Страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом?

2. Что называется трапецией? Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?

3. Докажите, что у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

4. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. Что называется параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые.

Ответ:

2. Что называется трапецией? Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?

Трапецией называется четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Ответ:

3. Докажите, что у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Дано: параллелограмм $ABCD$.

Найти: доказать, что $AB = CD$, $BC = AD$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.

Решение:

Проведем диагональ $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

1. Так как $AB \parallel CD$ и $AC$ - секущая, то $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие углы.

2. Так как $BC \parallel AD$ и $AC$ - секущая, то $\angle BCA = \angle DAC$ как накрест лежащие углы.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

• $AB = CD$

• $BC = AD$

• $\angle B = \angle D$

Теперь докажем равенство углов $\angle A$ и $\angle C$.

$\angle A = \angle BAC + \angle DAC$

$\angle C = \angle BCA + \angle DCA$

Поскольку мы уже установили, что $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle DAC = \angle BCA$, то их суммы также равны, то есть $\angle A = \angle C$.

Таким образом, у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Ответ: Доказано.

4. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Найти: доказать, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

По определению параллелограмма, $AD \parallel BC$.

1. Так как $AD \parallel BC$ и $AC$ - секущая, то $\angle DAO = \angle BCO$ (или $\angle CAD = \angle ACB$) как накрест лежащие углы.

2. Так как $AD \parallel BC$ и $BD$ - секущая, то $\angle ADO = \angle CBO$ (или $\angle ADB = \angle CBD$) как накрест лежащие углы.

3. По свойству параллелограмма (доказанному в предыдущем пункте), его противоположные стороны равны, то есть $AD = BC$.

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $\triangle AOD \cong \triangle COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон:

• $AO = OC$

• $DO = OB$

Это означает, что точка $O$ делит каждую диагональ пополам.

Ответ: Доказано.

49.

a) В прямоугольнике $ABCE$ проведена диагональ $AC$. Известно, что $\angle CAB = 2 \cdot \angle ACB$. Найдите периметр прямоугольника, если $AC = 10$ см, $BC = a$ см.

б) Постройте квадрат $PEFL$ со стороной 3 см и его диагональ $PF$. Найдите углы $EPF$, $EFP$ и $FPL$.

в) Периметр ромба $MNPK$ равен 12 дм. Найдите его углы $M$ и $N$, если диагональ $NK$ равна стороне $MK$.

г) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ $\angle A = 55^\circ$, $\angle C = 140^\circ$. Найдите два других угла этой трапеции.

д) Дан параллелограмм $EFGH$. Биссектрисы его углов $E$ и $F$ пересекаются в точке $K$. Найдите $\angle EKF$.

а) В прямоугольнике $ABCE$ диагональ $AC$ образует с его сторонами прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle CAB + \angle ACB = 90^\circ$.
По условию задачи $\angle CAB = 2 \cdot \angle ACB$. Обозначим $\angle ACB = x$, тогда $\angle CAB = 2x$.
Составим уравнение: $x + 2x = 90^\circ$, откуда $3x = 90^\circ$, и $x = 30^\circ$.
Таким образом, $\angle ACB = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AB$ лежит против угла $\angle ACB = 30^\circ$, а гипотенузой является $AC = 10$ см.Следовательно, $AB = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Вторую сторону прямоугольника, $BC$, найдем по теореме Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2$.
$BC = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$.
$P = 2(5 + 5\sqrt{3}) = 10 + 10\sqrt{3}$ см.
Ответ: $10 + 10\sqrt{3}$ см.

б) В квадрате $PEFL$ все углы прямые ($\angle E = \angle P = \angle F = \angle L = 90^\circ$) и все стороны равны. Диагональ $PF$ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника $PEF$ и $PFL$.
Рассмотрим треугольник $PEF$. Он прямоугольный, так как $\angle E = 90^\circ$. Поскольку $PE = EF$ (как стороны квадрата), треугольник $PEF$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle EPF = \angle EFP$. Сумма этих углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle EPF = \angle EFP = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Диагональ в квадрате является биссектрисой его углов. Угол $\angle EPL$ — это угол квадрата, $\angle EPL = 90^\circ$. Диагональ $PF$ делит его пополам, поэтому $\angle FPL = \frac{1}{2}\angle EPL = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $\angle EPF = 45^\circ$, $\angle EFP = 45^\circ$, $\angle FPL = 45^\circ$.

в) Периметр ромба $MNPK$ равен $12$ дм. Так как у ромба все четыре стороны равны, длина одной стороны $MK$ составляет $MK = \frac{P}{4} = \frac{12}{4} = 3$ дм.
По условию, диагональ $NK$ равна стороне $MK$, то есть $NK = 3$ дм.
Рассмотрим треугольник $MNK$. Его стороны $MN$, $NK$ и $KM$ равны между собой ($MN=NK=KM=3$ дм), так как $MN$ и $MK$ — стороны ромба, а $NK$ равна им по условию. Следовательно, треугольник $MNK$ является равносторонним.
Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, $\angle M = 60^\circ$.
В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $M$ и $N$ — соседние, поэтому $\angle M + \angle N = 180^\circ$.
$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: $\angle M = 60^\circ$, $\angle N = 120^\circ$.

г) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
Для боковой стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Поскольку $\angle A = 55^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.
Для боковой стороны $CD$ имеем: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
Поскольку $\angle C = 140^\circ$, то $\angle D = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Ответ: $\angle B = 125^\circ$, $\angle D = 40^\circ$.

д) В параллелограмме $EFGH$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle E + \angle F = 180^\circ$.
По условию, $EK$ – биссектриса угла $\angle E$, а $FK$ – биссектриса угла $\angle F$. Это означает, что $\angle KEF = \frac{1}{2}\angle E$ и $\angle KFE = \frac{1}{2}\angle F$.
Рассмотрим треугольник $EKF$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle KEF + \angle KFE + \angle EKF = 180^\circ$.
Подставим в это равенство выражения для углов $\angle KEF$ и $\angle KFE$:
$\frac{1}{2}\angle E + \frac{1}{2}\angle F + \angle EKF = 180^\circ$
$\frac{1}{2}(\angle E + \angle F) + \angle EKF = 180^\circ$
Так как $\angle E + \angle F = 180^\circ$, то:
$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle EKF = 180^\circ$
$90^\circ + \angle EKF = 180^\circ$
$\angle EKF = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\angle EKF = 90^\circ$.

50. По данным на рисунке 35, а, б найдите:

а) углы параллелограмма RFQР ($ \alpha $, $ \beta $);

б) углы параллелограмма ABCD ($ \alpha $) и докажите, что он является ромбом.

Рисунок 35

а)

Рассмотрим параллелограмм $RFQP$. По свойству параллелограмма его противоположные стороны параллельны: $FQ \parallel RP$ и $FR \parallel QP$.

Диагональ $RQ$ является секущей для пары параллельных прямых $FR$ и $QP$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle PQR = \angle FRQ$. Согласно рисунку, $\angle FRQ = \alpha$, следовательно, $\angle PQR = \alpha$.

Аналогично, $RQ$ является секущей для параллельных прямых $FQ$ и $RP$. Внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle FQR = \angle PRQ$. Согласно рисунку, $\angle PRQ = \beta$, следовательно, $\angle FQR = \beta$.

Теперь мы можем найти углы параллелограмма:

Угол при вершине $R$ равен сумме углов $\alpha$ и $\beta$: $\angle R = \angle FRQ + \angle PRQ = \alpha + \beta$.

Угол при вершине $Q$ также равен сумме углов $\alpha$ и $\beta$: $\angle Q = \angle PQR + \angle FQR = \alpha + \beta$.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle R = \angle Q = \alpha + \beta$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Найдем углы при вершинах $F$ и $P$:

$\angle F = 180^\circ - \angle R = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

$\angle P = 180^\circ - \angle Q = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Таким образом, углы параллелограмма $RFQP$ выражаются через $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: $\angle R = \angle Q = \alpha + \beta$; $\angle F = \angle P = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

б)

Сначала докажем, что параллелограмм $ABCD$ является ромбом.По определению, в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.На рисунке показано, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).Из этих равенств следует, что все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Теперь найдем углы ромба $ABCD$.Так как $ABCD$ — ромб, то он является и параллелограммом, а значит, $BC \parallel AD$. Диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BCA = \angle BAC$.По условию, $\angle BAC = \alpha$, значит $\angle BCA = \alpha$.Так как $\angle CAD = \angle BCA$, то $\angle CAD = \alpha$.

Теперь найдем углы ромба:$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.По свойству ромба (или параллелограмма) противоположные углы равны, значит $\angle C = \angle BCD = \angle A = 2\alpha$.Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$:$\angle B = \angle ABC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 2\alpha$.Противоположный ему угол $D$ равен: $\angle D = \angle ADC = \angle B = 180^\circ - 2\alpha$.

Ответ: $ABCD$ является ромбом, так как это параллелограмм с равными смежными сторонами. Углы ромба равны: $\angle A = \angle C = 2\alpha$; $\angle B = \angle D = 180^\circ - 2\alpha$.