$, равны:
$\angle M = \angle P = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.
Ответ: углы ромба равны $54^\circ$ и $126^\circ$.

80. a) Докажите, что четырехугольник $ABCD$, для которого прямые $AC$ и $BD$ являются осями симметрии, есть ромб.

б) Треугольник $ANK$ – равносторонний. Точки $B$, $C$ и $D$ – середины его сторон $AN$, $NK$ и $AK$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – ромб.

а)

Доказательство:

1. Если прямая $AC$ является осью симметрии четырехугольника $ABCD$, то при осевой симметрии относительно $AC$ четырехугольник отображается на себя. При этом точки $A$ и $C$ остаются неподвижными, а вершина $B$ отображается в вершину $D$, и наоборот. По свойству осевой симметрии, ось симметрии ($AC$) является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему симметричные точки ($B$ и $D$). Это означает, что диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$ ($AC \perp BD$) и делит ее пополам.

2. Аналогично, если прямая $BD$ является осью симметрии, то она является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Это означает, что диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$ и делит ее пополам.

3. Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом (по признаку ромба). Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Доказано.

б)

Доказательство:

1. По условию задачи, треугольник $ANK$ является равносторонним. Это значит, что длины всех его сторон равны: $AN = NK = AK$.

2. Рассмотрим длины сторон четырехугольника $ABCD$. Точки $B$, $C$ и $D$ являются серединами сторон $AN$, $NK$ и $AK$ соответственно. Из того, что $B$ — середина $AN$, следует $AB = \frac{1}{2}AN$. Из того, что $D$ — середина $AK$, следует $AD = \frac{1}{2}AK$.

3. Отрезок $BC$ соединяет середины сторон $AN$ и $NK$ в треугольнике $ANK$. По теореме о средней линии треугольника, $BC$ параллельна стороне $AK$ и ее длина равна половине длины $AK$: $BC = \frac{1}{2}AK$.

4. Аналогично, отрезок $CD$ соединяет середины сторон $NK$ и $AK$ в треугольнике $ANK$. Следовательно, $CD$ является средней линией, параллельной $AN$, и ее длина равна $CD = \frac{1}{2}AN$.

5. Сравним длины сторон четырехугольника: $AB = \frac{1}{2}AN$, $BC = \frac{1}{2}AK$, $CD = \frac{1}{2}AN$, $AD = \frac{1}{2}AK$. Поскольку $AN = AK$ (из пункта 1), то и половины этих сторон равны: $\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}AK$. Таким образом, все стороны четырехугольника $ABCD$ равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

6. Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Доказано.