Страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

45. а) Докажите, что в выпуклом четырехугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин остальных его сторон.

б) Существует ли четырехугольник со сторонами, равными: 1) 5 см, 7 см, 8 см и 20 см; 2) 3 дм, 4 дм, 5 дм и 10 дм; 3) 6 м, 8 м, 20 м и 20 дм? Ответ объясните.

в) Существует ли пятиугольник, стороны которого пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3, 4, 5; 2) 3, 4, 7, 10, 24?

а)Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и $DA=d$. Требуется доказать, что любая сторона меньше суммы трех других. Докажем это для стороны $a$. Проведем в четырехугольнике диагональ $AC$. Она разбивает четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника: любая сторона меньше суммы двух других.
Применим неравенство треугольника к $\triangle ADC$:
$AC < AD + DC$ или $AC < d + c$.
Применим неравенство треугольника к $\triangle ABC$:
$AB < BC + AC$ или $a < b + AC$.
Теперь подставим первое неравенство во второе:
$a < b + (d + c)$, что равносильно $a < b + c + d$.
Аналогично, проводя диагональ $BD$, можно доказать это свойство для любой другой стороны четырехугольника. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

б)Для того чтобы многоугольник существовал, необходимо и достаточно, чтобы его наибольшая сторона была меньше суммы длин остальных сторон. Это является обобщенным неравенством многоугольника, которое следует из доказанного в пункте а). Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.
1) Стороны равны 5 см, 7 см, 8 см и 20 см.
Наибольшая сторона равна 20 см. Найдем сумму длин остальных сторон: $5 + 7 + 8 = 20$ см.
Проверяем неравенство: $20 < 20$. Это неравенство ложно, так как $20 = 20$. В этом случае четырехугольник вырождается в отрезок. Следовательно, невыпуклый четырехугольник с такими сторонами не существует.
2) Стороны равны 3 дм, 4 дм, 5 дм и 10 дм.
Наибольшая сторона равна 10 дм. Сумма длин остальных сторон: $3 + 4 + 5 = 12$ дм.
Проверяем неравенство: $10 < 12$. Неравенство истинно. Следовательно, четырехугольник с такими сторонами существует.
3) Стороны равны 6 м, 8 м, 20 м и 20 дм.
Для начала приведем все длины к одной единице измерения, например, к метрам. Зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, получаем $20 \text{ дм} = 2 \text{ м}$.
Таким образом, длины сторон равны 6 м, 8 м, 20 м и 2 м.
Наибольшая сторона равна 20 м. Сумма длин остальных сторон: $6 + 8 + 2 = 16$ м.
Проверяем неравенство: $20 < 16$. Это неравенство ложно. Следовательно, четырехугольник с такими сторонами не существует.
Ответ: 1) не существует; 2) существует; 3) не существует.

в)Как и в предыдущем пункте, используем обобщенное неравенство многоугольника. Если стороны многоугольника пропорциональны некоторым числам, то для проверки его существования достаточно проверить, будет ли наибольшее из этих чисел меньше суммы остальных.
1) Стороны пропорциональны числам 1, 2, 3, 4, 5.
Наибольшее число в наборе — 5. Сумма остальных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Проверяем неравенство: $5 < 10$. Неравенство истинно. Следовательно, пятиугольник, стороны которого пропорциональны этим числам, существует.
2) Стороны пропорциональны числам 3, 4, 7, 10, 24.
Наибольшее число в наборе — 24. Сумма остальных чисел: $3 + 4 + 7 + 10 = 24$.
Проверяем неравенство: $24 < 24$. Неравенство ложно, так как $24 = 24$. В этом случае пятиугольник будет вырожденным. Следовательно, невыпуклый пятиугольник с такими пропорциями сторон не существует.
Ответ: 1) существует; 2) не существует.

46. a) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый внешний угол которого равен: 1) $72^\circ$; 2) $60^\circ$; 3) $45^\circ$?

б) В каком многоугольнике сумма углов равна сумме его внешних углов?

а) Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360°$. Если у многоугольника $n$ сторон и все его внешние углы равны (то есть это правильный многоугольник), то количество сторон $n$ можно найти, разделив $360°$ на величину одного внешнего угла $\alpha$. Формула для вычисления: $n = \frac{360°}{\alpha}$.

1) Если каждый внешний угол равен $72°$, то количество сторон:

$n = \frac{360°}{72°} = 5$

2) Если каждый внешний угол равен $60°$, то количество сторон:

$n = \frac{360°}{60°} = 6$

3) Если каждый внешний угол равен $45°$, то количество сторон:

$n = \frac{360°}{45°} = 8$

Ответ: 1) 5 сторон; 2) 6 сторон; 3) 8 сторон.

б) Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле $S_{внутр} = (n-2) \cdot 180°$. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда составляет $S_{внешн} = 360°$.

По условию задачи, сумма внутренних углов равна сумме внешних. Составим и решим уравнение:

$S_{внутр} = S_{внешн}$

$(n-2) \cdot 180° = 360°$

Разделим обе части уравнения на $180°$:

$n-2 = \frac{360°}{180°}$

$n-2 = 2$

$n = 4$

Таким образом, многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна сумме его внешних углов, имеет 4 стороны.

Ответ: в четырехугольнике.

47. a) Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 23 см, а одна его сторона больше каждой из других соответственно на 2 см, 3 см, 4 см.

б) В четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, $\angle B = \angle D = 90^\circ$. Найдите $\angle C$ и длины сторон $CB$ и $CD$, если:

1) $\angle A = 60^\circ, AC = 16$ см;

2) $\angle BAC = 45^\circ, AB = 5$ см.

a)

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. Пусть $a$ — наибольшая сторона. Согласно условию задачи, она больше каждой из других сторон на 2 см, 3 см и 4 см соответственно. Выразим остальные стороны через $a$:
$b = a - 2$ см
$c = a - 3$ см
$d = a - 4$ см

Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c + d$. По условию, периметр равен 23 см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра и решим уравнение:

$a + (a - 2) + (a - 3) + (a - 4) = 23$

$4a - 9 = 23$

$4a = 32$

$a = \frac{32}{4} = 8$ см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

$b = 8 - 2 = 6$ см.

$c = 8 - 3 = 5$ см.

$d = 8 - 4 = 4$ см.

Проверка: $8 + 6 + 5 + 4 = 23$ см.

Ответ: стороны четырехугольника равны 4 см, 5 см, 6 см и 8 см.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию $\angle B = \angle D = 90^\circ$, значит, оба треугольника являются прямоугольными. Также по условию диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, то есть является его биссектрисой. Это означает, что $\angle BAC = \angle DAC$. Сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

1. $AC$ — общая гипотенуза.
2. $\angle BAC = \angle DAC$ — по условию.

Отсюда следует, что $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $CB = CD$ и $\angle BCA = \angle DCA$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Тогда $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Подставив известные значения, получим: $\angle A + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ$, откуда следует, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

1)

Дано: $\angle A = 60^\circ, AC = 16$ см.

Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем стороны $CB$ и $CD$. Так как $CB = CD$, достаточно найти одну из них. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$. Угол $\angle BAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Катет $CB$ лежит напротив угла в $30^\circ$, следовательно, он равен половине гипотенузы $AC$:
$CB = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Следовательно, $CD = CB = 8$ см.

Ответ: $\angle C = 120^\circ$, $CB = 8$ см, $CD = 8$ см.

2)

Дано: $\angle BAC = 45^\circ, AB = 5$ см.

Найдем угол $\angle A$. Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle A = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Найдем стороны $CB$ и $CD$. Как мы установили, $CB = CD$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, и его катеты равны: $CB = AB$. По условию $AB = 5$ см, значит $CB = 5$ см.

Следовательно, $CD = CB = 5$ см.

Ответ: $\angle C = 90^\circ$, $CB = 5$ см, $CD = 5$ см.

48. a) Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.

б) Можно ли простую замкнутую ломаную длиной 4 см поместить в круг радиуса 1 см?

а)

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $P$ внутри него. Нам необходимо найти такую точку $P$, для которой сумма расстояний до вершин четырехугольника $S = PA + PB + PC + PD$ будет наименьшей.

Перегруппируем слагаемые в сумме: $S = (PA + PC) + (PB + PD)$.

Рассмотрим сумму $PA + PC$. Точки $A$, $P$ и $C$ образуют треугольник $APC$ (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда не меньше длины третьей стороны: $PA + PC \ge AC$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке $AC$.

Аналогично, рассмотрим сумму $PB + PD$. Точки $B$, $P$ и $D$ образуют треугольник $BPD$. По неравенству треугольника: $PB + PD \ge BD$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке $BD$.

Сложив эти два неравенства, получим: $S = (PA + PC) + (PB + PD) \ge AC + BD$.

Наименьшее значение суммы $S$ равно сумме длин диагоналей $AC + BD$. Это значение достигается только в том случае, когда выполняются оба условия равенства одновременно, то есть когда точка $P$ принадлежит одновременно и отрезку $AC$, и отрезку $BD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в единственной точке. Эта точка и является искомой.

Ответ: искомая точка — это точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника.

б)

Да, можно. Рассмотрим в качестве примера такой простой замкнутой ломаной квадрат со стороной 1 см.

1. Это простая замкнутая ломаная, состоящая из четырех звеньев.

2. Длина этой ломаной (ее периметр) равна $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ см, что соответствует условию задачи.

3. Теперь проверим, можно ли этот квадрат поместить в круг радиуса 1 см. Круг радиуса 1 см имеет диаметр $2 \times 1 = 2$ см. Фигура помещается в круг, если ее наибольший размер не превышает диаметр круга.

Наибольший размер квадрата — это длина его диагонали. По теореме Пифагора найдем диагональ $d$ квадрата со стороной 1 см: $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Сравним длину диагонали квадрата с диаметром круга: $\sqrt{2} \approx 1.414$ см. Диаметр круга равен 2 см. Поскольку $\sqrt{2} < 2$, диагональ квадрата меньше диаметра круга. Следовательно, такой квадрат можно поместить в заданный круг.

Ответ: да, можно.

Постройте четырехугольник, в котором:

а) стороны попарно параллельны;

б) все стороны равны;

в) две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

а) стороны попарно параллельны

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Обозначим вершины четырехугольника как $A, B, C, D$. В этом случае сторона $AB$ должна быть параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$), а сторона $BC$ должна быть параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$).

Для построения такого четырехугольника можно выполнить следующие действия: 1. Начертить отрезок $AB$. 2. Выбрать точку $D$, не лежащую на прямой $AB$, и соединить точки $A$ и $D$. 3. Через точку $D$ провести прямую, параллельную отрезку $AB$. 4. Через точку $B$ провести прямую, параллельную отрезку $AD$. 5. Точка пересечения этих двух прямых будет четвертой вершиной $C$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Примерами таких фигур также являются прямоугольник, ромб и квадрат.

Ответ: Параллелограмм.

б) все стороны равны

Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Свойством ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Это свойство можно использовать для построения: 1. Начертить два перпендикулярных отрезка $AC$ и $BD$, которые пересекаются в своих серединах, точке $O$. То есть $AO = OC$, $BO = OD$ и угол $\angle AOB = 90^\circ$. 2. Последовательно соединить концы отрезков — точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ будет ромбом, так как все четыре прямоугольных треугольника ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$) равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы ($AB, BC, CD, DA$), являющиеся сторонами четырехугольника, равны между собой. Частным случаем ромба является квадрат (когда диагонали не только перпендикулярны, но и равны).

Ответ: Ромб.

в) две стороны параллельны, а две другие – не параллельны

Четырехугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна, а другая не параллельна, называется трапецией. Пусть в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Для построения трапеции: 1. Провести две параллельные прямые. 2. На одной прямой отметить две точки, например, $A$ и $D$. Это будет одно из оснований трапеции. 3. На второй прямой отметить две другие точки, $B$ и $C$. Это будет второе основание. 4. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$. Чтобы получилась именно трапеция, а не параллелограмм, боковые стороны $AB$ и $CD$ не должны быть параллельны. Это условие будет выполнено, если длины оснований $AD$ и $BC$ не равны. Полученная фигура $ABCD$ является трапецией.

Ответ: Трапеция.