Страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

84. Диагонали квадрата $ABCP$ пересекаются в точке $O$. Вычислите углы $\triangle AOB$.

Для нахождения углов треугольника $AOB$ воспользуемся свойствами квадрата $ABCP$. Диагонали квадрата, $AC$ и $BP$, пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим свойства диагоналей квадрата, которые необходимы для решения задачи:

1. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Это значит, что угол в точке их пересечения равен $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle AOB$ является прямым.

$\angle AOB = 90^\circ$

2. Диагонали квадрата являются биссектрисами его внутренних углов. Все углы квадрата равны $90^\circ$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle PAB$. Таким образом, она делит его на два равных угла:

$\angle OAB = \frac{\angle PAB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Аналогично, диагональ $BP$ является биссектрисой угла $\angle ABC$:

$\angle OBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, треугольник $AOB$ является прямоугольным (поскольку $\angle AOB = 90^\circ$) и равнобедренным (поскольку $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$, следовательно $AO = BO$).

Проверим правильность вычислений, сложив все углы треугольника $AOB$: $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

Ответ: $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle OAB = 45^\circ$, $\angle OBA = 45^\circ$.

85. a)

Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ равна 18,4 см. Через вершину $A$ проведена прямая, перпендикулярная $AC$ и пересекающая прямые $BC$ и $CD$ соответственно в точках $M$ и $N$. Найдите длину отрезка $MN$.

б)

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям, которые, пересекаясь, образуют четырехугольник. Установите его вид и найдите периметр четырехугольника, если диагональ квадрата равна 4,5 см.

а)

Пусть дан квадрат $ABCD$. Диагональ $AC = 18,4$ см. Через вершину $A$ проведена прямая $l$, перпендикулярная диагонали $AC$. Прямая $l$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $MN$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADN$.

2. В квадрате $ABCD$ все стороны равны, т.е. $AB = AD$. Все углы прямые, т.е. $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$.

3. Точка $M$ лежит на прямой $BC$, поэтому угол $\angle ABM$ является смежным с углом $\angle ABC$ или совпадает с ним. В любом случае, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, поэтому $\angle ABM = 90^\circ$. Аналогично, точка $N$ лежит на прямой $CD$, поэтому $\angle ADN = 90^\circ$.

4. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle BAC = \angle DAC = 45^\circ$.

5. Прямая $MN$ по условию перпендикулярна прямой $AC$. Рассмотрим угол между прямой $MN$ (конкретнее, лучом $AM$) и прямой $AB$. Этот угол $\angle MAB$ можно найти, зная углы, которые эти прямые образуют с прямой $AC$. $\angle(MN, AC) = 90^\circ$. Угол между $AB$ и $AC$ равен $\angle BAC = 45^\circ$. Так как точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, а луч $AC$ разделяет угол, образованный прямыми $BC$ и $CD$, то лучи $AM$ и $AN$ направлены в разные стороны от точки $A$. Из геометрического расположения прямых следует, что угол между лучом $AM$ и лучом $AB$ равен $\angle MAB = |\angle(MN, AC) - \angle(AB, AC)| = |90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$. Аналогично, угол между лучом $AN$ и лучом $AD$ равен $\angle NAD = |\angle(MN, AC) - \angle(AD, AC)| = |90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$.

6. Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADN$. У них:

• $AB = AD$ (как стороны квадрата).
• $\angle ABM = \angle ADN = 90^\circ$ (доказано ранее).
• $\angle MAB = \angle NAD = 45^\circ$ (доказано ранее).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ADN$ по катету и прилежащему острому углу.

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = AN$.

8. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ угол $\angle MAB = 45^\circ$, значит, он равнобедренный, и $BM = AB$. По теореме Пифагора (или через косинус):$AM = \frac{AB}{\cos(45^\circ)} = \frac{AB}{1/\sqrt{2}} = AB \cdot \sqrt{2}$.

9. Диагональ квадрата $AC$ связана с его стороной $AB$ формулой $AC = AB \cdot \sqrt{2}$.

10. Таким образом, $AM = AC = 18,4$ см. Так как $AM = AN$, то и $AN = 18,4$ см.

11. Точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, причем $A$ находится между $M$ и $N$. Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $AN$.$MN = AM + AN = 18,4 + 18,4 = 36,8$ см.

Ответ: $36,8$ см.

б)

Пусть дан квадрат $ABCD$, длина его диагоналей $d = AC = BD = 4,5$ см. Через вершины $A$ и $C$ проведены прямые, параллельные диагонали $BD$. Через вершины $B$ и $D$ проведены прямые, параллельные диагонали $AC$. Эти четыре прямые образуют новый четырехугольник, назовем его $PQRS$.

1. Установление вида четырехугольника.

По построению, две противоположные стороны четырехугольника $PQRS$ параллельны диагонали $AC$, а две другие — параллельны диагонали $BD$. Так как в каждой паре стороны параллельны друг другу, четырехугольник $PQRS$ является параллелограммом.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, т.е. $AC \perp BD$.

Так как стороны параллелограмма $PQRS$ параллельны диагоналям квадрата, то смежные стороны $PQRS$ также взаимно перпендикулярны. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Теперь найдем длины сторон этого прямоугольника. Одна сторона прямоугольника (например, $PQ$) — это расстояние между прямыми, проведенными через вершины $A$ и $C$ параллельно $BD$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из одной прямой на другую. Диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$, а значит, и проведенным прямым. Следовательно, длина отрезка $AC$ является расстоянием между этими прямыми. Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна $AC = d = 4,5$ см.

Аналогично, длина смежной стороны прямоугольника (например, $QR$) — это расстояние между прямыми, проведенными через вершины $B$ и $D$ параллельно $AC$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, длина смежной стороны равна $BD = d = 4,5$ см.

Поскольку смежные стороны прямоугольника равны, этот прямоугольник является квадратом.

2. Нахождение периметра.

Мы установили, что образовавшийся четырехугольник является квадратом со стороной, равной диагонали исходного квадрата, то есть $a_{new} = d = 4,5$ см.

Периметр квадрата $PQRS$ вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a_{new}$.$P = 4 \cdot 4,5 = 18$ см.

Ответ: Образовавшийся четырехугольник является квадратом. Его периметр равен $18$ см.

86. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 12 см.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его гипотенуза $AB = 12$ см. Поскольку треугольник является равнобедренным и прямоугольным, его углы при основании (гипотенузе) равны и составляют $\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $DEFG$ таким образом, что его вершины $D$ и $E$ находятся на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $GD = DE = EF = FG = x$.

Так как сторона квадрата $DE$ лежит на гипотенузе $AB$, то стороны $GD$ и $EF$, будучи перпендикулярными стороне $DE$ (в квадрате все углы прямые), также перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ADG$, который образуется в углу $A$ большого треугольника. В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle A = 45^\circ$ и $\angle GDA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AGD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $ADG$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AD = GD$. Поскольку $GD = x$, то и $AD = x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BEF$, образованный в углу $B$. В нем $\angle B = 45^\circ$ и $\angle FEB = 90^\circ$. Значит, $\angle BFE = 45^\circ$, и треугольник $BEF$ также является равнобедренным. Его катеты равны: $BE = EF$. Поскольку $EF = x$, то и $BE = x$.

Гипотенуза $AB$ исходного треугольника состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $BE$. Мы можем записать это в виде уравнения:$AB = AD + DE + BE$

Подставим в это уравнение известные и полученные нами значения:$12 = x + x + x$$12 = 3x$

Отсюда находим сторону квадрата $x$:$x = \frac{12}{3} = 4$ см.

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4x$.$P = 4 \times 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

87. Дан $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $AC = CB = 16$ см, и квадрат $CKMN$. Причем $K \in AC$, $N \in CB$, $M \in AB$. Найдите периметр квадрата.

По условию задачи дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором $ \angle C = 90^\circ $ и катеты $ AC = CB = 16 $ см. В треугольник вписан квадрат $ CKMN $ так, что вершина $ C $ является общей, вершина $ K $ лежит на катете $ AC $, вершина $ N $ — на катете $ CB $, а вершина $ M $ — на гипотенузе $ AB $.

Обозначим сторону квадрата через $ a $. Таким образом, $ CK = NC = KM = MN = a $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AKM $. Вершина $ K $ лежит на стороне $ AC $, значит, длина отрезка $ AK $ равна разности длин $ AC $ и $ CK $.

$ AK = AC - CK = 16 - a $.

Поскольку $ CKMN $ — квадрат, его сторона $ KM $ параллельна стороне $ NC $, которая лежит на прямой $ CB $. Следовательно, $ KM \parallel CB $.

Так как прямая $ KM $ параллельна прямой $ CB $, то треугольник $ \triangle AKM $ подобен треугольнику $ \triangle ACB $ по двум углам: $ \angle A $ у них общий, а $ \angle AKM = \angle ACB = 90^\circ $ (как соответственные углы при параллельных прямых $ KM $ и $ CB $ и секущей $ AC $).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$ \frac{AK}{AC} = \frac{KM}{CB} $

Подставим в это соотношение известные нам значения:

$ \frac{16 - a}{16} = \frac{a}{16} $

Поскольку знаменатели в дробях одинаковы, мы можем приравнять их числители:

$ 16 - a = a $

Решим полученное уравнение относительно $ a $:

$ 16 = a + a $

$ 16 = 2a $

$ a = \frac{16}{2} = 8 $ см.

Таким образом, сторона квадрата равна 8 см. Теперь найдем его периметр. Периметр квадрата $ P $ вычисляется по формуле $ P = 4a $.

$ P = 4 \cdot 8 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.

88. В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD$ – его биссектриса. На сторонах $BC$ и $AC$ отмечены точки $K$ и $F$ соответственно так, что $DK || AC$, $DF || BC$. Докажите, что $CKDF$ – квадрат.

Рассмотрим четырехугольник CKDF. По условию, сторона DK параллельна стороне AC. Так как точка F лежит на AC, то DK || FC. Также по условию, сторона DF параллельна стороне BC. Так как точка K лежит на BC, то DF || KC. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, CKDF — параллелограмм.

По условию задачи, угол C в треугольнике ABC прямой, то есть $ \angle C = 90^\circ $. Этот угол ($ \angle KCF $) является одним из углов параллелограмма CKDF. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, CKDF — прямоугольник.

Для доказательства того, что прямоугольник CKDF является квадратом, необходимо показать, что его смежные стороны равны. По условию, CD — биссектриса угла C. Это означает, что она делит угол C на два равных угла: $ \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $. Угол $ \angle KCD $ является одним из этих углов, поэтому $ \angle KCD = 45^\circ $.

Рассмотрим параллельные прямые DK и AC и секущую CD. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому $ \angle KDC = \angle ACD $. Так как $ \angle ACD = 45^\circ $, то и $ \angle KDC = 45^\circ $.

Теперь рассмотрим треугольник CKD. В нем два угла равны: $ \angle KCD = 45^\circ $ и $ \angle KDC = 45^\circ $. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть CK = DK.

Таким образом, CKDF — это прямоугольник, у которого смежные стороны (CK и DK) равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник CKDF является квадратом. Доказательство: 1) из того, что DK || AC и DF || BC, следует, что CKDF — параллелограмм; 2) так как $ \angle C = 90^\circ $, этот параллелограмм является прямоугольником; 3) так как CD — биссектриса, то $ \angle KCD = 45^\circ $. Из параллельности DK || AC следует, что накрест лежащий угол $ \angle KDC = \angle ACD = 45^\circ $. В треугольнике CKD два угла равны, следовательно, он равнобедренный и CK = DK. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.

89. Участок имел форму квадрата. Изгородь вокруг него была снесена. Остались только два столба на двух параллельных его сторонах. Как восстановить границы участка, если шестом отмечен центр его симметрии? Всегда ли это возможно сделать?

Как восстановить границы участка

Для восстановления границ участка, имевшего форму квадрата, по двум столбам на параллельных сторонах и центру симметрии, необходимо выполнить следующие геометрические построения. Обозначим положения столбов как точки $A$ и $B$, а центр симметрии, отмеченный шестом, — как точку $O$.

1. Постройте точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$. Точка $O$ должна быть серединой отрезка $AA'$.

2. Аналогично постройте точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно центра $O$.

3. Проведите прямую $L_1$ через точки $A$ и $B'$. Эта прямая содержит одну из сторон квадрата.

4. Проведите прямую $L_2$ через точки $B$ и $A'$. Эта прямая содержит противоположную, параллельную первой, сторону квадрата.

5. Теперь необходимо найти две другие стороны, которые перпендикулярны найденным. Для этого поверните прямую $L_1$ на угол $90^\circ$ вокруг центра $O$. Полученная прямая $L_3$ будет содержать третью сторону квадрата. Чтобы выполнить это построение, можно взять две любые точки на прямой $L_1$ (например, $A$ и $B'$), повернуть каждую из них на $90^\circ$ вокруг центра $O$ и провести новую прямую через полученные точки.

6. Четвертую сторону, $L_4$, можно найти, повернув прямую $L_2$ на тот же угол $90^\circ$ вокруг центра $O$ или построив прямую, симметричную $L_3$ относительно центра $O$.

Пересечение четырех прямых $L_1, L_2, L_3, L_4$ определяет вершины и границы исходного квадратного участка.

Ответ: Необходимо построить точки $A'$ и $B'$, симметричные столбам $A$ и $B$ относительно центра $O$. Две стороны квадрата лежат на прямых, проходящих через пары точек $(A, B')$ и $(B, A')$. Две другие стороны получаются поворотом этих прямых на $90^\circ$ вокруг центра $O$.

Всегда ли это возможно сделать?

Нет, однозначно восстановить границы участка возможно не всегда. Существует один особый случай, когда задача не имеет единственного решения.

Этот случай возникает, когда центр симметрии $O$ является серединой отрезка $AB$, соединяющего два столба. При таком расположении точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, совпадает с точкой $B$, а точка $B'$ совпадает с $A$. В результате, на третьем шаге описанного выше алгоритма, для проведения прямой $L_1$ потребуется соединить две совпадающие точки ($A$ и $B'$), что невозможно — прямая не определена однозначно.

С геометрической точки зрения, если $O$ — середина отрезка $AB$, это означает, что столбы находятся на противоположных сторонах на линии, проходящей через центр. Направление сторон квадрата относительно этой линии остается неизвестным. Можно построить бесконечно много различных квадратов, которые удовлетворяют этим условиям, меняя угол наклона сторон. Поскольку решение не является единственным, точно восстановить границы *первоначального* участка невозможно.

Во всех остальных случаях, когда точка $O$ не является серединой отрезка $AB$, предложенный алгоритм построения дает единственный правильный результат.

Ответ: Нет, не всегда. Восстановить границы участка возможно тогда и только тогда, когда центр симметрии $O$ не является серединой отрезка, соединяющего два столба. Если $O$ — середина этого отрезка, задача имеет бесконечное множество решений, и однозначно восстановить границы нельзя.

Постройте равнобедренную трапецию. Измерьте:

а) ее диагонали;

б) углы при большем основании трапеции. Сравните эти величины.

Для решения этой задачи необходимо сначала построить равнобедренную трапецию. Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны (боковые) равны между собой. Обозначим нашу трапецию как ABCD, где AD и BC — основания (причем AD — большее основание), а AB и CD — равные боковые стороны.

Построение можно выполнить следующим образом:

1. Начертите отрезок AD, который будет большим основанием.

2. Из точек A и D проведите два луча вверх под одинаковым острым углом к отрезку AD (например, 70°). Так вы зададите равные углы при основании.

3. На этих лучах отложите равные отрезки AB и DC.

4. Соедините точки B и C. Отрезок BC будет являться меньшим основанием, и так как углы при основании AD равны, прямая BC будет параллельна прямой AD. Фигура ABCD — искомая равнобедренная трапеция.

Теперь выполним измерения и сравним полученные величины, опираясь на свойства построенной фигуры.

а) ее диагонали;

Измерим длины диагоналей AC и BD с помощью линейки. В любой правильно построенной равнобедренной трапеции измерения покажут, что длины диагоналей равны.

Это является одним из основных свойств равнобедренной трапеции. Это можно доказать, рассмотрев треугольники ΔABD и ΔDCA. У этих треугольников:

1. Сторона AD — общая.

2. Стороны AB и DC равны ($AB = DC$), так как трапеция равнобедренная.

3. Углы при основании BAD и CDA равны ($∠BAD = ∠CDA$) по свойству равнобедренной трапеции.

Следовательно, треугольники ΔABD и ΔDCA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих сторон, которые являются диагоналями: $AC = BD$.

Сравнение: Длины диагоналей равнобедренной трапеции оказались равны.

Ответ: Диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

б) углы при большем основании трапеции.

Измерим с помощью транспортира углы при большем основании AD, то есть углы ∠BAD и ∠CDA. Измерения покажут, что эти углы равны.

Это является фундаментальным свойством (и часто — частью определения) равнобедренной трапеции. Если трапеция строилась, как описано выше, через откладывание равных углов, то их равенство заложено в самом построении. Если же исходить из определения, что у равнобедренной трапеции равны боковые стороны ($AB = CD$), то равенство углов при основании можно доказать.

Для доказательства проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Мы получим два прямоугольных треугольника: ΔABH и ΔDCK.

1. Их гипотенузы равны: $AB = CD$ (по определению).

2. Катеты BH и CK равны, так как они являются расстоянием между двумя параллельными прямыми BC и AD.

Таким образом, прямоугольные треугольники ΔABH и ΔDCK равны по гипотенузе и катету. Из их равенства следует и равенство соответствующих острых углов: $∠BAH = ∠CDK$, что и требовалось доказать ($∠BAD = ∠CDA$).

Сравнение: Углы при большем основании равнобедренной трапеции оказались равны.

Ответ: Углы при большем основании равнобедренной трапеции равны между собой.