Страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

127. Серединные перпендикуляры к сторонам $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AB$.

Докажите, что:

а) $AO = OB$;

б) $\angle C = \angle A + \angle B$.

Дано:

треугольник $ABC$.

Серединные перпендикуляры к сторонам $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $O$.

Точка $O$ лежит на стороне $AB$.

Найти:

Доказать: а) $AO = OB$; б) $\angle C = \angle A + \angle B$.

Решение:

По определению, серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Ключевое свойство серединного перпендикуляра состоит в том, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Точка $O$ является пересечением серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника $ABC$. Это означает, что $O$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$.

а) $AO = OB$

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то расстояние от $O$ до вершины $A$ равно расстоянию от $O$ до вершины $C$. То есть, $OA = OC$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то расстояние от $O$ до вершины $B$ равно расстоянию от $O$ до вершины $C$. То есть, $OB = OC$.

Из равенств $OA = OC$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OB = OC$.

Таким образом, мы доказали, что $AO = OB$. Это также означает, что точка $O$ является серединой стороны $AB$, и поскольку $O$ является центром описанной окружности, сторона $AB$ является диаметром этой окружности.

Ответ: Доказано, что $AO = OB$.

б) $\angle C = \angle A + \angle B$

Из пункта а) мы знаем, что $OA = OC$. Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAC = \angle OCA$. Так как $\angle OAC$ является углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то $\angle OCA = \angle A$.

Также из пункта а) мы знаем, что $OB = OC$. Это означает, что треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBC = \angle OCB$. Так как $\angle OBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, то $\angle OCB = \angle B$.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle OCA$ и $\angle OCB$.

Тогда $\angle C = \angle OCA + \angle OCB$.

Подставляя ранее полученные равенства для $\angle OCA$ и $\angle OCB$, получаем: $\angle C = \angle A + \angle B$.

Это соотношение также подтверждает, что угол $\angle C$ является прямым, так как только в этом случае сумма двух других углов будет равна $90^\circ$, что и составляет $\angle C$ (в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром, а угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$).

Ответ: Доказано, что $\angle C = \angle A + \angle B$.

128. a) Сторона $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равна 20 см. Найдите его основание $AB$, если серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$ и периметр треугольника $ABD$ равен 32 см.

б) В равнобедренном $\triangle ABC$ $\angle A = 120^{\circ}$, $BM$ и $CN$ медианы, $O$ – их точка пересечения. Из точки $O$ проведен отрезок $OK \parallel BC$, $K \in AB$. Найдите $AO$, если $BK = 4$ см.

а)

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AB$. Следовательно, $AC = BC$.

$BC = 20$ см.

Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AC$ в точке $D$.

Периметр треугольника $ABD$ равен $32$ см ($P_{ABD} = 32$ см).

Найти:

$AB$.

Решение:

1. Так как точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, то она равноудалена от его концов. Следовательно, $DB = DC$.

2. По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, значит, $AC = BC$. Нам дано $BC = 20$ см, следовательно, $AC = 20$ см.

3. Периметр треугольника $ABD$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + BD + AD$.

4. Используя равенство $DB = DC$, подставим $DC$ вместо $BD$ в формулу периметра:

$P_{ABD} = AB + DC + AD$.

5. Заметим, что сумма отрезков $DC$ и $AD$ составляет всю сторону $AC$. То есть, $DC + AD = AC$.

6. Таким образом, выражение для периметра треугольника $ABD$ упрощается до $P_{ABD} = AB + AC$.

7. Подставим известные значения периметра и длины стороны $AC$:

$32 = AB + 20$.

8. Вычислим длину основания $AB$:

$AB = 32 - 20$.

$AB = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

$\angle A = 120^\circ$.

$BM$ и $CN$ – медианы.

$O$ – точка пересечения медиан ($BM$ и $CN$).

$OK \parallel BC$, $K \in AB$.

$BK = 4$ см.

Найти:

$AO$.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $\angle A = 120^\circ$, угол $A$ является углом при вершине, так как сумма двух углов по $120^\circ$ превысила бы $180^\circ$. Следовательно, боковые стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$), а $BC$ является основанием. Углы при основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = (180^\circ - \angle A) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

2. Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины.

3. Проведем медиану $AP$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $P$ – середина $BC$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, медиана $AP$ также является высотой и биссектрисой угла $A$. Значит, $AP \perp BC$ и $\angle BAP = \angle CAP = \angle BAC / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

4. Точка $O$ лежит на медиане $AP$, и $AO:OP = 2:1$, откуда $AO = \frac{2}{3}AP$.

5. Поскольку отрезок $OK \parallel BC$ и проходит через центроид $O$, а $K \in AB$, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Линия, проведенная через центроид параллельно одной из сторон треугольника, отсекает на других сторонах отрезки, которые находятся в отношении $2:3$ к соответствующим сторонам. В частности, $\triangle AKO$ не является подобным $\triangle ABC$. Однако, если провести линию $KL$ через $O$ параллельно $BC$ (где $K \in AB, L \in AC$), то $\triangle AKL \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия, равным отношению, в котором центроид делит медиану из вершины $A$ к основанию $BC$. То есть, $AK/AB = AO/AP = 2/3$.

6. Таким образом, $AK = \frac{2}{3}AB$.

7. Нам дано $BK = 4$ см. Мы знаем, что вся сторона $AB$ состоит из отрезков $AK$ и $BK$: $AB = AK + BK$.

8. Подставим выражение для $AK$ в это равенство:

$AB = \frac{2}{3}AB + 4$.

Перенесем слагаемые с $AB$ в одну сторону:

$AB - \frac{2}{3}AB = 4$.

$\frac{1}{3}AB = 4$.

Умножим обе части на $3$:

$AB = 12$ см.

9. Теперь найдем длину медианы $AP$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $APB$ (поскольку $AP \perp BC$). В этом треугольнике $\angle B = 30^\circ$ и гипотенуза $AB = 12$ см.

10. В прямоугольном треугольнике $APB$ синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AP$ к гипотенузе $AB$:

$\sin(\angle B) = AP/AB$.

$AP = AB \sin(\angle B)$.

$AP = 12 \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ равно $1/2$:

$AP = 12 \cdot \frac{1}{2}$.

$AP = 6$ см.

11. Наконец, найдем $AO$, используя отношение $AO = \frac{2}{3}AP$:

$AO = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Ответ: $4$ см.

129. В равнобедренном треугольнике две медианы равны 8 см и 10 см. Может ли его боковая сторона быть равной 12 см? Ответ объясните.

Дано

Равнобедренный треугольник.

Длины двух медиан: $m_1 = 8$ см, $m_2 = 10$ см.

Предполагаемая длина боковой стороны: $b = 12$ см.

Перевод в СИ:

$m_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$m_2 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Может ли боковая сторона треугольника быть равна 12 см?

Решение

Пусть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $b$, а основание равно $a$. В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой. Обозначим их $m_b$. Медиана, проведенная к основанию, обозначим $m_a$.

Используем формулы для длин медиан в треугольнике:

Медиана к основанию $a$ (которая проводится из вершины между боковыми сторонами $b$):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2b^2 - a^2}{4} = \frac{4b^2 - a^2}{4}$

Медиана к боковой стороне $b$ (которая проводится из вершины основания, и для которой две другие стороны треугольника - это другая боковая сторона $b$ и основание $a$):

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - b^2}{4} = \frac{2a^2 + b^2}{4}$

По условию задачи, две медианы равны 8 см и 10 см. Возможны два случая расположения этих медиан:

Случай 1: Медианы к боковым сторонам равны $m_b = 8$ см, а медиана к основанию равна $m_a = 10$ см.

Используем формулы и подставляем значения:

$m_b^2 = 8^2 = 64 \Rightarrow \frac{2a^2 + b^2}{4} = 64 \Rightarrow 2a^2 + b^2 = 256$ (Уравнение 1)

$m_a^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow \frac{4b^2 - a^2}{4} = 100 \Rightarrow 4b^2 - a^2 = 400$ (Уравнение 2)

Проверим, может ли боковая сторона $b$ быть равна 12 см. Подставим $b=12$ в оба уравнения:

Из Уравнения 1:

$2a^2 + 12^2 = 256$

$2a^2 + 144 = 256$

$2a^2 = 256 - 144$

$2a^2 = 112$

$a^2 = 56$

Из Уравнения 2:

$4 \cdot 12^2 - a^2 = 400$

$4 \cdot 144 - a^2 = 400$

$576 - a^2 = 400$

$a^2 = 576 - 400$

$a^2 = 176$

Мы получили два разных значения для $a^2$ (56 и 176). Это означает, что при данном наборе длин медиан (8 см и 10 см) боковая сторона не может быть равна 12 см.

Случай 2: Медианы к боковым сторонам равны $m_b = 10$ см, а медиана к основанию равна $m_a = 8$ см.

Используем формулы и подставляем значения:

$m_b^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow \frac{2a^2 + b^2}{4} = 100 \Rightarrow 2a^2 + b^2 = 400$ (Уравнение 3)

$m_a^2 = 8^2 = 64 \Rightarrow \frac{4b^2 - a^2}{4} = 64 \Rightarrow 4b^2 - a^2 = 256$ (Уравнение 4)

Проверим, может ли боковая сторона $b$ быть равна 12 см. Подставим $b=12$ в оба уравнения:

Из Уравнения 3:

$2a^2 + 12^2 = 400$

$2a^2 + 144 = 400$

$2a^2 = 400 - 144$

$2a^2 = 256$

$a^2 = 128$

Из Уравнения 4:

$4 \cdot 12^2 - a^2 = 256$

$4 \cdot 144 - a^2 = 256$

$576 - a^2 = 256$

$a^2 = 576 - 256$

$a^2 = 320$

Снова мы получили два разных значения для $a^2$ (128 и 320). Это также означает, что при данном наборе длин медиан боковая сторона не может быть равна 12 см.

Поскольку в обоих возможных случаях предположение о боковой стороне, равной 12 см, приводит к противоречию (различные значения для квадрата основания $a^2$), то боковая сторона данного равнобедренного треугольника не может быть равна 12 см.

Также, для существования треугольника необходимо, чтобы длина основания $a$ была положительной и удовлетворяла неравенству треугольника: $2b > a$. В обоих случаях, если бы значения $a^2$ были согласованы, $a$ было бы положительным и меньше $2b$. Например, в Случае 1, $a = \sqrt{56} \approx 7.48$, что меньше $2 \cdot 12 = 24$. В Случае 2, $a = \sqrt{128} \approx 11.31$, что также меньше $2 \cdot 12 = 24$. Однако, поскольку мы приходим к противоречию уже на этапе определения $a^2$, нет необходимости дополнительно проверять неравенство треугольника.

Ответ:

Нет, его боковая сторона не может быть равна 12 см.

130.

а) Постройте треугольник по данным его стороне $a$ и медианам $m$ и $n$, проведенным к двум другим сторонам.

б) Бексултан построил треугольник $ABC$ и в нем точку $O$ пересечения медиан. Затем он оставил от этого треугольника только точки $A$, $B$, $O$ и предложил Салтанат восстановить треугольник. Она с задачей успешно справилась. Как она это сделала?

в) Малика построила треугольник $ABC$, середины $M$ и $N$ его сторон $AC$ и $BC$ соответственно и точку $K$ пересечения отрезков $AN$ и $BM$. Затем она оставила от этого треугольника только точки $M$, $N$, $K$ и предложила Ержану восстановить треугольник. Как он может решить эту задачу?

а) Постройте треугольник по данным его стороне a и медианам m и n, проведенным к двум другим сторонам.

Дано: Сторона $a$, медианы $m$ и $n$.

Найти: Построить треугольник $ABC$.

Решение:

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Из вершины $B$ провести дугу окружности радиусом $\$\frac{2}{3}m\$$.
3. Из вершины $C$ провести дугу окружности радиусом $\$\frac{2}{3}n\$$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначить $O$. Точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) искомого треугольника.
5. Найти середину $D$ отрезка $BC$.
6. Провести луч $DO$.
7. На луче $DO$ отложить от точки $O$ отрезок $OA'$, равный $2 \cdot OD$, так, чтобы $O$ находилась между $D$ и $A'$. Точка $A'$ является третьей вершиной $A$ искомого треугольника.
8. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен.

б) Бексултан построил треугольник ABC и в нем точку O пересечения медиан. Затем он оставил от этого треугольника только точки A, B, O и предложил Салтанат восстановить треугольник. Она с задачей успешно справилась. Как она это сделала?

Дано: Вершины $A, B$ и центроид $O$ треугольника $ABC$.

Найти: Восстановить треугольник $ABC$ (найти вершину $C$).

Решение:

1. Найти середину $M$ отрезка $AB$.
2. Провести луч $MO$ (линию, проходящую через $M$ и $O$).
3. На луче $MO$ отложить от точки $O$ отрезок $OC'$, равный $2 \cdot MO$, так, чтобы $O$ находилась между $M$ и $C'$. Точка $C'$ является искомой вершиной $C$. Это следует из свойства центроида, который делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Соединить точки $A$, $B$ и $C'$. Полученный треугольник $ABC'$ — искомый.

Ответ: Треугольник восстановлен.

в) Малика построила треугольник ABC, середины M и N его сторон AC и BC соответственно и точку K пересечения отрезков AN и BM. Затем она оставила от этого треугольника только точки M, N, K и предложила Ержану восстановить треугольник. Как он может решить эту задачу?

Дано: Середины $M$ и $N$ сторон $AC$ и $BC$ соответственно, и точка $K$ пересечения отрезков $AN$ и $BM$.

Найти: Восстановить треугольник $ABC$ (найти вершины $A, B, C$).

Решение:

1. Точки $AN$ и $BM$ являются медианами треугольника $ABC$, так как $N$ — середина $BC$ и $M$ — середина $AC$. Следовательно, точка $K$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$.
2. Провести луч $NK$ (линию, проходящую через $N$ и $K$).
3. На луче $NK$ отложить от точки $K$ отрезок $KA'$, равный $2 \cdot NK$, так, чтобы $K$ находилась между $N$ и $A'$. Точка $A'$ является вершиной $A$ искомого треугольника. Это следует из свойства центроида, который делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
4. Провести луч $MK$ (линию, проходящую через $M$ и $K$).
5. На луче $MK$ отложить от точки $K$ отрезок $KB'$, равный $2 \cdot MK$, так, чтобы $K$ находилась между $M$ и $B'$. Точка $B'$ является вершиной $B$ искомого треугольника. Это также следует из свойства центроида.
6. Теперь, имея вершины $A'$ и $B'$, а также середину $M$ стороны $A'C$, можно найти вершину $C$. Для этого провести луч $A'M$. На этом луче отложить от точки $M$ отрезок $MC'$, равный $A'M$, так, чтобы $M$ находилась между $A'$ и $C'$. То есть, точка $C'$ является симметричной точке $A'$ относительно $M$. (Аналогично, можно использовать точку $N$: $C'$ является симметричной точке $B'$ относительно $N$).
7. Соединить точки $A'$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ — искомый.

Ответ: Треугольник восстановлен.

131. Постройте окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3 см, ее диаметр $AD$ и хорды $AB = 4$ см, $DC = 3$ см, лежащие по одну сторону от прямой $AD$. При помощи одной линейки постройте прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$.

Дано:

Окружность с центром $O$ и радиусом $R = 3$ см.

Диаметр окружности $AD$.

Хорды $AB = 4$ см и $DC = 3$ см, расположенные по одну сторону от прямой $AD$.

Найти:

Построить прямую, перпендикулярную $AD$ и проходящую через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$, используя только линейку после построения исходных элементов.

Решение:

Построение окружности и заданных элементов:

1. Отметим произвольную точку $O$ на плоскости — это будет центр окружности. С помощью циркуля построим окружность радиусом $R = 3$ см с центром в точке $O$.

2. Проведем любую прямую через точку $O$. Точки ее пересечения с окружностью обозначим $A$ и $D$. Это будет диаметр $AD$.

3. На окружности отложим хорду $AB = 4$ см. Для этого, установив раствор циркуля равным $4$ см, поместим острие циркуля в точку $A$ и сделаем засечку на окружности. Эту точку обозначим $B$. Проведем отрезок $AB$. Точка $B$ должна быть выбрана так, чтобы она лежала по одну сторону от прямой $AD$.

4. На окружности отложим хорду $DC = 3$ см. Для этого, установив раствор циркуля равным $3$ см (что равно радиусу окружности), поместим острие циркуля в точку $D$ и сделаем засечку на окружности. Эту точку обозначим $C$. Проведем отрезок $DC$. Точка $C$ должна быть выбрана так, чтобы она лежала по ту же сторону от прямой $AD$, что и точка $B$.

Построение перпендикуляра с помощью одной линейки:

Данная часть задачи требует построения перпендикуляра к прямой $AD$ через заданную точку $P$ (пересечение прямых $AB$ и $DC$) с использованием только одной линейки. Это возможно благодаря свойству углов, опирающихся на диаметр, и концепции ортоцентра треугольника.

1. С помощью линейки продлим хорды $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$. Это точка, через которую должна проходить искомая перпендикулярная прямая.

2. С помощью линейки проведем прямую, соединяющую точки $A$ и $C$.

3. С помощью линейки проведем прямую, соединяющую точки $D$ и $B$.

4. Обозначим точку пересечения прямых $AC$ и $DB$ как $H'$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle APD$. Поскольку $AD$ является диаметром окружности, то углы, опирающиеся на диаметр и вершины которых лежат на окружности, являются прямыми.

* Угол $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, прямая $DB$ перпендикулярна прямой $AB$. Поскольку прямая $AB$ является частью прямой $AP$, то $DB \perp AP$. Таким образом, прямая $DB$ является одной из высот треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $D$ на сторону $AP$ (или ее продолжение).

* Угол $\angle ACD = 90^\circ$. Аналогично, прямая $AC$ перпендикулярна прямой $DC$. Поскольку прямая $DC$ является частью прямой $DP$, то $AC \perp DP$. Таким образом, прямая $AC$ является второй высотой треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $A$ на сторону $DP$ (или ее продолжение).

6. Точка $H'$ является точкой пересечения двух высот $DB$ и $AC$ треугольника $\triangle APD$. Следовательно, $H'$ является ортоцентром треугольника $\triangle APD$.

7. Прямая, проходящая через вершину треугольника и его ортоцентр, является третьей высотой этого треугольника. В нашем случае, прямая $PH'$ является третьей высотой треугольника $\triangle APD$, опущенной из вершины $P$ на сторону $AD$.

8. С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $H'$. Эта прямая $PH'$ является искомой прямой, перпендикулярной $AD$ и проходящей через точку $P$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам, используя свойство ортоцентра треугольника и углов, опирающихся на диаметр окружности.