Страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Перечислите известные вам свойства квадрата.

2. Сформулируйте и докажите признаки квадрата.

1. Перечислите известные вам свойства квадрата.

Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть это одновременно и прямоугольник, и ромб. Следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Основные свойства квадрата:

1. Все четыре стороны квадрата равны по длине.

2. Все четыре угла квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$.

3. Противоположные стороны квадрата параллельны.

4. Диагонали квадрата равны по длине.

5. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

6. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

7. Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть на углы по $45^\circ$.

8. Каждая диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

9. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ - длина стороны, или $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ - длина диагонали.

10. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ - длина стороны.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите признаки квадрата.

Признаки квадрата - это условия, при которых четырёхугольник является квадратом.

Признак 1: Если в прямоугольнике две смежные стороны равны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По определению прямоугольника, все его углы равны $90^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ $), а противоположные стороны равны ($ AB = CD $ и $ BC = AD $).

По условию, две смежные стороны равны, например $ AB = BC $.

Из равенства противоположных сторон $ AB = CD $ и $ BC = AD $, а также из условия $ AB = BC $, следует, что $ AB = BC = CD = AD $.

Таким образом, все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны и все углы равны $90^\circ$. По определению, $ABCD$ - квадрат.

Признак 2: Если в ромбе один из углов прямой, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны ($ AB = BC = CD = AD $).

По условию, один из углов ромба прямой, например $ \angle A = 90^\circ $.

Так как ромб является частным случаем параллелограмма, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $ \angle A + \angle B = 180^\circ $. Так как $ \angle A = 90^\circ $, то $ 90^\circ + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ $.

Также в параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, $ \angle C = \angle A = 90^\circ $ и $ \angle D = \angle B = 90^\circ $.

Таким образом, все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны и все углы равны $90^\circ$. По определению, $ABCD$ - квадрат.

Признак 3: Если в параллелограмме диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

Если диагонали параллелограмма равны ($ AC = BD $), то этот параллелограмм является прямоугольником. (Доказательство этого факта: рассмотрим треугольники $DAB$ и $CBA$. У них сторона $AB$ общая, $AD=BC$ как противоположные стороны параллелограмма, и $BD=AC$ по условию. Следовательно, $\triangle DAB \cong \triangle CBA$ по трем сторонам (SSS). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAB = \angle CBA$. Так как $AD \parallel BC$, сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$. Подставив $\angle DAB = \angle CBA$, получаем $2 \angle DAB = 180^\circ$, откуда $\angle DAB = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником).

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны ($ AC \perp BD $), то этот параллелограмм является ромбом. (Доказательство этого факта: пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AOB$. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. В $\triangle AOB$ и $\triangle COB$: $AO = OC$, сторона $BO$ общая, и $ \angle AOB = \angle COB = 90^\circ $ по условию перпендикулярности. Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними (SAS). Из равенства треугольников следует равенство сторон $AB = CB$. Поскольку в параллелограмме две смежные стороны равны, он является ромбом).

Поскольку параллелограмм $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (потому что его диагонали равны) и ромбом (потому что его диагонали взаимно перпендикулярны), то по определению он является квадратом.

Ответ:

82. Установите, какие из утверждений верны:

а) диагонали прямоугольника равны;

б) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником;

в) диагонали квадрата равны и перпендикулярны;

г) если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то он является квадратом.

а) диагонали прямоугольника равны

Это утверждение верно. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. Диагональ $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. По теореме Пифагора, ее квадрат равен $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$. Аналогично, диагональ $BD$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $BAD$, и ее квадрат равен $BD^2 = AD^2 + AB^2 = b^2 + a^2$. Так как правые части равны, то $AC^2 = BD^2$, а значит и $AC = BD$. Это одно из основных свойств прямоугольника.

Ответ: утверждение верно.

б) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником

Это утверждение неверно. В качестве контрпримера можно привести равнобокую трапецию. Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна, а две другие стороны (боковые) равны. У такой трапеции диагонали равны, но ее углы не являются прямыми (за исключением случая, когда трапеция является прямоугольником). Таким образом, наличие равных диагоналей не гарантирует, что четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: утверждение неверно.

в) диагонали квадрата равны и перпендикулярны

Это утверждение верно. Квадрат обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

1. Как частный случай прямоугольника, квадрат имеет равные диагонали (согласно пункту а).

2. Как частный случай ромба (четырехугольника с равными сторонами), квадрат имеет взаимно перпендикулярные диагонали. Это ключевое свойство любого ромба.

Следовательно, оба условия выполняются для любого квадрата.

Ответ: утверждение верно.

г) если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то он является квадратом

Это утверждение неверно. Для того чтобы четырехугольник был квадратом, помимо равенства и перпендикулярности диагоналей, необходимо также, чтобы они в точке пересечения делились пополам. Если это условие не выполнено, фигура не будет квадратом.Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом в точке $O$. Пусть $AC = BD = 8$ см. Но точка пересечения $O$ делит диагонали на неравные части: $AO = 2$ см, $OC = 6$ см, а диагональ $BD$ делится пополам: $BO = DO = 4$ см. В этом случае диагонали равны ($2+6=8$) и перпендикулярны. Найдем длины сторон по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ см.

$BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}$ см.

Поскольку $AB \neq BC$, стороны четырехугольника не равны, следовательно, он не является квадратом (и даже не является ромбом). Это пример четырехугольника (дельтоида), у которого диагонали равны и перпендикулярны, но он не квадрат.

Ответ: утверждение неверно.

83. a) В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Можно ли утверждать, что такой четырехугольник является квадратом?

б) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$. Из вершины его прямого угла $C$ проведена биссектриса $CD$ и перпендикуляры $DM$ и $DN$ к сторонам $AC$ и $BC$ соответственно. Установите вид четырехугольника $DMCN$.

а) Параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом. Докажем это. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них сторона $BO$ — общая, $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма), а углы $\angle AOB = \angle COB = 90^{\circ}$ (по условию). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство их сторон: $AB = BC$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то все стороны этого параллелограмма равны: $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Однако ромб не всегда является квадратом. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые. Условие перпендикулярности диагоналей не гарантирует, что углы самого параллелограмма равны $90^{\circ}$. Например, ромб с острым углом $60^{\circ}$ и тупым углом $120^{\circ}$ является параллелограммом с перпендикулярными диагоналями, но не является квадратом.

Таким образом, утверждать, что такой четырехугольник является квадратом, нельзя. Он обязательно будет ромбом, но может и не быть квадратом.

Ответ: Нет, нельзя. Такой четырехугольник является ромбом, но не обязательно квадратом.

б) Рассмотрим четырехугольник $DMCN$.

1. По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$, следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$. В четырехугольнике $DMCN$ этот угол является углом $\angle MCN$, то есть $\angle MCN = 90^{\circ}$.

2. По условию, $DM \perp AC$ и $DN \perp BC$. Это означает, что углы $\angle DMC$ и $\angle DNC$ являются прямыми: $\angle DMC = 90^{\circ}$ и $\angle DNC = 90^{\circ}$.

3. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^{\circ}$. В четырехугольнике $DMCN$ три угла нам известны, они прямые. Найдем четвертый угол: $\angle MDN = 360^{\circ} - \angle MCN - \angle DMC - \angle DNC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

4. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, $DMCN$ — прямоугольник.

5. Теперь выясним, является ли этот прямоугольник квадратом. Для этого нужно проверить, равны ли его смежные стороны. По условию, $CD$ — биссектриса прямого угла $C$. Значит, она делит его на два равных угла: $\angle MCD = \angle NCD = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDM$. В нем $\angle DMC = 90^{\circ}$ и $\angle MCD = 45^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle CDM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Так как два угла в треугольнике $CDM$ равны ($\angle MCD = \angle CDM = 45^{\circ}$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CM = DM$.

7. Мы доказали, что $DMCN$ — это прямоугольник, у которого две смежные стороны ($CM$ и $DM$) равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.

Ответ: Четырехугольник $DMCN$ является квадратом.