Страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

64. a) Как, используя признаки параллелограмма, можно: 1) установить, параллельны ли края прямой дороги; 2) имеет ли форму параллелограмма четырехугольная пластинка?

б) Является ли параллелограммом четырехугольник: 1) имеющий две пары равных противоположных углов; 2) две стороны которого не равны, а две другие параллельны?

а)

1) Чтобы установить, параллельны ли края прямой дороги, можно применить один из признаков параллелограмма. Края дороги можно рассматривать как две прямые линии. Для проверки их параллельности нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на одном краю дороги две точки, назовем их A и D.

2. Выбрать на другом краю дороги две точки, B и C, так, чтобы получился четырехугольник ABCD.

3. Измерить "ширину" дороги в двух местах, то есть длины отрезков AB и DC. Эти отрезки являются противоположными сторонами четырехугольника.

4. Измерить расстояние между точками замера вдоль каждого края дороги, то есть длины отрезков AD и BC. Это вторая пара противоположных сторон.

5. Сравнить длины противоположных сторон. Если окажется, что $AB = DC$ и $AD = BC$, то, согласно признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, края дороги, на которых лежат стороны AD и BC, параллельны.

Ответ: Необходимо сформировать четырехугольник, две стороны которого лежат на краях дороги, а две другие соединяют их. Если у этого четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом, а значит, края дороги параллельны.

2) Чтобы установить, имеет ли четырехугольная пластинка форму параллелограмма, можно воспользоваться измерительными инструментами и проверить выполнение одного из признаков параллелограмма:

• Признак по сторонам: Измерить длины всех четырех сторон пластинки. Если противоположные стороны попарно равны, то пластинка имеет форму параллелограмма.

• Признак по углам: Измерить величины всех четырех углов пластинки. Если противоположные углы попарно равны, то пластинка является параллелограммом.

• Признак по диагоналям: Провести (или вообразить) на пластинке две диагонали. Измерить их длины и найти точку их пересечения. Если диагонали в точке пересечения делятся пополам, то пластинка является параллелограммом.

Ответ: Можно измерить длины сторон, величины углов или длины диагоналей и проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма (равенство противоположных сторон, равенство противоположных углов или деление диагоналей точкой пересечения пополам).

б)

1) Рассмотрим четырехугольник, у которого две пары равных противоположных углов. Пусть в четырехугольнике ABCD углы равны следующим образом: $∠A = ∠C$ и $∠B = ∠D$.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. То есть, $∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°$.

Заменим $∠C$ на $∠A$ и $∠D$ на $∠B$:

$∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 360°$

$2(∠A + ∠B) = 360°$

$∠A + ∠B = 180°$

Рассмотрим стороны AD и BC и секущую AB. Углы $∠A$ и $∠B$ являются односторонними внутренними углами. Так как их сумма равна $180°$, прямые AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$).

Аналогично, $∠A + ∠D = 180°$. Рассматривая стороны AB и DC и секущую AD, мы видим, что углы $∠A$ и $∠D$ — односторонние внутренние, и их сумма равна $180°$. Следовательно, прямые AB и DC параллельны ($AB \parallel DC$).

Поскольку у четырехугольника обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Да, является. Это один из признаков параллелограмма.

2) Рассмотрим четырехугольник, у которого две стороны не равны, а две другие параллельны. Условие можно трактовать так: одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара противоположных сторон не равна.

Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), а стороны AB и DC не равны ($AB ≠ DC$).

Такой четырехугольник является трапецией. Чтобы он был параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая пара сторон была параллельна, то есть $AB \parallel DC$. Однако, если четырехугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны должны быть равны, то есть должно выполняться равенство $AB = DC$. Это противоречит условию задачи ($AB ≠ DC$).

Примером такой фигуры может служить любая не равнобокая трапеция.

Ответ: Нет, не является. Такой четырехугольник является трапецией, но не параллелограммом.

65. a) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ параллелограмм, если его вершины являются серединами сторон:

1) прямоугольника;

2) ромба.

б) В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD = 2BC$, точка $M$ – середина $AD$. Докажите, что четырехугольники $ABCM$ и $MBCD$ параллелограммы.

а) 1) Пусть дан прямоугольник, который мы обозначим как $KLMN$. Пусть точки $A, B, C, D$ являются серединами его сторон $KL, LM, MN$ и $NK$ соответственно. Нам нужно доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
Рассмотрим диагональ $KM$ прямоугольника. В треугольнике $KLM$ отрезок $AB$ соединяет середины сторон $KL$ и $LM$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $AB$ параллелен диагонали $KM$ и равен ее половине, то есть $AB \parallel KM$ и $AB = \frac{1}{2}KM$.
Теперь рассмотрим треугольник $KNM$. В этом треугольнике отрезок $DC$ соединяет середины сторон $NK$ и $NM$. По той же теореме о средней линии, $DC \parallel KM$ и $DC = \frac{1}{2}KM$.
Из полученных соотношений следует, что $AB \parallel DC$ (так как оба отрезка параллельны $KM$) и $AB = DC$ (так как оба отрезка равны половине $KM$).
Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.
Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

а) 2) Пусть дан ромб, который мы обозначим как $KLMN$. Пусть точки $A, B, C, D$ являются серединами его сторон $KL, LM, MN$ и $NK$ соответственно. Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм.
Рассмотрим диагональ $LN$ ромба. В треугольнике $LMN$ отрезок $BC$ соединяет середины сторон $LM$ и $MN$. По теореме о средней линии треугольника, $BC \parallel LN$ и $BC = \frac{1}{2}LN$.
Теперь рассмотрим треугольник $LKN$. Отрезок $AD$ соединяет середины сторон $KL$ и $KN$. По теореме о средней линии, $AD \parallel LN$ и $AD = \frac{1}{2}LN$.
Таким образом, мы имеем, что $AD \parallel BC$ (так как оба отрезка параллельны $LN$) и $AD = BC$ (так как оба отрезка равны половине $LN$).
Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

б) По условию задачи дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Также дано, что $AD = 2BC$ и точка $M$ является серединой основания $AD$.
Так как $M$ — середина $AD$, то $AM = MD = \frac{1}{2}AD$.
Из условия $AD = 2BC$ следует, что $BC = \frac{1}{2}AD$.
Сравнивая эти два выражения, получаем, что $AM = MD = BC$.
Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его стороны $AM$ и $BC$ параллельны, так как $AM$ лежит на прямой $AD$, а $AD \parallel BC$. Кроме того, мы установили, что длины этих сторон равны: $AM = BC$. Поскольку в четырехугольнике $ABCM$ две противолежащие стороны равны и параллельны, он является параллелограммом.
Теперь рассмотрим четырехугольник $MBCD$. Его стороны $MD$ и $BC$ параллельны, так как $MD$ лежит на прямой $AD$, а $AD \parallel BC$. Мы также показали, что их длины равны: $MD = BC$. Следовательно, по тому же признаку, четырехугольник $MBCD$ также является параллелограммом.
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Четырехугольники $ABCM$ и $MBCD$ являются параллелограммами.

66. a)

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ также является параллелограммом.

б)

Дан параллелограмм $MNPK$. На лучах $MN$, $NP$, $PK$ и $KM$ отложены соответственно равные отрезки $NA$, $PB$, $KC$ и $MD$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

в)

Даны две окружности с общим центром и проведены их пересекающиеся диаметры. Докажите, что концы этих диаметров являются вершинами параллелограмма.

а)

По условию, $ABCD$ – параллелограмм, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка пересечения делит их пополам, следовательно, $AO = CO$ и $BO = DO$.

Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ соответственно. Это означает:

$A_1O = \frac{1}{2}AO$

$C_1O = \frac{1}{2}CO$

$B_1O = \frac{1}{2}BO$

$D_1O = \frac{1}{2}DO$

Рассмотрим диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ – это отрезки $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на диагонали $AC$, а точки $B_1$ и $D_1$ лежат на диагонали $BD$. Все четыре точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ имеют общую точку $O$ на своих диагоналях.

Так как $AO = CO$, то и $A_1O = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}CO = C_1O$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $A_1C_1$.

Аналогично, так как $BO = DO$, то и $B_1O = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}DO = D_1O$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм), $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

По условию, $MNPK$ — параллелограмм. Это значит, что его противоположные стороны равны ($MN = PK$, $NP = KM$) и противоположные углы равны ($\angle KMN = \angle NPK$, $\angle MNP = \angle PKM$).

На лучах $MN$, $NP$, $PK$, $KM$ отложены равные отрезки $NA = PB = KC = MD = l$. Это означает, что точки $A, B, C, D$ лежат на продолжениях сторон параллелограмма за вершины $N, P, K, M$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAM$ и $\triangle BCP$.

1. Сторона $DM$ в $\triangle DAM$ равна $l$. Сторона $PB$ в $\triangle BCP$ равна $l$. Следовательно, $DM = PB$.

2. Сторона $MA$ в $\triangle DAM$ равна $MN + NA = MN + l$. Сторона $PC$ в $\triangle BCP$ равна $PK + KC = PK + l$. Так как $MN = PK$, то $MA = PC$.

3. Угол $\angle DMA$ образован лучами $MD$ (луч $MK$) и $MA$ (луч $MN$). Таким образом, $\angle DMA = \angle KMN$. Угол $\angle BPC$ образован лучами $PB$ (луч $PN$) и $PC$ (луч $PK$). Таким образом, $\angle BPC = \angle NPK$. Так как $\angle KMN = \angle NPK$ (противоположные углы параллелограмма), то $\angle DMA = \angle BPC$.

По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), $\triangle DAM \cong \triangle BCP$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AD = BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CDK$.

1. Сторона $NA$ в $\triangle ABN$ равна $l$. Сторона $KC$ в $\triangle CDK$ равна $l$. Следовательно, $NA = KC$.

2. Сторона $NB$ в $\triangle ABN$ равна $NP + PB = NP + l$. Сторона $KD$ в $\triangle CDK$ равна $KM + MD = KM + l$. Так как $NP = KM$, то $NB = KD$.

3. Угол $\angle ANB$ образован лучами $NA$ (луч $NM$) и $NB$ (луч $NP$). Таким образом, $\angle ANB = \angle MNP$. Угол $\angle CKD$ образован лучами $KC$ (луч $KP$) и $KD$ (луч $KM$). Таким образом, $\angle CKD = \angle PKM$. Так как $\angle MNP = \angle PKM$ (противоположные углы параллелограмма), то $\angle ANB = \angle CKD$.

По первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABN \cong \triangle CDK$. Из этого следует, что $AB = CD$.

В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны: $AD = BC$ и $AB = CD$. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Пусть даны две окружности с общим центром в точке $O$. Проведем два диаметра, которые пересекаются в этой точке $O$. Обозначим концы одного диаметра как $A$ и $C$, а концы другого — как $B$ и $D$. Точки $A$ и $C$ лежат на одной из окружностей, а точки $B$ и $D$ — на другой (или обе пары на одной и той же, результат не изменится).

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, вершинами которого являются концы этих диаметров.

Диагоналями этого четырехугольника являются отрезки $AC$ и $BD$.

По определению, диаметр окружности проходит через ее центр и делится им пополам. Так как $AC$ — диаметр с центром в $O$, то $AO = CO$ (оба отрезка равны радиусу первой окружности).

Аналогично, так как $BD$ — диаметр с центром в $O$, то $BO = DO$ (оба отрезка равны радиусу второй окружности).

Диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и эта точка является серединой каждой из них.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.