Страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции?
2. Докажите, что углы при основании неравнобедренной трапеции не равны.
3. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

1. Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции?

Дано:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Боковая сторона, например, $AB$.

Найти:
Сумму углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, то есть $\angle A + \angle B$.

Решение:
В трапеции основания $AD$ и $BC$ являются параллельными прямыми. Боковая сторона $AB$ является секущей, пересекающей эти параллельные прямые. Углы $\angle DAB$ (или просто $\angle A$) и $\angle ABC$ (или просто $\angle B$) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Аналогично, для другой боковой стороны $CD$, сумма углов $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

2. Докажите, что углы при основании неравнобедренной трапеции не равны.

Дано:
Неравнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.
По определению неравнобедренной трапеции, ее боковые стороны не равны: $AB \neq CD$.

Найти:
Доказать, что углы при основании не равны, то есть $\angle A \neq \angle D$ и $\angle B \neq \angle C$.

Решение:
Докажем методом от противного. Предположим, что в неравнобедренной трапеции $ABCD$ углы при одном из оснований равны, например, $\angle A = \angle D$.
1. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ соответственно к основанию $AD$. Поскольку $AD \parallel BC$, то $BH = CK$ (как расстояние между параллельными прямыми).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ (с прямым углом при $H$) и $\triangle DCK$ (с прямым углом при $K$).
3. У нас есть:

• Гипотенузы $AB$ и $CD$.
• Катеты $BH$ и $CK$, причем $BH = CK$.
• Углы $\angle A$ и $\angle D$.

4. Если бы $\angle A = \angle D$ (наше предположение), то по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (или по гипотенузе и острому углу, если использовать $AB$ и $CD$, но мы их не знаем равными пока), или по стороне и двум углам, $\triangle ABH$ был бы равен $\triangle DCK$.
5. Из равенства $\triangle ABH = \triangle DCK$ следовало бы, что $AB = CD$.
6. Однако, это противоречит определению неравнобедренной трапеции, для которой $AB \neq CD$.
7. Следовательно, наше предположение о том, что $\angle A = \angle D$, неверно. Значит, $\angle A \neq \angle D$.
Аналогично, можно доказать, что $\angle B \neq \angle C$. Мы знаем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
Если бы $\angle B = \angle C$, то из этих равенств следовало бы, что $180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D$, что влечет $\angle A = \angle D$. Но мы уже доказали, что $\angle A \neq \angle D$. Следовательно, $\angle B \neq \angle C$.

Ответ: Доказано, что в неравнобедренной трапеции углы при основании не равны, поскольку равенство углов при основании приводит к равенству боковых сторон, что противоречит определению неравнобедренной трапеции.

3. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

Дано:
Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.
Боковые стороны равны: $AB = CD$.

Найти:
Доказать, что диагонали равны: $AC = BD$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
1. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ равна стороне $DC$ в $\triangle DCA$, так как трапеция равнобедренная: $AB = DC$ (дано).
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle DAB = \angle CDA$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними ($AB$, $AD$, $\angle DAB$ для $\triangle ABD$ и $DC$, $DA$, $\angle CDA$ для $\triangle DCA$), которые соответственно равны.
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Диагональ $BD$ является стороной $\triangle ABD$, лежащей напротив угла $\angle DAB$. Диагональ $AC$ является стороной $\triangle DCA$, лежащей напротив угла $\angle CDA$.
Поскольку $\triangle ABD = \triangle DCA$, то их соответствующие стороны равны, следовательно, $BD = AC$.

Ответ: Доказано, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

90. a) Докажите, что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам.

б) Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон равнобедренной трапеции, параллелограмм.

а) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. В таком случае, у четырехугольника $ABCD$ должны быть попарно параллельны противоположные стороны, то есть не только $AD \parallel BC$ (по определению трапеции), но и $AB \parallel CD$. Однако четырехугольник с двумя парами параллельных сторон является параллелограммом, а не трапецией (в стандартном определении трапеция имеет только одну пару параллельных сторон). Таким образом, мы пришли к противоречию с условием, что $ABCD$ — трапеция. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и диагонали трапеции не делятся точкой пересечения пополам.
Другой способ доказательства использует подобные треугольники. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ равны как вертикальные. Углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Аналогично, $\angle BDA = \angle CBD$. Следовательно, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$. Так как в трапеции основания не равны ($AD \neq BC$), то коэффициент подобия $\frac{AD}{BC} \neq 1$. Это означает, что $\frac{AO}{CO} \neq 1$ и $\frac{DO}{BO} \neq 1$, откуда $AO \neq CO$ и $DO \neq BO$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Нужно доказать, что четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. По той же теореме о средней линии, $NM$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.
Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel NM$ (так как оба отрезка параллельны $AC$) и $KL = NM$ (так как оба отрезка равны $\frac{1}{2}AC$).
В четырехугольнике $KLMN$ противоположные стороны $KL$ и $NM$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ является параллелограммом.
Стоит отметить, что данное доказательство справедливо для любого четырехугольника. Особенность равнобедренной трапеции заключается в том, что ее диагонали равны ($AC = BD$). Так как $KN$ является средней линией треугольника $\triangle ABD$, то $KN = \frac{1}{2}BD$. Поскольку $AC=BD$, то $KL = KN$, а это означает, что у параллелограмма $KLMN$ смежные стороны равны, следовательно, он является ромбом.
Ответ: Что и требовалось доказать.

91. Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ перпендикулярна ее боковой стороне $CD$. Основание $BC$ равно боковой стороне $AB$, $\angle ADC = 55^\circ$. Найдите остальные углы этой трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По условию задачи диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, следовательно, угол $\angle ACD = 90^\circ$. Также дано, что основание $BC$ равно боковой стороне $AB$ ($BC = AB$) и угол $\angle ADC = 55^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle ADC = 55^\circ$. Найдем третий угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

2. Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $AD$ и $BC$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны, поэтому $\angle BCA = \angle CAD$.

$\angle BCA = \angle CAD = 35^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию $BC = AB$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$.

4. Теперь мы можем вычислить все неизвестные углы трапеции:

Угол $\angle DAB$ равен сумме углов $\angle CAD$ и $\angle BAC$:

$\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

Угол $\angle BCD$ равен сумме углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$:

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 35^\circ + 90^\circ = 125^\circ$.

Угол $\angle ABC$ найдем из суммы углов треугольника $\triangle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Четвертый угол $\angle ADC$ дан в условии и равен $55^\circ$.

Ответ: Остальные углы трапеции равны: $\angle DAB = 70^\circ$, $\angle ABC = 110^\circ$, $\angle BCD = 125^\circ$.

92. $DM$ и $CK$ – биссектрисы углов $D$ и $C$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Найдите угол между этими биссектрисами.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а боковая сторона является секущей. Для боковой стороны $CD$ это свойство записывается так:
$\angle{ADC} + \angle{BCD} = 180^\circ$.
По условию, $DM$ — биссектриса угла $D$ ($\angle{ADC}$), а $CK$ — биссектриса угла $C$ ($\angle{BCD}$). Пусть биссектрисы пересекаются в точке $P$.
По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Значит, мы можем записать:
$\angle{PDC} = \frac{1}{2} \angle{ADC}$
$\angle{PCD} = \frac{1}{2} \angle{BCD}$
Теперь рассмотрим треугольник $PCD$, образованный боковой стороной $CD$ и отрезками биссектрис $PC$ и $PD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $PCD$ справедливо равенство:
$\angle{CPD} + \angle{PDC} + \angle{PCD} = 180^\circ$
Подставим в это уравнение выражения для углов $\angle{PDC}$ и $\angle{PCD}$ через углы трапеции:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} \angle{ADC} + \frac{1}{2} \angle{BCD} = 180^\circ$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} (\angle{ADC} + \angle{BCD}) = 180^\circ$
Мы уже установили, что сумма углов $\angle{ADC} + \angle{BCD}$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 180^\circ$
$\angle{CPD} + 90^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим искомый угол между биссектрисами $\angle{CPD}$:
$\angle{CPD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Таким образом, угол между биссектрисами углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, всегда равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

93. Найдите углы равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD, если $\angle C - \angle A = 80^\circ$.

Дано: $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $AD$ — большее основание, $\angle C - \angle A = 80^\circ$.
Найти: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Поскольку $AD$ и $BC$ являются основаниями, они параллельны ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Следовательно, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Это значит, что углы при большем основании $AD$ равны между собой, и углы при меньшем основании $BC$ также равны между собой: $\angle A = \angle D$
$\angle B = \angle C$

Используя равенство $\angle B = \angle C$, мы можем записать сумму углов при боковой стороне $CD$ как $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, одно из свойств трапеции, а другое из условия задачи:

1. $\angle A + \angle C = 180^\circ$
2. $\angle C - \angle A = 80^\circ$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $\angle C$:
$(\angle A + \angle C) + (\angle C - \angle A) = 180^\circ + 80^\circ$
$2\angle C = 260^\circ$
$\angle C = \frac{260^\circ}{2}$
$\angle C = 130^\circ$

Теперь подставим значение $\angle C$ в первое уравнение, чтобы найти $\angle A$:
$\angle A + 130^\circ = 180^\circ$
$\angle A = 180^\circ - 130^\circ$
$\angle A = 50^\circ$

Зная углы $\angle A$ и $\angle C$, и используя свойство равнобедренной трапеции об углах при основаниях, находим остальные углы:
$\angle D = \angle A = 50^\circ$
$\angle B = \angle C = 130^\circ$

Ответ: $\angle A = 50^\circ, \angle B = 130^\circ, \angle C = 130^\circ, \angle D = 50^\circ$.

94. Периметр трапеции равен 40 см, меньшее основание – 10 см. Через конец меньшего основания проведена прямая, параллельная боковой стороне трапеции. Найдите периметр полученного треугольника.

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 10$ см, а периметр трапеции $P_{ABCD} = 40$ см.

Периметр трапеции – это сумма длин всех ее сторон:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 40$ см.

Проведем через конец меньшего основания, например, через вершину $C$, прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. В результате этого построения мы получаем треугольник $CED$ и четырехугольник $ABCE$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По построению, сторона $CE$ параллельна стороне $AB$. Так как $BC$ и $AD$ – основания трапеции, то $BC$ параллельна $AE$ (поскольку $E$ лежит на $AD$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCE$ – параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны:$AB = CE$$AE = BC = 10$ см.

Найдем периметр полученного треугольника $CED$. Периметр треугольника $P_{CED}$ равен сумме длин его сторон:$P_{CED} = CE + ED + CD$.

Теперь вернемся к периметру трапеции. Запишем длину большего основания $AD$ как сумму длин отрезков $AE$ и $ED$: $AD = AE + ED$.Подставим это выражение в формулу периметра трапеции:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + (AE + ED) = 40$ см.

Используем найденные равенства: $AB = CE$ и $AE = BC = 10$ см. Подставим их в формулу периметра:$CE + 10 + CD + 10 + ED = 40$ см.

Сгруппируем слагаемые:$(CE + ED + CD) + 20 = 40$ см.

Выражение в скобках является периметром треугольника $CED$. Таким образом:$P_{CED} + 20 = 40$ см.

Отсюда находим периметр треугольника:$P_{CED} = 40 - 20 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

95. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ перпендикуляр $BH$ делит основание $AD$ на отрезки 3,5 см и 8,5 см. Найдите основания этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. По условию, точка $H$ лежит на $AD$ и делит его на два отрезка, длины которых равны 3,5 см и 8,5 см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин этих двух отрезков. Обозначим их как $AH$ и $HD$. Тогда:$AD = AH + HD = 3,5 + 8,5 = 12$ см.

Теперь найдем длину меньшего основания $BC$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают на большем основании равные отрезки. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В этом случае треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, так как $AB=CD$ и $BH=CK$). Следовательно, отрезки $AH$ и $KD$ равны: $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Значит, $BC = HK$.

Отрезок $AH$ является одним из отрезков, на которые высота делит основание $AD$. Он равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Другой отрезок, $HD$, можно представить как $HD = HK + KD = BC + AH$. Он равен полусумме оснований:$HD = \frac{AD + BC}{2}$

Поскольку $AD > BC$, то $\frac{AD-BC}{2} < \frac{AD+BC}{2}$, следовательно, $AH$ — это меньший из двух отрезков, а $HD$ — больший.Таким образом, $AH = 3,5$ см, а $HD = 8,5$ см.

Используем любую из формул для нахождения $BC$. Возьмем формулу для $AH$:$AH = \frac{AD - BC}{2}$$3,5 = \frac{12 - BC}{2}$$7 = 12 - BC$$BC = 12 - 7 = 5$ см.

Проверим результат с помощью второй формулы для $HD$:$HD = \frac{AD + BC}{2}$$8,5 = \frac{12 + BC}{2}$$17 = 12 + BC$$BC = 17 - 12 = 5$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: основания трапеции равны 5 см и 12 см.

96. В равнобедренной трапеции большее основание 7,5 см, боковая сторона 2 см, а ее острый угол $60^{\circ}$. Найдите периметр этой трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ – большее основание, $BC$ – меньшее основание, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны.

По условию задачи известны:
- большее основание $AD = 7,5$ см;
- боковая сторона $AB = CD = 2$ см;
- острый угол при большем основании $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ – это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Для вычисления периметра нам необходимо найти длину меньшего основания $BC$.

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. В результате образуется прямоугольник $HBCK$ и два равных прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем:

• гипотенуза $AB$ равна боковой стороне трапеции, то есть $AB = 2$ см;
• угол $\angle A = 60^\circ$.

Катет $AH$ является проекцией боковой стороны $AB$ на основание $AD$. Его длину можно найти с помощью косинуса угла $A$:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$AH = 2 \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то отрезок $KD$, отсекаемый второй высотой, равен отрезку $AH$:

$KD = AH = 1$ см.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Поскольку четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, его сторона $HK$ равна стороне $BC$. Таким образом, мы можем записать:

$AD = AH + BC + KD$

Подставим известные значения и найдем длину меньшего основания $BC$:

$7,5 = 1 + BC + 1$

$7,5 = 2 + BC$

$BC = 7,5 - 2 = 5,5$ см.

Теперь, зная длины всех сторон, можем вычислить периметр трапеции:

$P = AD + BC + AB + CD$

$P = 7,5 + 5,5 + 2 + 2 = 17$ см.

Ответ: 17 см.