Страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

99.Постройте с помощью циркуля и линейки параллелограмм:

а) по двум соседним сторонам и углу между ними;

б) по данным диагоналям и углу между ними.

а) по двум соседним сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка, представляющие собой соседние стороны параллелограмма, назовем их длины $a$ и $b$, и угол $\alpha$ между ними.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим произвольный луч с началом в точке A.
2. От этого луча откладываем угол, равный данному углу $\alpha$. Пусть второй стороной этого угла будет другой луч, исходящий из точки A. Таким образом, мы построили угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке A.
3. На одном из построенных лучей от точки A откладываем с помощью циркуля отрезок AD, равный по длине стороне $b$.
4. На втором луче от точки A откладываем с помощью циркуля отрезок AB, равный по длине стороне $a$.
5. Теперь необходимо найти четвертую вершину C. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, то есть $DC = AB = a$ и $BC = AD = b$.
6. Строим окружность с центром в точке D и радиусом, равным $a$.
7. Строим окружность с центром в точке B и радиусом, равным $b$.
8. Точка пересечения этих двух окружностей (та, что лежит в той же полуплоскости относительно прямой BD, что и точка А, не является искомой) будет четвертой вершиной параллелограмма C.
9. С помощью линейки соединяем точки B и C, а также D и C.

В результате построен четырехугольник ABCD. По построению, его стороны $AB$ и $AD$ равны данным отрезкам $a$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle DAB$ равен данному углу $\alpha$. Также, по построению, $DC = a$ и $BC = b$. Поскольку в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны ($AB = DC$ и $AD = BC$), он является параллелограммом. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым параллелограммом.

б) по данным диагоналям и углу между ними

Пусть даны два отрезка, представляющие собой диагонали параллелограмма, назовем их длины $d_1$ и $d_2$, и угол $\gamma$ между ними. Используем свойство параллелограмма: его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Сначала необходимо найти половины длин данных диагоналей. Для этого делим каждый из отрезков $d_1$ и $d_2$ пополам с помощью циркуля и линейки. (Для этого для каждого отрезка из его концов проводим две дуги окружности радиусом, большим половины длины отрезка. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, пересечет отрезок ровно посередине). В результате получаем отрезки длиной $d_1/2$ и $d_2/2$.
2. С помощью линейки строим произвольную прямую и выбираем на ней произвольную точку O — это будет точка пересечения диагоналей.
3. Строим вторую прямую, проходящую через точку O под углом $\gamma$ к первой прямой.
4. На первой прямой от точки O в обе стороны откладываем с помощью циркуля отрезки длиной $d_1/2$. Получаем вершины A и C. Таким образом, мы построили диагональ $AC = d_1$, и она делится точкой O пополам ($AO = OC$).
5. Аналогично, на второй прямой от точки O в обе стороны откладываем отрезки длиной $d_2/2$. Получаем вершины B и D. Таким образом, мы построили диагональ $BD = d_2$, и она делится точкой O пополам ($BO = OD$).
6. С помощью линейки последовательно соединяем точки A, B, C и D.

В результате построен четырехугольник ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и по построению, $AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$. Так как диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам, он является параллелограммом. Длины его диагоналей равны $d_1$ и $d_2$, а угол между ними равен $\gamma$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым параллелограммом.

100.Постройте с помощью циркуля и линейки:

а) квадрат по его диагонали;

б) ромб по его диагонали и углу между стороной и второй диагональю.

а) Пусть дан отрезок $d$, равный диагонали квадрата. Построение будет следующим:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ проведем две дуги окружности с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AC$. Эти дуги пересекутся в двух точках, назовем их $P$ и $Q$.

3. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AC$ и пересекает $AC$ в его середине, точке $O$.

4. Диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, вторая диагональ $BD$ будет лежать на прямой $PQ$, а ее половина будет равна половине диагонали $AC$, то есть отрезку $OA$ (или $OC$).

5. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$. Отложим это расстояние на прямой $PQ$ от точки $O$ в обе стороны. Получим точки $B$ и $D$. Таким образом, $OB = OD = OA = OC$.

6. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$ отрезками. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Построение описано в пунктах 1-6.

б) Пусть дана диагональ $d_1$ и угол $\alpha$ между стороной и второй диагональю. Пусть искомый ромб — $ABCD$, данная диагональ — $AC = d_1$, а угол между стороной $AB$ и второй диагональю $BD$ — $\angle{ABO} = \alpha$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

Анализ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $\angle{AOB} = 90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle{AOB}$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$, следовательно, $\angle{OAB} = 90^{\circ} - \angle{ABO} = 90^{\circ} - \alpha$. Построение будет основано на построении треугольника $\triangle{AOB}$ по катету $AO$ (равному половине данной диагонали) и прилежащему острому углу $\angle{OAB}$.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d_1$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Обозначим точку пересечения (середину $AC$) как $O$, а сам перпендикуляр — прямой $m$. На этой прямой будет лежать вторая диагональ $BD$.

3. Построим угол, равный $90^{\circ} - \alpha$. Для этого построим прямой угол (например, с вершиной в точке $K$) и от одной из его сторон отложим данный угол $\alpha$. Оставшаяся часть прямого угла и будет искомым углом $90^{\circ} - \alpha$.

4. От луча $AO$ в любую полуплоскость относительно прямой $AC$ отложим построенный угол, равный $90^{\circ} - \alpha$. Проведем луч из точки $A$ под этим углом к отрезку $AC$.

5. Точка пересечения этого луча с прямой $m$ будет вершиной ромба $B$.

6. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ($BO = OD$), отложим на прямой $m$ от точки $O$ в другую сторону отрезок $OD$, равный отрезку $OB$.

7. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб. По построению, его диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, что является признаком ромба. Угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен $\alpha$, так как в $\triangle{AOB}$ имеем $\angle{AOB} = 90^{\circ}$ и $\angle{OAB} = 90^{\circ} - \alpha$, следовательно $\angle{ABO} = \alpha$.

Ответ: Построение описано в пунктах 1-7.

101. Постройте квадрат, если дан отрезок, равный сумме диагонали с его стороной.

Анализ

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи нам дан отрезок $S$, длина которого равна сумме длины диагонали и стороны квадрата: $S = d + a$.

В любом квадрате диагональ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Подставив это в формулу для $S$, получим: $S = a\sqrt{2} + a = a(\sqrt{2} + 1)$.

Для нахождения геометрического способа построения рассмотрим искомый квадрат, который мы обозначим $ABCD$. Проведём его диагональ $AC$. Её длина равна $d$. На продолжении этой диагонали за точку $C$ отложим отрезок $CE$, длина которого равна стороне квадрата $a$. Тогда длина всего отрезка $AE$ будет равна $AC + CE = d + a = S$. Таким образом, мы получили отрезок $AE$, равный данному отрезку $S$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Угол $\angle BAE$ совпадает с углом $\angle BAC$, который является углом между стороной и диагональю квадрата и равен $45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Так как $BC$ — сторона квадрата, а отрезок $CE$ мы отложили равным стороне квадрата, то $BC = CE = a$. Следовательно, треугольник $BCE$ является равнобедренным. Угол $\angle BCA$ также равен $45^\circ$. Поскольку точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, угол $\angle BCE$ является смежным с углом $\angle BCA$, и его величина равна $180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Так как треугольник $BCE$ равнобедренный, его углы при основании $BE$ равны: $\angle CBE = \angle CEB = (180^\circ - 135^\circ) / 2 = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABE$, зная его сторону $AE = S$ и два прилежащих к ней угла: $\angle BAE = 45^\circ$ и $\angle AEB = 22.5^\circ$. Построив этот треугольник, мы найдем вершину $B$ и сторону искомого квадрата $AB$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AE$, равный данному в условии отрезку $S$.
2. В точке $A$ строим луч $AK$ так, чтобы угол $\angle EAK$ был равен $45^\circ$. Для этого в точке $A$ восставляем перпендикуляр к прямой $AE$ и строим биссектрису полученного прямого угла.
3. В точке $E$ строим луч $EL$ (в той же полуплоскости относительно прямой $AE$, что и луч $AK$) так, чтобы угол $\angle AEL$ был равен $22.5^\circ$. Для этого в точке $E$ восставляем перпендикуляр к прямой $AE$, строим его биссектрису (получая угол $45^\circ$), а затем строим биссектрису этого угла в $45^\circ$.
4. Лучи $AK$ и $EL$ пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$. Отрезок $AB$ является стороной искомого квадрата.
5. Строим квадрат $ABCD$ на стороне $AB$. Для этого проводим через точки $A$ и $B$ прямые, перпендикулярные отрезку $AB$. На этих прямых откладываем отрезки $AD = AB$ и $BC = AB$ в одной и той же полуплоскости относительно прямой $AB$. Соединяем точки $C$ и $D$. Фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство

По нашему построению мы получили треугольник $ABE$, в котором сторона $AE = S$, $\angle BAE = 45^\circ$ и $\angle AEB = 22.5^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle ABE = 180^\circ - (45^\circ + 22.5^\circ) = 112.5^\circ$.

Пусть сторона построенного квадрата $ABCD$ равна $a'$, то есть $a' = AB$. Его диагональ $d' = a'\sqrt{2}$.

По теореме синусов для треугольника $ABE$ имеем:

$\frac{AB}{\sin(\angle AEB)} = \frac{AE}{\sin(\angle ABE)}$

$a' = \frac{S \cdot \sin(22.5^\circ)}{\sin(112.5^\circ)}$

Поскольку $\sin(112.5^\circ) = \sin(180^\circ - 112.5^\circ) = \sin(67.5^\circ) = \cos(22.5^\circ)$, то:

$a' = S \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\cos(22.5^\circ)} = S \cdot \tan(22.5^\circ)$

Значение тангенса половинного угла можно найти по формуле $\tan(\alpha/2) = \frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Для $\alpha=45^\circ$ получаем:

$\tan(22.5^\circ) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$

Тогда $a' = S(\sqrt{2}-1)$.

Теперь найдем сумму стороны и диагонали построенного квадрата:

$a' + d' = a' + a'\sqrt{2} = a'(1+\sqrt{2}) = S(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = S(\sqrt{2}^2 - 1^2) = S(2-1) = S$.

Сумма стороны и диагонали построенного квадрата равна длине исходного отрезка $S$. Таким образом, построенный квадрат является искомым.

Исследование

Задача на построение треугольника $ABE$ по стороне $AE$ и двум прилежащим углам $\angle A = 45^\circ$ и $\angle E = 22.5^\circ$ имеет решение тогда и только тогда, когда сумма этих углов меньше $180^\circ$. В нашем случае $45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ < 180^\circ$, поэтому лучи $AK$ и $EL$ всегда пересекаются, причем в единственной точке. Следовательно, для любого заданного отрезка $S > 0$ задача имеет единственное решение.

Ответ: Алгоритм построения искомого квадрата подробно изложен в пункте «Построение». Метод основан на построении вспомогательного треугольника $ABE$, где сторона $AE$ равна данному отрезку $S$, а прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $22.5^\circ$. Сторона $AB$ этого треугольника является стороной искомого квадрата.

102. a) Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольную трапецию, если даны ее большее основание и боковые стороны.

б) Используя признаки параллелограмма, постройте: 1) отрезок, параллельный данной прямой; 2) параллелограмм, если даны три точки, являющиеся его вершинами.

а)

Пусть даны длины: $a$ — большее основание, $h$ — перпендикулярная боковая сторона, и $c$ — наклонная боковая сторона. Для того чтобы построение было возможно, необходимо, чтобы наклонная боковая сторона была не короче перпендикулярной, то есть $c \ge h$.

Порядок построения:

1. Начертим произвольную прямую и с помощью циркуля отложим на ней отрезок $AD$, равный длине $a$. Это будет большее основание трапеции.

2. В точке $A$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AD$. На этой перпендикулярной прямой отложим отрезок $AB$, равный длине $h$. Это будет перпендикулярная боковая сторона.

3. Через точку $B$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $AD$. Это можно сделать, построив в точке $B$ перпендикуляр к отрезку $AB$. На этой прямой $l$ будет лежать меньшее основание трапеции.

4. С центром в точке $D$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине $c$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ будет четвертой вершиной трапеции — точкой $C$.

5. Соединим отрезками точки $B$ и $C$, а также $C$ и $D$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, так как обе прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны отрезку $AB$. Угол $\angle A = 90^\circ$, поэтому трапеция является прямоугольной. Длины сторон $AD$, $AB$ и $CD$ равны заданным длинам $a$, $h$ и $c$ соответственно по построению. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является искомой прямоугольной трапецией.

Ответ: Построение искомой трапеции выполнено, алгоритм описан выше.

б)

1) отрезок, параллельный данной прямой;

Для построения отрезка, параллельного данной прямой и проходящего через данную точку, не лежащую на этой прямой, воспользуемся свойством параллелограмма, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Порядок построения:

1. Пусть дана прямая $m$ и точка $P$ вне ее.

2. Выберем на прямой $m$ две произвольные точки $A$ и $B$.

3. Построим четвертую точку $Q$ таким образом, чтобы четырехугольник $ABQP$ являлся параллелограммом. Для этого измерим циркулем расстояние $AB$ и проведем дугу окружности с центром в точке $P$ и радиусом $AB$. Затем измерим расстояние $AP$ и проведем дугу с центром в точке $B$ и радиусом $AP$. Точка пересечения этих дуг и будет искомой точкой $Q$.

4. Соединим точки $P$ и $Q$. В построенном четырехугольнике $ABQP$ противоположные стороны $AB$ и $PQ$ равны, а также $AP$ и $BQ$ равны по построению. Следовательно, $ABQP$ — параллелограмм. А значит, его сторона $PQ$ параллельна стороне $AB$, которая лежит на данной прямой $m$.

Ответ: Отрезок $PQ$ построен, он параллелен данной прямой $m$.

2) параллелограмм, если даны три точки, являющиеся его вершинами.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. В зависимости от того, какие из вершин считать смежными, можно построить три различных параллелограмма. Построим один из возможных вариантов — параллелограмм $ABCD$, в котором $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами.

Порядок построения:

1. Соединим отрезками точки $A$ и $B$, а также $B$ и $C$.

2. Для нахождения четвертой вершины $D$ воспользуемся свойством параллелограмма о равенстве противоположных сторон. В параллелограмме $ABCD$ должно выполняться $AD = BC$ и $CD = AB$.

3. Измерим циркулем длину отрезка $BC$ и проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

4. Измерим циркулем длину отрезка $AB$ и проведем дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

5. Точка пересечения этих двух дуг является искомой четвертой вершиной $D$.

6. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно равны по построению.

Ответ: Параллелограмм $ABCD$ построен по трем данным вершинам $A, B, C$.