Страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

118. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 16 см и делится диагональю на части, разность которых равна 6 см.

Дано:

Длина средней линии трапеции $m = 16$ см.

Разность частей, на которые средняя линия делится диагональю, $\Delta l = 6$ см.

Перевод в СИ:

$m = 16$ см $= 0.16$ м.

$\Delta l = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

Длины оснований трапеции $a$ и $b$.

Решение:

1. Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции. Длина средней линии трапеции $m$ выражается формулой:

$m = \frac{a+b}{2}$

По условию, средняя линия равна $16$ см. Подставим это значение в формулу:

$\frac{a+b}{2} = 16$

Отсюда получаем первое уравнение:

$a+b = 32$ (уравнение 1)

2. Средняя линия трапеции делится диагональю на две части. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, MN - средняя линия (M - середина AD, N - середина BC). Пусть диагональ BD пересекает среднюю линию MN в точке Q.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Отрезок MQ является частью средней линии MN и параллелен основанию AB. Так как M - середина AD, то MQ является средней линией треугольника $\triangle ABD$, исходящей из середины стороны AD. Следовательно, ее длина равна половине основания AB:

$MQ = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Отрезок QN является частью средней линии MN и параллелен основанию CD. Так как N - середина BC, то QN является средней линией треугольника $\triangle BCD$, исходящей из середины стороны BC. Следовательно, ее длина равна половине основания CD:

$QN = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$

По условию, разность длин этих частей средней линии равна $6$ см:

$|MQ - QN| = 6$

Подставим выражения для MQ и QN:

$|\frac{a}{2} - \frac{b}{2}| = 6$

$|\frac{a-b}{2}| = 6$

$|a-b| = 12$

Примем, что $a > b$ (большее основание минус меньшее), тогда:

$a-b = 12$ (уравнение 2)

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$a+b = 32$

$a-b = 12$

Сложим оба уравнения:

$(a+b) + (a-b) = 32 + 12$

$2a = 44$

$a = \frac{44}{2}$

$a = 22$ см

Подставим значение $a$ в первое уравнение ($a+b=32$):

$22 + b = 32$

$b = 32 - 22$

$b = 10$ см

Таким образом, длины оснований трапеции равны $22$ см и $10$ см.

Проверка:

Средняя линия: $\frac{22+10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см. (Соответствует условию)

Части средней линии: $MQ = \frac{22}{2} = 11$ см и $QN = \frac{10}{2} = 5$ см.

Разность частей: $11 - 5 = 6$ см. (Соответствует условию)

Все условия задачи выполнены.

Ответ:

Основания трапеции равны $22$ см и $10$ см.

119. Найдите длину боковой стороны равнобедренной трапеции, если она равна ее средней линии, а периметр трапеции равен 24 см.

Дано:

Трапеция является равнобедренной.

Длина боковой стороны $c$ равна длине средней линии $m$: $c = m$.

Периметр трапеции $P = 24$ см.

Перевод в СИ:

$P = 24$ см $= 0.24$ м

Найти:

Длину боковой стороны $c$.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований равнобедренной трапеции, а $c$ - длина ее боковой стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны имеют одинаковую длину $c$.

Средняя линия $m$ трапеции определяется по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$.

По условию задачи, длина боковой стороны равна длине средней линии: $c = m$.

Следовательно, мы можем записать: $c = \frac{a+b}{2}$.

Отсюда следует, что сумма длин оснований $a+b$ равна удвоенной длине боковой стороны: $a+b = 2c$.

Периметр $P$ равнобедренной трапеции равен сумме длин всех ее сторон: $P = a + b + c + c$, или $P = a + b + 2c$.

Подставим выражение для суммы оснований $(a+b = 2c)$ в формулу периметра:

$P = (2c) + 2c$

$P = 4c$

Нам известен периметр трапеции $P = 24$ см. Подставим это значение в уравнение:

$24 = 4c$

Теперь решим уравнение относительно $c$:

$c = \frac{24}{4}$

$c = 6$ см

Ответ:

Длина боковой стороны трапеции равна 6 см.

120. Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равносторонний треугольники. Найдите среднюю линию трапеции, если периметр равностороннего треугольника равен 27 дм.

Дано:

Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равносторонний треугольники.

Периметр равностороннего треугольника $P_{eq} = 27$ дм.

Перевод в СИ:

$P_{eq} = 27 \text{ дм} = 2.7 \text{ м}$.

Найти:

Средняя линия трапеции $m$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Так как трапеция прямоугольная, один из её непараллельных сторон перпендикулярен основаниям. Пусть это будет сторона $AB$, тогда $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Рассмотрим диагональ $BD$. Она делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

$\triangle ABD$ является прямоугольным, так как $\angle A = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABD$ — это прямоугольный треугольник, упомянутый в условии задачи.

Следовательно, $\triangle BCD$ должен быть равносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника $P_{BCD} = 27$ дм.

У равностороннего треугольника все стороны равны. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда $P_{BCD} = 3a$.

$3a = 27 \text{ дм}$

$a = \frac{27}{3} = 9 \text{ дм}$.

Таким образом, стороны равностороннего треугольника $\triangle BCD$ равны:

$BC = CD = BD = 9 \text{ дм}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. Его гипотенуза $BD = 9$ дм.

Так как $\triangle BCD$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle CBD = 60^\circ$.

Поскольку $AB$ перпендикулярна $BC$ (так как $AB$ - высота трапеции, а $BC$ - основание), $\angle ABC = 90^\circ$.

Тогда $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ (с $\angle A = 90^\circ$):

Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Значит, $AD = \frac{1}{2} BD$.

$AD = \frac{1}{2} \times 9 \text{ дм} = 4.5 \text{ дм}$.

Стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции.

Мы нашли:

$AD = 4.5 \text{ дм}$

$BC = 9 \text{ дм}$ (из сторон равностороннего треугольника).

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ - длины оснований.

$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{4.5 \text{ дм} + 9 \text{ дм}}{2} = \frac{13.5 \text{ дм}}{2} = 6.75 \text{ дм}$.

Ответ: 6.75 дм.

121. a) Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а расстояние между ее основаниями равно 1 дм.

б) Средняя линия трапеции делится ее диагональю на части, равные 2 см и 5 см. Вычислите углы трапеции, если каждая из ее боковых сторон равна 6 см.

а)

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$ (основания $AB$ и $CD$).

Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Высота трапеции $h = 1$ дм.

Перевод в СИ:

$h = 1$ дм $= 0.1$ м.

Найти:

Среднюю линию трапеции $m$.

Решение:

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.

Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, существует свойство, что высота трапеции равна полусумме ее оснований. То есть $h = \frac{a+b}{2}$.

Доказательство этого свойства:

Пусть трапеция $ABCD$ имеет основания $AB = a$ и $CD = b$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку трапеция равнобедренная, то $OA = OB$ и $OC = OD$. Также, поскольку диагонали перпендикулярны, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ являются прямоугольными и равнобедренными.

Высота трапеции $h$ является суммой высот $h_1$ и $h_2$ соответствующих треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, проведенных из точки $O$ к основаниям $AB$ и $CD$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ (угол при вершине $O$ прямой), высота к гипотенузе $h_1$ равна половине гипотенузы, то есть $h_1 = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle COD$, высота к гипотенузе $h_2$ равна половине гипотенузы, то есть $h_2 = \frac{CD}{2} = \frac{b}{2}$.

Следовательно, высота трапеции $h = h_1 + h_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Так как средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$, мы получаем, что $m = h$.

По условию задачи, высота трапеции $h = 1$ дм.

Значит, средняя линия трапеции $m = 1$ дм.

Ответ: $1$ дм.

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$ (основания $AB$ и $CD$).

Средняя линия $MN$ (точка $M$ – середина $AD$, точка $N$ – середина $BC$).

Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$.

Части средней линии: $MP = 2$ см, $PN = 5$ см.

Боковые стороны: $AD = BC = 6$ см.

Перевод в СИ:

$MP = 2$ см $= 0.02$ м.

$PN = 5$ см $= 0.05$ м.

$AD = BC = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть $AB = a$ (большее основание) и $CD = b$ (меньшее основание).

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MP$ соединяет середину стороны $AD$ ($M$) с точкой $P$ на диагонали $AC$. Так как $MN$ - средняя линия трапеции, то $MN \parallel AB \parallel CD$. Следовательно, $MP \parallel CD$. По теореме о средней линии треугольника (или теореме Фалеса), если прямая, параллельная одной стороне треугольника, пересекает вторую сторону в ее середине, то она пересекает третью сторону в ее середине. Таким образом, $P$ является серединой $AC$, и $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Поэтому $MP = \frac{1}{2} CD = \frac{b}{2}$.

Из условия $MP = 2$ см, получаем $b = 2 \times MP = 2 \times 2$ см $= 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $PN$ соединяет середину стороны $BC$ ($N$) с точкой $P$ на диагонали $AC$. Поскольку $MN \parallel AB$, то $PN \parallel AB$. $P$ также является серединой $AC$ (как мы установили ранее). Таким образом, $PN$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

Поэтому $PN = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Из условия $PN = 5$ см, получаем $a = 2 \times PN = 2 \times 5$ см $= 10$ см.

Теперь у нас есть длины оснований $a = 10$ см, $b = 4$ см и длины боковых сторон $c = AD = BC = 6$ см. Поскольку боковые стороны равны, трапеция является равнобедренной.

Опустим высоты $DH_1$ и $CH_2$ из вершин $D$ и $C$ на основание $AB$.

В равнобедренной трапеции отрезки $AH_1$ и $BH_2$ равны и вычисляются по формуле $AH_1 = \frac{a-b}{2}$.

$AH_1 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADH_1$. Гипотенуза $AD = 6$ см, катет $AH_1 = 3$ см.

Мы можем найти косинус угла $A$ (или $ADH_1$) в этом треугольнике:

$\cos(\angle A) = \frac{AH_1}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $\angle A = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании $AB$ равны: $\angle B = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

$\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Аналогично, $\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ$.

122. a) Одна из диагоналей трапеции делит ее среднюю линию на части 5 см и 10 см. Найдите периметр трапеции, если ее диагонали лежат на биссектрисах острых углов.

б) В трапеции ABCD с основаниями $AD$ и $BC$ $\angle D = 30^\circ$, $BC = 10$ см. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются под прямым углом. Найдите длину боковой стороны $AB$ трапеции, если ее средняя линия равна 16 см.

a)

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

Средняя линия $MN$ трапеции.

Диагональ $AC$ делит среднюю линию на части $MK = 5 \text{ см}$ и $KN = 10 \text{ см}$.

Диагонали лежат на биссектрисах острых углов.

Перевод в СИ:

$MK = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$KN = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Периметр трапеции $P_{ABCD}$.

Решение:

Пусть $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$.

Отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, так как $M$ – середина $AB$ и $MK \parallel BC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2} BC$.

Отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ADC$, так как $N$ – середина $CD$ и $KN \parallel AD$. Следовательно, $KN = \frac{1}{2} AD$.

По условию, части средней линии равны $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$. Пусть $MK = 5 \text{ см}$ и $KN = 10 \text{ см}$.

Тогда $BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

И $AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}$.

По условию, диагонали трапеции лежат на биссектрисах острых углов. Пусть $\angle A$ и $\angle D$ – острые углы трапеции.

Если диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы при секущей $AC$).

Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$, и значит, треугольник $ABC$ – равнобедренный с $AB = BC$.

Следовательно, $AB = 10 \text{ см}$.

Если диагональ $BD$ является биссектрисой угла $D$, то $\angle ADB = \angle BDC$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (как накрест лежащие углы при секущей $BD$).

Из этого следует, что $\angle CBD = \angle BDC$, и значит, треугольник $BCD$ – равнобедренный с $CD = BC$.

Следовательно, $CD = 10 \text{ см}$.

Таким образом, мы имеем трапецию со сторонами $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $CD = 10 \text{ см}$ и $AD = 20 \text{ см}$.

Это равнобокая трапеция ($AB = CD$). Проверим, являются ли углы $A$ и $D$ острыми.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

Тогда $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle A = 60^\circ$. Это острый угол. Аналогично $\angle D = 60^\circ$. Условия задачи соблюдены.

Периметр трапеции $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 10 + 10 + 10 + 20 = 50 \text{ см}$.

Ответ: $50 \text{ см}$

б)

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.

$\angle D = 30^\circ$.

$BC = 10 \text{ см}$.

Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом ($\angle APD = 90^\circ$).

Средняя линия $m = 16 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$BC = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$m = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$\angle D = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

$\angle APD = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Найти:

Длину боковой стороны $AB$.

Решение:

Пусть прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$. По условию, $\angle APD = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $APD$. В нем $\angle P = 90^\circ$ и $\angle D = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle PAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $BC \parallel AD$, треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ по трем углам ($\angle P$ общий, $\angle PBC = \angle PAD = 60^\circ$ как соответственные углы, $\angle PCB = \angle PDA = 30^\circ$ как соответственные углы).

В прямоугольном треугольнике $BPC$ (угол $P$ прямой) гипотенузой является $BC = 10 \text{ см}$.

Найдем длины катетов $PB$ и $PC$ в $\triangle BPC$:

$PB = BC \sin(\angle PCB) = BC \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см}$.

$PC = BC \cos(\angle PCB) = BC \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$.

Средняя линия трапеции $m = \frac{AD + BC}{2}$.

По условию $m = 16 \text{ см}$ и $BC = 10 \text{ см}$.

$16 = \frac{AD + 10}{2}$.

$32 = AD + 10$.

$AD = 22 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $APD$. В нем гипотенуза $AD = 22 \text{ см}$.

Найдем длину катета $AP$ в $\triangle APD$:

$AP = AD \sin(\angle D) = AD \sin(30^\circ) = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \text{ см}$.

Длина боковой стороны $AB$ трапеции равна разности $AP$ и $PB$:

$AB = AP - PB = 11 - 5 = 6 \text{ см}$.

Ответ: $6 \text{ см}$

123. Верно ли, что, если отрезок, концы которого принадлежат боковым сторонам трапеции, равен полусумме ее оснований, то он является ее средней линией? Ответ объясните.

Решение

Нет, это утверждение неверно. Средняя линия трапеции (или медиана) по определению является отрезком, соединяющим середины её боковых сторон. Основные свойства средней линии трапеции заключаются в следующем:

1. Она параллельна основаниям трапеции.

2. Её длина равна полусумме длин оснований.

Формула для длины средней линии $m$ трапеции с основаниями $a$ и $b$ выглядит так: $m = \frac{a+b}{2}$.

Вопрос в задаче утверждает, что если отрезок, концы которого принадлежат боковым сторонам трапеции, равен полусумме её оснований, то он является её средней линией. Это означает, что если выполнено второе свойство (длина равна полусумме оснований), то из этого якобы следуют первое свойство (параллельность основаниям) и определение (концы являются серединами боковых сторон).

Однако, это не так. Существует множество отрезков, концы которых лежат на боковых сторонах трапеции, и длина которых может быть равна полусумме её оснований, но при этом эти отрезки не являются параллельными основаниям и/или их концы не являются серединами боковых сторон. Только отрезок, который удовлетворяет всем условиям определения средней линии (соединяет середины боковых сторон), будет иметь длину, равную полусумме оснований, и будет параллелен основаниям.

В общем случае, отрезок, соединяющий точки на боковых сторонах трапеции, не обязан быть параллельным основаниям. Если такой отрезок не параллелен основаниям, то даже при условии, что его длина равна полусумме оснований, он не будет являться средней линией, поскольку не удовлетворяет всем её определяющим свойствам.

Ответ:

Нет, это утверждение неверно.

Постройте тупоугольный треугольник и все его высоты. Что вы можете сказать о взаимном расположении прямых, содержащих эти высоты?

Для решения этой задачи выполним два шага: сначала построим тупоугольный треугольник и его высоты, а затем проанализируем взаимное расположение прямых, содержащих эти высоты.

Построение тупоугольного треугольника и его высот

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$. Построим треугольник $ABC$, в котором угол $\angle B$ — тупой. Теперь построим все три его высоты.

Высота, опущенная из вершины тупого угла $B$ на сторону $AC$, обозначается $BH_b$. Так как углы $A$ и $C$ острые, основание этой высоты, точка $H_b$, будет лежать непосредственно на отрезке $AC$. Таким образом, эта высота находится внутри треугольника.

Высота, опущенная из вершины острого угла $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, обозначается $AH_a$. Поскольку угол $B$ тупой, перпендикуляр из $A$ не может попасть на сам отрезок $BC$. Он опускается на продолжение стороны $BC$ за вершину $B$. Следовательно, высота $AH_a$ находится вне треугольника.

Аналогично, высота из вершины острого угла $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$, обозначается $CH_c$. Она также опускается на продолжение стороны $AB$ за вершину $B$ и, соответственно, находится вне треугольника.

Что можно сказать о взаимном расположении прямых, содержащих эти высоты

Теперь рассмотрим прямые, на которых лежат построенные высоты: прямая $AH_a$, прямая $BH_b$ и прямая $CH_c$. Согласно фундаментальной теореме геометрии, три прямые, содержащие высоты любого треугольника, всегда пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Как видно из построения, для тупоугольного треугольника эта точка пересечения (ортоцентр, обозначенный на рисунке как $O$) всегда будет находиться вне самого треугольника.

Ответ: Прямые, содержащие все три высоты тупоугольного треугольника, пересекаются в одной точке (называемой ортоцентром), которая для такого типа треугольников всегда расположена вне его пределов.