Страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

105.

a) Отрезок $AB$, равный 98 см, разделен на три отрезка, пропорциональных числам: 1) 2; 4; 8; 2) 3; 4; 5. Найдите длину каждого отрезка.

б) На отрезке $AC = d$ отмечена точка $B$ такая, что $AB : BC = x : y$. Выразите длины отрезков $AB$ и $BC$ через $d, x$ и $y$.

в) Отрезок $AN$ - биссектриса $\triangle ABC$ со сторонами $AB = 12$ см, $BC = 22$ см, $AC = 21$ см. Найдите $BN$ и $NC$.

а)

Задача состоит в том, чтобы разделить отрезок длиной 98 см на три части, длины которых пропорциональны заданным числам. Для этого введем коэффициент пропорциональности $k$. Сумма длин всех частей должна быть равна 98 см.

1) Длины отрезков пропорциональны числам 2; 4; 8.
Пусть длины отрезков равны $2k$, $4k$ и $8k$.
Составим уравнение, исходя из общей длины отрезка:
$2k + 4k + 8k = 98$
$14k = 98$
$k = 98 / 14$
$k = 7$
Теперь найдем длины каждого отрезка:
Первый отрезок: $2k = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Второй отрезок: $4k = 4 \cdot 7 = 28$ см.
Третий отрезок: $8k = 8 \cdot 7 = 56$ см.

2) Длины отрезков пропорциональны числам 3; 4; 5.
Пусть длины отрезков равны $3k$, $4k$ и $5k$.
Составим уравнение:
$3k + 4k + 5k = 98$
$12k = 98$
$k = 98 / 12 = 49 / 6$
Теперь найдем длины каждого отрезка:
Первый отрезок: $3k = 3 \cdot (49/6) = 49/2 = 24.5$ см.
Второй отрезок: $4k = 4 \cdot (49/6) = 2 \cdot 49 / 3 = 98/3$ см.
Третий отрезок: $5k = 5 \cdot (49/6) = 245/6$ см.

Ответ: 1) 14 см, 28 см, 56 см; 2) 24,5 см, $98/3$ см, $245/6$ см.

б)

Дано, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$, поэтому длина всего отрезка $AC$ равна сумме длин его частей $AB$ и $BC$.
$AB + BC = AC = d$
Также дано отношение длин отрезков $AB : BC = x : y$.
Это означает, что мы можем выразить длины отрезков через коэффициент пропорциональности $k$:
$AB = kx$
$BC = ky$
Подставим эти выражения в первое уравнение:
$kx + ky = d$
Вынесем $k$ за скобки:
$k(x + y) = d$
Отсюда найдем коэффициент пропорциональности $k$:
$k = \frac{d}{x+y}$
Теперь выразим длины отрезков $AB$ и $BC$ через $d$, $x$ и $y$, подставив найденное значение $k$:
$AB = kx = \frac{d}{x+y} \cdot x = \frac{dx}{x+y}$
$BC = ky = \frac{d}{x+y} \cdot y = \frac{dy}{x+y}$

Ответ: $AB = \frac{dx}{x+y}$, $BC = \frac{dy}{x+y}$.

в)

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В треугольнике $\triangle ABC$ биссектриса $AN$ делит сторону $BC$ на отрезки $BN$ и $NC$. Согласно свойству биссектрисы:
$\frac{BN}{NC} = \frac{AB}{AC}$
Нам даны длины сторон: $AB = 12$ см, $AC = 21$ см, $BC = 22$ см.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{BN}{NC} = \frac{12}{21}$
Сократим дробь: $\frac{12}{21} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{4}{7}$.
Таким образом, $BN : NC = 4 : 7$.
Пусть $BN = 4k$ и $NC = 7k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Мы знаем, что точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BN + NC = BC$.
$4k + 7k = 22$
$11k = 22$
$k = 2$
Теперь найдем длины отрезков $BN$ и $NC$:
$BN = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.
$NC = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: $BN = 8$ см, $NC = 14$ см.

106.

a) В параллелограмме $ABCD$ отмечены середины $E$ и $F$ его сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Проведены отрезки $BE$ и $DF$. Докажите, что эти отрезки делят диагональ $AC$ на три равные части.

б) В параллелограмме $ABCD$ $AC = 15 \text{ см}$. Середина $M$ стороны $AB$ соединена отрезком с вершиной $D$. Найдите отрезки, на которые $DM$ делит диагональ $AC$.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Отрезки $BE$ и $DF$ пересекают диагональ $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что $AP = PQ = QC$.

Рассмотрим четырехугольник $EBFD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.Поскольку $E$ — середина $AD$, то $ED = \frac{1}{2}AD$.Поскольку $F$ — середина $BC$, то $BF = \frac{1}{2}BC$.Так как $AD = BC$, следует, что $ED = BF$.Так как $E$ лежит на $AD$ и $F$ на $BC$, а $AD \parallel BC$, то $ED \parallel BF$.Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $EBFD$ — параллелограмм.Из этого следует, что $BE \parallel DF$.

Теперь рассмотрим $\triangle ADQ$. В нем $E$ — середина стороны $AD$. Через точку $E$ проведена прямая $EP$ (часть прямой $BE$), которая параллельна стороне $DQ$ (часть прямой $DF$). По теореме Фалеса, если параллельная прямой стороне треугольника прямая отсекает на одной его стороне отрезок, равный ее половине, то и на другой стороне она отсекает отрезок, равный ее половине. В данном случае, прямая $EP$ пересекает сторону $AQ$ в ее середине, точке $P$. Таким образом, $AP = PQ$.

Аналогично рассмотрим $\triangle CBP$. В нем $F$ — середина стороны $BC$. Через точку $F$ проведена прямая $FQ$ (часть прямой $DF$), которая параллельна стороне $BP$ (часть прямой $BE$). По теореме Фалеса, прямая $FQ$ пересекает сторону $CP$ в ее середине, точке $Q$. Таким образом, $PQ = QC$.

Сопоставляя полученные равенства, имеем $AP = PQ = QC$. Следовательно, отрезки $BE$ и $DF$ делят диагональ $AC$ на три равные части, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

б) Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC = 15$ см. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Найдем длины отрезков $AK$ и $KC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle CKD$.Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.1. Угол $\angle KАМ$ (он же $\angle CAB$) и угол $\angle KCD$ (он же $\angle ACD$) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$.2. Угол $\angle AMK$ и угол $\angle CDK$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $DM$.Следовательно, треугольник $\triangle AKM$ подобен треугольнику $\triangle CKD$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$\frac{AK}{CK} = \frac{AM}{CD}$По условию, $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$.В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$.Подставим это в выражение для $AM$: $AM = \frac{1}{2}CD$.Теперь подставим это в пропорцию:$\frac{AK}{CK} = \frac{\frac{1}{2}CD}{CD} = \frac{1}{2}$Из этой пропорции получаем, что $CK = 2 \cdot AK$.

Мы знаем, что $AC = AK + CK$. Подставив сюда выражение для $CK$, получим:$AC = AK + 2 \cdot AK = 3 \cdot AK$По условию $AC = 15$ см, значит:$15 = 3 \cdot AK$Отсюда находим $AK$:$AK = \frac{15}{3} = 5$ см.Теперь находим $CK$:$CK = 2 \cdot AK = 2 \cdot 5 = 10$ см.Таким образом, отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки длиной 5 см и 10 см.

Ответ: 5 см и 10 см.

107. a) Через середину $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ проведена прямая $MN$, параллельная $BA$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $N$. На ней отложен отрезок $NK = MN$. Докажите, что $ABMK$ – параллелограмм.

б) На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MC = 4 : 5$. Построен отрезок $MN || AB$, $N \in BC$. Найдите длину отрезка $NB$, если $CB = 4,5$ см.

a) Через середину $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ проведена прямая $MN$, параллельная $BA$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $N$. На ней отложен отрезок $NK = MN$. Докажите, что $ABMK$ – параллелограмм.

Решение

По условию, $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Прямая $MN$ проведена параллельно $BA$ и пересекает $AC$ в точке $N$.

Согласно теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Таким образом, $N$ является серединой стороны $AC$.

По свойству средней линии треугольника, длина отрезка $MN$ равна половине длины стороны $BA$, то есть $MN = \frac{1}{2} BA$.

По условию, на прямой $MN$ отложен отрезок $NK = MN$. Точка $N$ лежит между точками $M$ и $K$.

Следовательно, длина отрезка $MK$ равна сумме длин отрезков $MN$ и $NK$: $MK = MN + NK = MN + MN = 2MN$.

Подставим ранее найденное значение $MN = \frac{1}{2} BA$: $MK = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} BA\right) = BA$. Таким образом, мы получили, что $MK = BA$.

Рассмотрим четырехугольник $ABMK$. В этом четырехугольнике:

1. Стороны $MK$ и $BA$ параллельны по условию ($MN \parallel BA$, а точка $K$ лежит на прямой, содержащей отрезок $MN$).

2. Стороны $MK$ и $BA$ равны по длине, что было доказано выше ($MK = BA$).

По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны по длине, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABMK$ – параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $ABMK$ – параллелограмм.

б) На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MC = 4 : 5$. Построен отрезок $MN \parallel AB$, $N \in BC$. Найдите длину отрезка $NB$, если $CB = 4,5$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ на стороне $AC$.

Отношение $AM : MC = 4 : 5$.

Отрезок $MN \parallel AB$, при этом точка $N$ лежит на стороне $BC$.

Длина стороны $CB = 4,5$ см.

Перевод в систему СИ: $CB = 4,5$ см $= 0,045$ м.

Найти:

Длину отрезка $NB$.

Решение

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$ ($MN \parallel AB$).

Из того, что $MN \parallel AB$, следует, что треугольник $CMN$ подобен треугольнику $CAB$ по двум углам:

1. Угол $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle CMN$ и $\triangle CAB$).

2. Углы $\angle CMN$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников $\triangle CMN \sim \triangle CAB$ следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$.

Нам дано отношение длин отрезков $AM$ и $MC$: $AM : MC = 4 : 5$. Пусть $AM = 4x$ и $MC = 5x$ для некоторой положительной константы $x$.

Тогда длина всей стороны $AC$ равна $AC = AM + MC = 4x + 5x = 9x$.

Найдем отношение стороны $CM$ к стороне $CA$: $\frac{CM}{CA} = \frac{5x}{9x} = \frac{5}{9}$.

Используем это отношение в пропорции, следующей из подобия треугольников: $\frac{CN}{CB} = \frac{CM}{CA} = \frac{5}{9}$.

Подставим известное значение $CB = 4,5$ см: $\frac{CN}{4,5 \text{ см}} = \frac{5}{9}$.

Вычислим длину отрезка $CN$: $CN = \frac{5}{9} \cdot 4,5 \text{ см} = \frac{5 \cdot 45}{9 \cdot 10} \text{ см} = \frac{5 \cdot 5}{10} \text{ см} = \frac{25}{10} \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

Теперь, чтобы найти длину отрезка $NB$, мы вычтем длину $CN$ из общей длины $CB$: $NB = CB - CN$.

$NB = 4,5 \text{ см} - 2,5 \text{ см} = 2,0 \text{ см}$.

Ответ: $NB = 2,0$ см.

108. а) Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей равнобедренной трапеции, образует с равными сторонами равные углы.

б) Даны три отрезка: a, b, c. Постройте четвертый пропорциональный отрезок x такой, что: 1) $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$; 2) $\frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c}$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей равнобедренной трапеции, образует с равными сторонами равные углы.

Доказательство:

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ и равными боковыми сторонами $AD = BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что прямая $MN$ образует равные углы с боковыми сторонами $AD$ и $BC$.

1. Введем вспомогательные точки: пусть $K$ — середина стороны $AD$, а $L$ — середина стороны $BC$. Отрезок $KL$ является средней линией (медианой) трапеции $ABCD$. По свойству средней линии трапеции, $KL \parallel AB$ и $KL \parallel CD$.

2. Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $K$ — середина $AD$, а $N$ — середина $BD$, то отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ADB$. Следовательно, $KN \parallel AB$ и $KN = \frac{1}{2}AB$.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AC$, а $L$ — середина $BC$, то отрезок $ML$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $ML \parallel AB$ и $ML = \frac{1}{2}AB$.

4. Поскольку $KN \parallel AB$ и $ML \parallel AB$, а также точки $K$ и $L$ лежат на средней линии трапеции $KL$, то точки $K$, $N$, $M$, $L$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямая, проходящая через середины диагоналей $M$ и $N$, совпадает с прямой, содержащей среднюю линию трапеции $KL$.

5. Теперь докажем, что прямая $KL$ образует равные углы с боковыми сторонами $AD$ и $BC$. Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция, углы при одном основании равны, то есть $\angle DAB = \angle CBA$.

6. Так как прямая $KL \parallel AB$, то при пересечении параллельных прямых $KL$ и $AB$ секущей $AD$ сумма односторонних углов $\angle AKL + \angle DAB = 180^\circ$.

7. Аналогично, при пересечении параллельных прямых $KL$ и $AB$ секущей $BC$ сумма односторонних углов $\angle BLK + \angle CBA = 180^\circ$.

8. Поскольку $\angle DAB = \angle CBA$ (из п. 5), то из равенств $\angle AKL = 180^\circ - \angle DAB$ и $\angle BLK = 180^\circ - \angle CBA$ следует, что $\angle AKL = \angle BLK$. Эти углы и являются углами, которые прямая $KL$ (а значит и прямая $MN$) образует с боковыми сторонами $AD$ и $BC$ соответственно.

Ответ: Доказано.

б) Даны три отрезка: $a, b, c$. Постройте четвертый пропорциональный отрезок $x$ такой, что: 1) $ \frac{x}{a} = \frac{a+b}{b} $; 2) $ \frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c} $.

Построение:

Для построения четвертого пропорционального отрезка используется теорема Фалеса или свойство подобных треугольников. Если требуется построить отрезок $x$ такой, что $\frac{u}{v} = \frac{w}{x}$, то можно переписать это как $\frac{v}{u} = \frac{x}{w}$. На одном луче откладываются отрезки $u$ и $v$ от вершины угла, на другом луче откладывается $w$. Проводится прямая, соединяющая конец отрезка $u$ с концом отрезка $w$. Затем через конец отрезка $v$ проводится прямая, параллельная первой, до пересечения со вторым лучом, что определяет отрезок $x$.

1) Построение отрезка $x$ такого, что $ \frac{x}{a} = \frac{a+b}{b} $

Перепишем данное соотношение в виде $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{x}$. Таким образом, $x$ является четвертым пропорциональным для отрезков $b$, $a$ и $a+b$.

1. Постройте отрезок, равный сумме длин отрезков $a$ и $b$. Для этого начертите произвольную прямую, отметьте на ней точку $P$. От точки $P$ отложите отрезок $PQ = a$. От точки $Q$ в том же направлении отложите отрезок $QR = b$. Тогда отрезок $PR$ будет иметь длину $a+b$. Пусть $L_1 = a+b$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ последовательно отрезки $OA = b$ и $AB' = a$. (Точка $B'$ не на изображении, это просто название, чтобы отличать от $B$ в пропорции. Лучше использовать $OB=a$ напрямую). На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OA = b$. От точки $A$ отложите отрезок $AB = a$ так, чтобы точки $O, A, B$ были на одной прямой. Таким образом, $OB = a+b$. (Это не соответствует стандартной четвертой пропорциональной конструкции. Давайте используем $A, B$ как концы отрезков на одном луче).

Давайте используем стандартную схему $\frac{X}{Y} = \frac{Z}{W}$, тогда $XW = YZ$.В нашем случае $x \cdot b = a \cdot (a+b)$. Это $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$.Пусть $A = a$, $B = b$, $C = a+b$. Ищем $x$.Тогда $\frac{x}{A} = \frac{C}{B}$.

Корректировка шагов для 1):

1. Постройте отрезок, равный сумме длин отрезков $a$ и $b$. Начертите луч, отметьте точку $P$. Отложите $PQ = a$, затем $QR = b$. Отрезок $PR$ имеет длину $a+b$. Обозначим $PR = L_1$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OC = b$.

4. На той же стороне отложите отрезок $OD = a$ (так, чтобы $O, C, D$ были на одной прямой, и $OC=b, CD=a$, т.е. $OD=a+b$).

5. На другой стороне угла отложите отрезок $OE = L_1 = a+b$.

6. Соедините точки $C$ и $E$ отрезком $CE$.

7. Через точку $D$ проведите прямую, параллельную $CE$, до пересечения с лучом $OE$ (или его продолжением) в точке $F$.

8. Отрезок $EF$ является искомым отрезком $x$. (По теореме Фалеса, $\frac{OD}{OC} = \frac{OF}{OE}$. Тогда $\frac{a+b}{b} = \frac{x}{a+b}$. Это не то. Необходимо, чтобы $OC=b$, $CD=a$ и $OE=a+b$, и $DF$ было параллельно $CE$. Тогда $\frac{OC}{OD} = \frac{OE}{OF}$. Т.е. $\frac{b}{b+a} = \frac{a+b}{x}$. Это $bx = (a+b)^2$. Это не то. )

Давайте снова к $\frac{A}{B} = \frac{C}{X}$ или $\frac{B}{A} = \frac{X}{C}$Для $\frac{x}{a} = \frac{a+b}{b}$, это $x = \frac{a(a+b)}{b}$.Применим формулу $x = \frac{MN}{K}$ в виде $\frac{K}{M} = \frac{N}{x}$.Здесь $K=b$, $M=a$, $N=a+b$.

Правильные шаги для 1):

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. (Как в первом шаге выше: $P-Q-R$, где $PQ=a, QR=b$, тогда $PR=L_1$).

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OA = b$ (знаменатель $b$).

4. На той же стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OB = a$ (числитель $a$ из $x/a$).

5. На другой стороне угла отложите от вершины $O$ отрезок $OC = L_1 = a+b$ (числитель $a+b$).

6. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

7. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную $AC$, до пересечения с лучом $OC$ (или его продолжением) в точке $D$.

8. Отрезок $CD$ является искомым отрезком $x$. (По теореме Фалеса: $OA/OB = OC/OD$. Т.е. $b/a = (a+b)/x$. Это дает $bx = a(a+b)$, что соответствует заданному).
Wait, the point $D$ would be on the ray $OC$, not $CD$. It should be $OD$. If $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$, then $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{OD}$. So $OD = \frac{a(a+b)}{b}$. This is $x$. So $OD$ is $x$.

Окончательные шаги для 1):

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. Для этого на произвольной прямой отложите от точки $P$ отрезок $PQ = a$, а затем от точки $Q$ отложите отрезок $QR = b$. Длина отрезка $PR$ равна $a+b$.

2. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

3. На одной стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OA = b$.

4. На той же стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OB = a$.

5. На другой стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OC = L_1 = a+b$.

6. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

7. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную отрезку $AC$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла (луч $OC$) в точке $D$.

8. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$. По свойству подобных треугольников (или по теореме Фалеса), $\triangle OAC \sim \triangle OBD$, поэтому $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Подставляя длины отрезков, получаем $\frac{b}{a} = \frac{a+b}{OD}$. Из этого следует, что $OD = \frac{a(a+b)}{b}$, что и является искомой величиной $x$.

Ответ: Отрезок $OD$ построен.

2) Построение отрезка $x$ такого, что $ \frac{x}{a+b} = \frac{a+c}{c} $

Перепишем данное соотношение в виде $x = \frac{(a+b)(a+c)}{c}$. Таким образом, $x$ является четвертым пропорциональным для отрезков $c$, $a+b$ и $a+c$.

1. Постройте отрезок $L_1 = a+b$. (Например, как в п. 1 для части 1, обозначьте $PR = L_1$).

2. Постройте отрезок $L_2 = a+c$. Для этого на произвольной прямой отложите от точки $S$ отрезок $ST = a$, а затем от точки $T$ отложите отрезок $TU = c$. Длина отрезка $SU$ равна $a+c$.

3. Начертите произвольный угол с вершиной $O$.

4. На одной стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OA = c$.

5. На той же стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OB = L_1 = a+b$.

6. На другой стороне угла от вершины $O$ отложите отрезок $OC = L_2 = a+c$.

7. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком $AC$.

8. Через точку $B$ проведите прямую, параллельную отрезку $AC$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла (луч $OC$) в точке $D$.

9. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$. По свойству подобных треугольников (или по теореме Фалеса), $\triangle OAC \sim \triangle OBD$, поэтому $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$. Подставляя длины отрезков, получаем $\frac{c}{a+b} = \frac{a+c}{OD}$. Из этого следует, что $OD = \frac{(a+b)(a+c)}{c}$, что и является искомой величиной $x$.

Ответ: Отрезок $OD$ построен.

Постройте треугольник $ABC$ и отметьте середины $M$ и $N$ его сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Измерьте отрезки $MN$ и $AC$ и сравните их.

Построение треугольника ABC и середин его сторон M и N

1. Начертим на плоскости произвольный треугольник $ABC$. Для этого выберем три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками.

2. Найдем середину стороны $AB$. С помощью линейки измерим длину отрезка $AB$. Половину этой длины отложим от точки A (или B) по стороне $AB$ и отметим точку $M$. Таким образом, точка $M$ является серединой стороны $AB$, и выполняется равенство $AM = MB$.

3. Аналогично найдем середину стороны $BC$. Измерим ее длину, разделим пополам и отметим точку $N$. Точка $N$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BN = NC$.

4. Соединим точки $M$ и $N$ отрезком. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

Измерение и сравнение отрезков MN и AC

Выполнив построение, перейдем к измерению и сравнению.

1. С помощью линейки измерим длину стороны $AC$.

2. Затем измерим длину полученного отрезка $MN$.

3. Сравнив результаты измерений, мы обнаружим, что длина отрезка $AC$ ровно в два раза больше длины отрезка $MN$. (Возможны небольшие погрешности из-за неточности инструментов или построений).

Этот практический результат полностью согласуется с теоремой о средней линии треугольника. Теорема гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

В нашем случае, поскольку $M$ — середина $AB$ и $N$ — середина $BC$, отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, его длина связана с длиной стороны $AC$ следующей формулой:

$MN = \frac{1}{2} AC$ или $AC = 2 \cdot MN$.

Например, если измерение показало, что $AC = 10$ см, то длина $MN$ должна быть равна $5$ см.

Ответ: Длина отрезка $MN$ (средней линии) ровно в два раза меньше длины стороны $AC$. Соотношение их длин: $AC = 2 \cdot MN$.