Страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

139. 1A) В ромбе $ABCD$ угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите углы ромба.

2B) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ через точку $C$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $E$. $AD = 12$ см, $DE = 4$ см, а периметр трапеции равен $33$ см. Докажите, что $ABCE$ – параллелограмм и вычислите периметр треугольника $DEC$.

3B) В параллелограмме $ABCD$ от точки $O$ – пересечения диагоналей на луче $OA$ отложен отрезок $OM = OB$, а на луче $OC$ отложен отрезок $OH = OB$. Докажите, что четырехугольник $MBHD$ является прямоугольником.

4C) В трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ $AC \perp CD$, $\angle BAC = \angle CAD$. Найдите длину отрезка $AD$, если периметр трапеции равен $20$ см, а $\angle D = 60^\circ$.

5C) Дана трапеция $ABCD$. При помощи циркуля и линейки постройте отрезок, равный одной трети ее средней линии.

1A) В ромбе $ABCD$ угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите углы ромба.

Дано:

Ромб $ABCD$.

Угол $\angle CAD = 35^\circ$.

Найти:

Углы ромба: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

В ромбе $ABCD$ все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Поскольку диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то $\angle CAB = \angle CAD$.

По условию, $\angle CAD = 35^\circ$. Следовательно, $\angle CAB = 35^\circ$.

Угол $\angle A = \angle CAD + \angle CAB = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 70^\circ$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle B + \angle A = 180^\circ$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Противоположные углы равны, поэтому $\angle D = \angle B = 110^\circ$.

Ответ: Углы ромба: $\angle A = 70^\circ, \angle B = 110^\circ, \angle C = 70^\circ, \angle D = 110^\circ$.

2B) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ через точку $C$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $E$. $AD = 12$ см, $DE = 4$ см, а периметр трапеции равен $33$ см. Докажите, что $ABCE$ – параллелограмм и вычислите периметр треугольника $DEC$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$).

Прямая $CE \parallel AB$, точка $E$ лежит на $AD$.

$AD = 12$ см.

$DE = 4$ см.

$P_{ABCD} = 33$ см.

Перевод в СИ:

$AD = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

$DE = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

$P_{ABCD} = 33 \text{ см} = 0.33 \text{ м}$.

Найти:

1. Доказать, что $ABCE$ – параллелограмм.

2. Вычислить $P_{DEC}$.

Решение:

1. Докажем, что $ABCE$ – параллелограмм:

По определению трапеции, ее основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $E$ лежит на $AD$, то отрезок $AE$ также параллелен $BC$ ($AE \parallel BC$).

По условию задачи, прямая $CE$ параллельна боковой стороне $AB$ ($CE \parallel AB$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны ($AE \parallel BC$ и $AB \parallel CE$), по определению является параллелограммом.

Следовательно, $ABCE$ – параллелограмм.

2. Вычислим периметр треугольника $DEC$:

Поскольку $ABCE$ – параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AE = BC$ и $AB = CE$.

Длина основания $AD$ равна сумме отрезков $AE$ и $DE$: $AD = AE + DE$.

Подставим известные значения: $12 = AE + 4$, откуда $AE = 12 - 4 = 8$ см.

Так как $AE = BC$, то $BC = 8$ см.

Периметр трапеции $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Подставим известные значения: $33 = AB + 8 + CD + 12$.

$33 = AB + CD + 20$.

Отсюда $AB + CD = 33 - 20 = 13$ см.

Периметр треугольника $DEC$ равен сумме длин его сторон: $P_{DEC} = DE + EC + CD$.

Мы знаем, что $EC = AB$ (из свойств параллелограмма $ABCE$).

Поэтому $P_{DEC} = DE + AB + CD$.

Подставим значения $DE = 4$ см и $(AB + CD) = 13$ см:

$P_{DEC} = 4 + 13 = 17$ см.

Ответ: Четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как $AE \parallel BC$ (основания трапеции) и $AB \parallel CE$ (по условию). Периметр треугольника $DEC$ равен $17$ см.

3B) В параллелограмме $ABCD$ от точки $O$ – пересечения диагоналей на луче $OA$ отложен отрезок $OM = OB$, а на луче $OC$ отложен отрезок $OH = OB$. Докажите, что четырехугольник $MBHD$ является прямоугольником.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$, $O$ – точка пересечения диагоналей.

На луче $OA$ отложен отрезок $OM = OB$.

На луче $OC$ отложен отрезок $OH = OB$.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $MBHD$ является прямоугольником.

Решение:

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

По условию задачи дано, что $OM = OB$ и $OH = OB$.

Из равенств $BO = OD$, $OM = OB$, $OH = OB$ следует, что $OM = OD$ и $OH = OB$. Также, очевидно, $OM = OH = OB = OD$.

Рассмотрим четырехугольник $MBHD$. Его диагонали $MH$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Из того, что $OM = OD$ и $OH = OB$, следует, что диагонали $MH$ и $BD$ делятся точкой $O$ пополам. Четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, $MBHD$ – параллелограмм.

Теперь рассмотрим длины диагоналей $MH$ и $BD$.

$MH = MO + OH$. Так как $MO = OB$ и $OH = OB$, то $MH = OB + OB = 2OB$.

$BD = BO + OD$. Так как $BO = OB$ и $OD = OB$, то $BD = OB + OB = 2OB$.

Таким образом, $MH = BD$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Следовательно, четырехугольник $MBHD$ является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник $MBHD$ является прямоугольником, поскольку его диагонали $MH$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($MO=OH, BO=OD$), что делает $MBHD$ параллелограммом. Кроме того, $MO=OB=OH=OD$, из чего следует равенство диагоналей $MH=BD$. Параллелограмм с равными диагоналями - прямоугольник.

4C) В трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$, $AC \perp CD$, $\angle BAC = \angle CAD$. Найдите длину отрезка $AD$, если периметр трапеции равен $20$ см, а $\angle D = 60^\circ$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ (большее) и $BC$ ($AD \parallel BC$).

$AC \perp CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

$\angle BAC = \angle CAD$.

$P_{ABCD} = 20$ см.

$\angle D = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$P_{ABCD} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

Длину отрезка $AD$.

Решение:

В трапеции $AD \parallel BC$. Диагональ $AC$ является секущей при этих параллельных прямых.

Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

По условию задачи дано, что $\angle BAC = \angle CAD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

В треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны, значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Отсюда следует, что $AB = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (так как $AC \perp CD$, то $\angle ACD = 90^\circ$).

В этом треугольнике $\angle D = 60^\circ$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle CAD = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ACD$, катет $CD$ лежит напротив угла $CAD = 30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в этом треугольнике является $AD$.

Следовательно, $CD = \frac{1}{2} AD$.

Мы также знаем, что $\angle BAC = \angle CAD = 30^\circ$.

Тогда угол $\angle A$ трапеции равен $\angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Итак, в трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной. Следовательно, $AB = CD$.

Мы ранее установили, что $AB = BC$ и $CD = \frac{1}{2} AD$.

Из $AB = CD$ и $CD = \frac{1}{2} AD$ получаем $AB = \frac{1}{2} AD$.

Из $AB = BC$ и $AB = \frac{1}{2} AD$ получаем $BC = \frac{1}{2} AD$.

Таким образом, все боковые стороны и верхнее основание выражены через нижнее основание $AD$:

$AB = \frac{1}{2} AD$, $BC = \frac{1}{2} AD$, $CD = \frac{1}{2} AD$.

Периметр трапеции $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Подставим выражения через $AD$:

$P_{ABCD} = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} AD + AD = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1\right) AD = \left(\frac{3}{2} + 1\right) AD = \frac{5}{2} AD$.

По условию, $P_{ABCD} = 20$ см.

$20 = \frac{5}{2} AD$.

Для нахождения $AD$ умножим обе части на $\frac{2}{5}$:

$AD = 20 \times \frac{2}{5} = \frac{40}{5} = 8$ см.

Ответ: Длина отрезка $AD$ равна $8$ см.

5C) Дана трапеция $ABCD$. При помощи циркуля и линейки постройте отрезок, равный одной трети ее средней линии.

Дано:

Трапеция $ABCD$.

Найти:

Построить отрезок, равный одной трети ее средней линии, при помощи циркуля и линейки.

Решение:

Построение будет состоять из двух основных этапов:

Этап 1: Построение средней линии трапеции.

1. Нахождение середины боковой стороны $AB$: * С помощью циркуля проведите две дуги одинакового, достаточно большого радиуса (больше половины $AB$) из точек $A$ и $B$. * Эти дуги пересекутся в двух точках. Соедините эти две точки прямой. Эта прямая будет серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и пересечет его в его середине. Обозначим эту середину как $M$.

2. Нахождение середины боковой стороны $CD$: * Аналогичным образом найдите середину отрезка $CD$, используя циркуль и линейку. Обозначим эту середину как $N$.

3. Построение средней линии: * Соедините точки $M$ и $N$ линейкой. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$.

Этап 2: Деление отрезка $MN$ на три равные части.

1. Проведите вспомогательный луч: * Из точки $M$ проведите произвольный луч $MR$, не совпадающий с отрезком $MN$.

2. Отложите равные отрезки на луче: * С помощью циркуля отложите на луче $MR$ три равных отрезка произвольной, но одинаковой длины. Обозначьте конечные точки этих отрезков $P_1, P_2, P_3$ так, чтобы $MP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.

3. Соедините последнюю точку с концом отрезка: * Соедините точку $P_3$ с точкой $N$ (концом средней линии) с помощью линейки, получив отрезок $P_3N$.

4. Проведите параллельные прямые: * Через точки $P_1$ и $P_2$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_3N$. Для этого можно использовать метод построения параллельной прямой (например, через построение ромба или с использованием свойств углов). * Эти параллельные прямые пересекут отрезок $MN$ в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно.

5. Искомый отрезок: * Согласно теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Поскольку на луче $MR$ отрезки $MP_1, P_1P_2, P_2P_3$ равны, то на отрезке $MN$ отрезки $MK_1, K_1K_2, K_2N$ также будут равны.

Отрезок $MK_1$ (или $K_1K_2$, или $K_2N$) является искомым отрезком, равным одной трети средней линии трапеции.

Ответ: Построение отрезка, равного одной трети средней линии трапеции, включает два этапа. Сначала с помощью циркуля и линейки находятся середины боковых сторон трапеции, и соединив их, получают среднюю линию. Затем этот отрезок делится на три равные части с использованием метода деления отрезка на заданное число равных частей, основанного на свойствах параллельных прямых (например, с помощью вспомогательного луча и циркуля).

Постройте прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Из какой-либо точки D его гипотенузы проведите перпендикуляр DH к катету AC. Измерьте отрезки AC, AB, AH и AD. Сравните отношения $ \frac{AC}{AB} $ и $ \frac{AH}{AD} $.

Сначала выполним построение, описанное в задаче. Построим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C ($\angle C = 90^\circ$). Затем на гипотенузе AB выберем произвольную точку D и из нее опустим перпендикуляр DH на катет AC. В результате мы получим еще один прямоугольный треугольник — ADH, в котором угол H является прямым ($\angle AHD = 90^\circ$).

Теперь необходимо сравнить отношения $\frac{AC}{AB}$ и $\frac{AH}{AD}$. Для этого проведем математический анализ, который является точным в отличие от измерений с помощью линейки, которые могут содержать погрешности.

Рассмотрим два треугольника: исходный $\triangle ABC$ и построенный $\triangle ADH$.
Можно заметить, что эти треугольники подобны. Докажем это.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку $DH \perp AC$ и $BC \perp AC$, то прямые DH и BC параллельны. При секущей AB соответственные углы будут равны: $\angle ADH = \angle ABC$.
Таким образом, треугольники $\triangle ADH$ и $\triangle ABC$ подобны по двум углам (по признаку подобия AA).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны:
$\frac{AH}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{DH}{BC}$
Возьмем первую часть этого равенства: $\frac{AH}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), можно записать: $AH \cdot AB = AC \cdot AD$.
Разделив обе части этого равенства на произведение $AB \cdot AD$, мы получим:
$\frac{AH \cdot AB}{AB \cdot AD} = \frac{AC \cdot AD}{AB \cdot AD}$
Что приводит к равенству:
$\frac{AH}{AD} = \frac{AC}{AB}$

К этому же выводу можно прийти и более коротким путем, используя определения тригонометрических функций.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ косинус угла $\angle A$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
В то же время, в прямоугольном треугольнике $\triangle ADH$ косинус того же угла $\angle A$ это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AD}$
Поскольку левые части обоих выражений равны, то равны и их правые части:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AD}$

Таким образом, оба метода показывают, что искомые отношения равны.

Ответ: Отношения $\frac{AC}{AB}$ и $\frac{AH}{AD}$ равны.