Страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

71. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

Докажите, что треугольник $AOD$ – равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, диагонали которого, $AC$ и $BD$, пересекаются в точке $O$.

Для доказательства того, что треугольник $AOD$ является равнобедренным, воспользуемся свойствами прямоугольника.

1. Одно из основных свойств прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны по длине. Следовательно, $AC = BD$.

2. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, а у любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. Таким образом, мы можем записать: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

3. Так как диагонали равны ($AC = BD$), то и их половины равны между собой. Из этого следует, что $AO = OD$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $AOD$. Мы доказали, что две его стороны, $AO$ и $OD$, равны.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AOD$ является равнобедренным. Это следует из свойств диагоналей прямоугольника: они равны ($AC = BD$) и точкой пересечения ($O$) делятся пополам. Поскольку $AO = \frac{1}{2}AC$ и $OD = \frac{1}{2}BD$, а $AC=BD$, то стороны $AO$ и $OD$ треугольника $AOD$ равны.

72. a) Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите его стороны, если они относятся как $1:2$.

б) Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит сторону BC на части 2 см и 6 см. Найдите периметр прямоугольника.

в) Найдите меньший из углов между диагоналями прямоугольника, если его меньшая сторона относится к диагонали как $1:2$.

а)Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 48$ см.
Также известно, что стороны относятся как 1:2. Пусть $a = x$ см, тогда $b = 2x$ см.
Подставим эти значения в формулу периметра:
$48 = 2(x + 2x)$
$48 = 2(3x)$
$48 = 6x$
$x = 48 / 6$
$x = 8$
Таким образом, одна сторона $a = 8$ см.
Вторая сторона $b = 2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: 8 см и 16 см.

б)Пусть в прямоугольнике $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.
Поскольку $AK$ — биссектриса, она делит прямой угол $\angle A$ (равный 90°) на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD = 45°$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90°$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $\angle BKA = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Так как углы при основании $AK$ равны ($\angle BAK = \angle BKA = 45°$), треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, и, следовательно, $AB = BK$.
По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на отрезки 2 см и 6 см. Возможны два случая.
Случай 1: $BK = 2$ см и $KC = 6$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 2$ см.
Сторона $BC = BK + KC = 2 + 6 = 8$ см.
Периметр прямоугольника $P = 2(AB + BC) = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Случай 2: $BK = 6$ см и $KC = 2$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 6$ см.
Сторона $BC = BK + KC = 6 + 2 = 8$ см.
Периметр прямоугольника $P = 2(AB + BC) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Ответ: 20 см или 28 см.

в)Пусть меньшая сторона прямоугольника $a$, а его диагональ $d$. По условию, $a:d = 1:2$, откуда $d = 2a$.
Пусть прямоугольник $ABCD$ с меньшей стороной $AB = a$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = d$, а $AO = BO = CO = DO = d/2$.
Подставим значение $d=2a$: $AO = BO = (2a)/2 = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Его стороны равны: $AB = a$, $AO = a$, $BO = a$.
Следовательно, $\triangle ABO$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Угол $\angle AOB$ является одним из углов между диагоналями, и он равен 60°.
Смежный с ним угол $\angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 60° = 120°$.
Меньший из углов между диагоналями (60° и 120°) равен 60°.
Ответ: 60°.

73. a) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите его диагонали, если меньшая сторона прямоугольника равна 17 см.

б) Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении 1 : 2. Найдите ее длину, если сумма обеих диагоналей и двух меньших сторон равна 24 см.

а)

Пусть дан прямоугольник, его диагонали пересекаются в точке O. По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим длину диагонали как $d$. Тогда точка O делит каждую диагональ на два отрезка длиной $d/2$.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной прямоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это половины диагоналей, и они равны ($d/2$).

Угол между диагоналями, который противолежит меньшей стороне прямоугольника, является острым углом. По условию, этот угол равен $60^{\circ}$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) равен $60^{\circ}$. Углы при основании этого треугольника будут равны: $(180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^{\circ}$, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна половине диагонали.

По условию, меньшая сторона равна 17 см. Значит, половина диагонали также равна 17 см.

$d/2 = 17$ см.

Тогда вся диагональ равна: $d = 17 \cdot 2 = 34$ см.

Ответ: длина каждой диагонали равна 34 см.

б)

Пусть дан прямоугольник ABCD. Все его углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Диагональ, например AC, делит угол $\angle BCD$ на два угла, $\angle BCA$ и $\angle ACD$. По условию, их отношение равно $1:2$.

Пусть $\angle BCA = x$, тогда $\angle ACD = 2x$. Сумма этих углов равна углу прямоугольника:

$x + 2x = 90^{\circ}$

$3x = 90^{\circ}$

$x = 30^{\circ}$

Значит, $\angle BCA = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^{\circ}$). В этом треугольнике катет AB лежит напротив угла $\angle BCA = 30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является диагональ AC.

Обозначим длину меньшей стороны (AB) как $a$, а длину диагонали (AC) как $d$. Тогда: $a = \frac{1}{2}d$ или $d = 2a$.

Сторона AB является меньшей, так как она лежит напротив меньшего острого угла треугольника $\triangle ABC$ ($\angle BCA = 30^{\circ}$, а $\angle BAC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$).

По условию задачи, сумма обеих диагоналей и двух меньших сторон равна 24 см. Диагонали прямоугольника равны ($d_1 = d_2 = d$), и две меньшие стороны равны ($a_1 = a_2 = a$). Составим уравнение:

$2d + 2a = 24$

Разделим обе части на 2:

$d + a = 12$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $d = 2a$

2. $d + a = 12$

Подставим выражение для $d$ из первого уравнения во второе:

$2a + a = 12$

$3a = 12$

$a = 4$ см.

Теперь найдем длину диагонали, используя первое уравнение:

$d = 2a = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: длина диагонали равна 8 см.

74.
а) Сколько кафельных плиток размером $30 \text{ см} \times 20 \text{ см}$ понадобится, чтобы выложить пол в комнате длиной $2,4 \text{ м}$ и шириной $1,8 \text{ м}$?

б) Как нужно укладывать доски ламината размером $80 \text{ см} \times 20 \text{ см}$, чтобы 77 досок хватило для покрытия пола в комнате длиной $4 \text{ м}$ и шириной $3 \text{ м}$?

а) Для решения задачи необходимо привести все размеры к единой единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.

Размеры комнаты:

Длина: $2,4 \text{ м} = 2,4 \times 100 \text{ см} = 240 \text{ см}$.

Ширина: $1,8 \text{ м} = 1,8 \times 100 \text{ см} = 180 \text{ см}$.

Размеры одной кафельной плитки: $30 \text{ см} \times 20 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь пола комнаты и площадь одной плитки.

Площадь пола: $S_{пола} = 240 \text{ см} \times 180 \text{ см} = 43200 \text{ см}^2$.

Площадь одной плитки: $S_{плитки} = 30 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 600 \text{ см}^2$.

Чтобы найти общее количество плиток, нужно разделить площадь пола на площадь одной плитки. Этот метод корректен, так как размеры комнаты кратны размерам плитки (например, $240/30=8$ и $180/20=9$), что позволяет уложить плитки без подрезки.

Количество плиток: $N = \frac{S_{пола}}{S_{плитки}} = \frac{43200}{600} = 72$.

Ответ: понадобится 72 кафельные плитки.

б) Сначала переведем все размеры в сантиметры и проверим, достаточно ли общей площади досок для покрытия пола.

Размеры комнаты: $4 \text{ м} \times 3 \text{ м}$, что равно $400 \text{ см} \times 300 \text{ см}$.

Размеры доски ламината: $80 \text{ см} \times 20 \text{ см}$.

Площадь пола: $S_{пола} = 400 \text{ см} \times 300 \text{ см} = 120000 \text{ см}^2$.

Площадь одной доски: $S_{доски} = 80 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 1600 \text{ см}^2$.

Общая площадь 77 досок: $S_{общая} = 77 \times 1600 = 123200 \text{ см}^2$.

Поскольку $S_{общая} > S_{пола}$ ($123200 > 120000$), материала теоретически хватает. Теперь нужно рассмотреть конкретные способы укладки, чтобы определить, хватит ли 77 досок с учетом возможной подрезки.

Вариант 1: Укладка длинной стороной доски ($80 \text{ см}$) вдоль длинной стены комнаты ($400 \text{ см}$).

Количество досок, укладывающихся в один ряд вдоль длины комнаты: $400 \text{ см} \div 80 \text{ см} = 5$ досок.

Количество рядов, необходимое для покрытия ширины комнаты ($300 \text{ см}$), при ширине ряда $20 \text{ см}$: $300 \text{ см} \div 20 \text{ см} = 15$ рядов.

Общее количество досок для этого варианта: $5 \text{ досок/ряд} \times 15 \text{ рядов} = 75$ досок.

Так как $75 \le 77$, данный способ укладки возможен.

Вариант 2: Укладка длинной стороной доски ($80 \text{ см}$) вдоль короткой стены комнаты ($300 \text{ см}$).

Количество досок, необходимых для одного ряда вдоль ширины комнаты: $300 \text{ см} \div 80 \text{ см} = 3,75$. Поскольку нельзя использовать обрезки от одного ряда для начала другого (в общем случае), на каждый ряд потребуется 4 целые доски (последняя будет обрезана).

Количество рядов, необходимое для покрытия длины комнаты ($400 \text{ см}$): $400 \text{ см} \div 20 \text{ см} = 20$ рядов.

Общее количество досок для этого варианта: $4 \text{ доски/ряд} \times 20 \text{ рядов} = 80$ досок.

Так как $80 > 77$, данный способ укладки невозможен.

Ответ: доски ламината нужно укладывать длинной стороной ($80 \text{ см}$) параллельно длинной стене комнаты ($4 \text{ м}$).

75. a) В прямоугольнике $ABCD$ проведен перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, который делит угол $B$ в отношении 4 : 5. Найдите угол $HBD$.

б) Дан прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см. Биссектрисы его углов, пересекаясь, образуют четырехугольник $MNPK$. Установите его вид и найдите диагонали.

а)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По определению, все его углы прямые, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.Проведен перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, который делит угол $\angle B$ (то есть $\angle ABC$) в отношении $4:5$.Пусть $\angle ABH = 4x$ и $\angle HBC = 5x$.Сумма этих углов равна углу $\angle ABC$:$\angle ABH + \angle HBC = \angle ABC$$4x + 5x = 90^\circ$$9x = 90^\circ$$x = 10^\circ$Отсюда находим величины углов:$\angle ABH = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$$\angle HBC = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.Угол $\angle BAH$ является частью угла $\angle BAD$ и совпадает с углом $\angle BAC$. Таким образом, $\angle BAC = 50^\circ$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO = BO = CO = DO$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Так как $AO = BO$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$\angle ABD = \angle BAC = 50^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle HBD$. Он является разностью углов $\angle ABD$ и $\angle ABH$:$\angle HBD = \angle ABD - \angle ABH = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.Также можно найти $\angle HBD$ как разность углов $\angle HBC$ и $\angle DBC$. Для этого сначала найдем $\angle DBC$:$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.Тогда $\angle HBD = \angle HBC - \angle DBC = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $10^\circ$.

б)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=6$ см и $BC=AD=2$ см. Углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому их биссектрисы делят углы на два угла по $45^\circ$.

1. Установление вида четырехугольника MNPK.
Пусть $k_A, k_B, k_C, k_D$ — биссектрисы углов $A, B, C, D$ соответственно. Четырехугольник $MNPK$ образован пересечениями этих биссектрис.Рассмотрим биссектрисы смежных углов, например $k_A$ и $k_B$. Они выходят из вершин стороны $AB$. В треугольнике, образованном отрезком $AB$ и биссектрисами $k_A$ и $k_B$, углы при основании $AB$ равны $45^\circ$. Следовательно, угол между биссектрисами $k_A$ и $k_B$ равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, биссектрисы смежных углов прямоугольника перпендикулярны.

Рассмотрим биссектрисы противоположных углов, например $k_A$ и $k_C$. Так как стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а биссектрисы $k_A$ и $k_C$ образуют с ними равные углы по $45^\circ$ (как соответственные углы при секущих $AB$ и $CD$), то биссектрисы $k_A$ и $k_C$ параллельны. Аналогично, биссектрисы $k_B$ и $k_D$ параллельны.

Четырехугольник $MNPK$, стороны которого лежат на биссектрисах $k_A, k_B, k_C, k_D$, имеет попарно параллельные противоположные стороны, то есть является параллелограммом. Так как смежные стороны этого параллелограмма перпендикулярны (поскольку лежат на перпендикулярных биссектрисах), то этот параллелограмм является прямоугольником.

Чтобы определить, является ли прямоугольник $MNPK$ квадратом, найдем длины его сторон. Длина стороны прямоугольника $MNPK$ равна расстоянию между параллельными биссектрисами. Пусть $L=6$ — длина большей стороны, $W=2$ — длина меньшей стороны прямоугольника $ABCD$. Можно показать, что расстояние между биссектрисами $k_A$ и $k_C$ равно $(L-W)/\sqrt{2}$, и расстояние между биссектрисами $k_B$ и $k_D$ также равно $(L-W)/\sqrt{2}$.Так как стороны равны, четырехугольник $MNPK$ — квадрат.

2. Нахождение диагоналей.
Найдем длину стороны квадрата $MNPK$.Сторона $a = \frac{L-W}{\sqrt{2}} = \frac{6-2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см.Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.$d = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.Диагонали квадрата равны, поэтому обе диагонали имеют длину 4 см.Альтернативный вывод: длина диагонали внутреннего квадрата равна разности сторон исходного прямоугольника: $d=L-W=6-2=4$ см.

Ответ: Четырехугольник $MNPK$ является квадратом, его диагонали равны 4 см.