Страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Докажите, что:

а) серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

б) медианы треугольника пересекаются в одной точке;

в) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

г) прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

а) серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем серединные перпендикуляры $l_{AB}$ к стороне $AB$ и $l_{AC}$ к стороне $AC$. Пусть они пересекаются в точке $O$. По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_{AB}$ к стороне $AB$, то $OA = OB$.
Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_{AC}$ к стороне $AC$, то $OA = OC$.
Из этих двух равенств следует, что $OB = OC$.
Поскольку $OB = OC$, точка $O$ равноудалена от вершин $B$ и $C$. Следовательно, по определению серединного перпендикуляра, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Таким образом, все три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке $O$. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Ответ:

б) медианы треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем две медианы: $AD$ к стороне $BC$ (где $D$ - середина $BC$) и $BE$ к стороне $AC$ (где $E$ - середина $AC$). Пусть эти медианы пересекаются в точке $M$.
Соединим точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Из свойств средней линии следует, что $DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$.
Рассмотрим треугольники $ABM$ и $EDM$. Угол $\angle BAM$ (или $\angle EAM$) равен углу $\angle DEM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DE$ и секущей $AE$. Угол $\angle ABM$ (или $\angle DBM$) равен углу $\angle EDM$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DE$ и секущей $BD$.
Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники $ABM$ и $EDM$ подобны по первому признаку подобия (AA-подобие).
Из подобия следует соотношение соответствующих сторон: $\frac{AM}{ME} = \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{DE}$
Так как $DE = \frac{1}{2}AB$, то отношение $\frac{AB}{DE} = 2$. Следовательно, $AM = 2ME$ и $BM = 2MD$. Это означает, что точка $M$ делит медианы $AD$ и $BE$ в отношении $2:1$, считая от вершины.
Теперь рассмотрим медианы $BE$ и $CF$ к стороне $AB$ (где $F$ - середина $AB$). Пусть они пересекаются в точке $M'$. Проводя аналогичные рассуждения, мы обнаружим, что точка $M'$ также делит медиану $BE$ в отношении $2:1$, считая от вершины (т.е. $BM' = 2M'E$). Поскольку на медиане $BE$ может быть только одна точка, которая делит ее в отношении $2:1$ от вершины $B$, то точки $M$ и $M'$ должны совпадать. Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Ответ:

в) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы $AD$ угла $A$ и $BE$ угла $B$. Пусть они пересекаются в точке $I$. По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.
Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $AD$ угла $A$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим это расстояние как $r_1$.
Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $BE$ угла $B$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Обозначим это расстояние как $r_2$.
Из этих двух утверждений следует, что точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника $AB$, $AC$ и $BC$. То есть $r_1 = r_2$.
Поскольку точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, по определению биссектрисы, она должна лежать на биссектрисе угла $C$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ:

г) прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке

Решение
Пусть дан треугольник $ABC$.
Проведем через каждую вершину треугольника $ABC$ прямую, параллельную противоположной стороне.
1. Через вершину $A$ проведем прямую $l_A \parallel BC$. 2. Через вершину $B$ проведем прямую $l_B \parallel AC$. 3. Через вершину $C$ проведем прямую $l_C \parallel AB$.
Эти три прямые образуют новый треугольник $A'B'C'$. Пусть $A' = l_B \cap l_C$, $B' = l_A \cap l_C$, $C' = l_A \cap l_B$.
Рассмотрим четырехугольники, образованные параллельными прямыми:
Четырехугольник $AC'BC$ является параллелограммом, так как $AC' \parallel CB$ (часть $l_A$ и $BC$) и $AC \parallel C'B$ (часть $l_B$ и $AC$). Из свойств параллелограмма следует, что $AC' = CB$.
Четырехугольник $A'BCA$ является параллелограммом, так как $A'B \parallel AC$ (часть $l_C$ и $AC$) и $A'C \parallel AB$ (часть $l_B$ и $AB$). Из свойств параллелограмма следует, что $A'B = AC$.
Четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом, так как $AB \parallel C'C$ и $AC \parallel BC'$. Из свойств параллелограмма следует, что $AB = C'C$.
Теперь рассмотрим стороны треугольника $A'B'C'$: $A'B = AC$ (из $A'BCA$) и $B'C = AC$ (из $ABCB'$). Следовательно, $A'B = B'C$. Поскольку $A$ лежит на отрезке $B'A'$ (из $l_A$), и $AC \parallel B'A'$, а также $BC \parallel A'C'$,
Уточним: Четырехугольник $ACBC'$ - параллелограмм (поскольку $AC \parallel BC'$ и $AB \parallel CC'$). Значит $AC = BC'$. Четырехугольник $ABCC'$ - параллелограмм (поскольку $AB \parallel CC'$ и $BC \parallel AC'$). Значит $AB = CC'$.
Из $AC \parallel B'C'$, $BC \parallel A'C'$, $AB \parallel A'B'$.
Рассмотрим четырехугольник $AC'BC$: $AC' \parallel BC$ и $AB \parallel C'C$. Это параллелограмм, $AC = C'B$. Рассмотрим четырехугольник $ABC'C$: $AB \parallel C'C$ и $AC \parallel B'C$. Это параллелограмм, $AB = C'C$. Рассмотрим четырехугольник $ACBB'$: $AC \parallel B'B$ и $AB \parallel B'C$. Это параллелограмм, $AC = B'B$. Рассмотрим четырехугольник $BCA'C$: $BC \parallel A'C$ и $AC \parallel A'B$. Это параллелограмм, $BC = A'C$.
Из $ACBC'$: $AC = BC'$. Из $ABA'C$: $AC = A'B$. Следовательно, $BC' = A'B$. Точка $A$ является серединой стороны $B'C'$ нового треугольника $A'B'C'$.
Аналогично, точка $B$ является серединой стороны $A'C'$, и точка $C$ является серединой стороны $A'B'$.
Теперь рассмотрим высоты треугольника $ABC$. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ перпендикулярна $BC$. По построению $B'C' \parallel BC$. Следовательно, эта высота перпендикулярна и $B'C'$. Поскольку $A$ является серединой $B'C'$, эта высота является серединным перпендикуляром к стороне $B'C'$ треугольника $A'B'C'$.
Аналогично, высота из вершины $B$ к стороне $AC$ является серединным перпендикуляром к стороне $A'C'$ треугольника $A'B'C'$. И высота из вершины $C$ к стороне $AB$ является серединным перпендикуляром к стороне $A'B'$ треугольника $A'B'C'$.
Согласно доказательству в пункте а), серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, прямые, содержащие высоты треугольника $ABC$ (которые являются серединными перпендикулярами треугольника $A'B'C'$), также пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Ответ:

124.

a) Точка $O$ – центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Найдите $\angle C$ треугольника, если $\angle AOB = 128^\circ$.

б) Высота равностороннего треугольника равна 4,2 см. Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его стороны.

a)

Дано:

Точка $O$ - центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.

$\angle AOB = 128^\circ$.

Найти:

$\angle C$.

Решение:

Так как точка $O$ - центр вписанной окружности, она является точкой пересечения биссектрис треугольника. Следовательно, $AO$ - биссектриса $\angle A$, а $BO$ - биссектриса $\angle B$.

Рассмотрим $\triangle AOB$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$.

Подставим известные значения и выразим углы через углы треугольника $ABC$:

$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + 128^\circ = 180^\circ$.

$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 128^\circ$.

$\frac{\angle A + \angle B}{2} = 52^\circ$.

$\angle A + \angle B = 2 \cdot 52^\circ$.

$\angle A + \angle B = 104^\circ$.

Сумма углов в $\triangle ABC$ также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим найденное значение $\angle A + \angle B$:

$104^\circ + \angle C = 180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - 104^\circ$.

$\angle C = 76^\circ$.

Ответ: $76^\circ$.

б)

Дано:

Равносторонний треугольник.

Высота $h = 4.2 \, \text{см}$.

Перевод в СИ:

$h = 4.2 \, \text{см} = 0.042 \, \text{м}$.

Найти:

Расстояние от точки пересечения биссектрис до его стороны (радиус вписанной окружности $r$).

Решение:

В равностороннем треугольнике точка пересечения биссектрис (инцентр) совпадает с точкой пересечения медиан (центроид) и высот (ортоцентр).

Высота равностороннего треугольника также является его медианой.

Центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Расстояние от центроида до стороны равно одной трети длины медианы (высоты).

Расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны треугольника является радиусом вписанной окружности, $r$.

Таким образом, $r = \frac{1}{3}h$.

$r = \frac{1}{3} \cdot 4.2 \, \text{см}$.

$r = 1.4 \, \text{см}$.

Ответ: $1.4 \, \text{см}$.

125. Через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая $PK$, параллельная стороне $AC$ ($P \in AB$, $K \in BC$).

Докажите, что $PK = AP + KC$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Окружность вписана в треугольник $ABC$, пусть $I$ - её центр.

Прямая $RK$ проходит через центр $I$.

Прямая $RK$ параллельна стороне $AC$ ($RK \parallel AC$).

Точка $P$ лежит на стороне $AB$ ($P \in AB$).

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ ($K \in BC$).

Найти:

Доказать, что $RK = AP + KC$.

Решение:

1. Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Проведем отрезки $AI$ и $CI$, которые являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.

2. Так как $RK \parallel AC$ по условию, и $AI$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle PIA = \angle IAC$.

3. Поскольку $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то $\angle PAI = \angle IAC$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle PIA = \angle PAI$.

5. В треугольнике $API$, если два угла равны, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AP = PI$.

6. Аналогично, рассмотрим прямые $RK \parallel AC$ и секущую $CI$. Накрест лежащие углы равны: $\angle KIC = \angle ICA$.

7. Поскольку $CI$ является биссектрисой угла $\angle BCA$, то $\angle KCI = \angle ICA$.

8. Из пунктов 6 и 7 следует, что $\angle KIC = \angle KCI$.

9. В треугольнике $CIK$, если два угла равны, то треугольник является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $IK = KC$.

10. Отрезок $RK$ состоит из двух отрезков $PI$ и $IK$, так как точка $I$ лежит на отрезке $RK$. То есть $RK = PI + IK$.

11. Подставим в это равенство найденные соотношения из пунктов 5 и 9: $RK = AP + KC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $RK = AP + KC$

126. a) Установите вид треугольника, в котором одна из его вершин и центры описанной и вписанной окружностей лежат на одной прямой.

б) Найдите наименьший радиус круга, из которого можно вырезать равносторонний треугольник с периметром 60 см.

a) Установите вид треугольника, в котором одна из его вершин и центры описанной и вписанной окружностей лежат на одной прямой.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр описанной окружности как $O$, а центр вписанной окружности как $I$. По условию, одна из вершин треугольника, например $A$, и центры $O$ и $I$ лежат на одной прямой.

Центр вписанной окружности $I$ всегда находится на биссектрисах углов треугольника. Следовательно, прямая, проходящая через вершину $A$ и центр вписанной окружности $I$, является биссектрисой угла $A$.

Если центр описанной окружности $O$ также лежит на этой прямой $AI$, то это означает, что биссектриса угла $A$ проходит через центр описанной окружности. Центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника ($OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности). Кроме того, центр $O$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника.

Если биссектриса угла $A$ (прямая $AI$) содержит центр описанной окружности $O$, то эта прямая должна быть осью симметрии для треугольника. Для того чтобы биссектриса угла $A$ была осью симметрии, треугольник должен быть равнобедренным с основанием $BC$, то есть стороны $AB$ и $AC$ должны быть равны. В этом случае, биссектриса $AI$ также является медианой, высотой и серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Оба центра $I$ и $O$ лежат на этой оси симметрии.

Если треугольник является равносторонним, то все его медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей, а также центр тяжести и ортоцентр, совпадают в одной точке. В этом случае, любая вершина, $A$, $I$, и $O$ (которые представляют одну и ту же точку) лежат на одной прямой.

Таким образом, треугольник, удовлетворяющий данному условию, является равнобедренным.

Ответ: Равнобедренный треугольник.

б) Найдите наименьший радиус круга, из которого можно вырезать равносторонний треугольник с периметром 60 см.

Дано

Равносторонний треугольник.

Периметр $P = 60 \text{ см}$.

Перевод в СИ

$P = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$.

Найти:

Наименьший радиус круга $R$.

Решение

1. Наименьший круг, из которого можно вырезать равносторонний треугольник, — это окружность, описанная вокруг этого треугольника. Радиус этого круга равен радиусу описанной окружности $R$.

2. Сначала найдем длину стороны $a$ равностороннего треугольника. Периметр равностороннего треугольника равен произведению трех сторон:

$P = 3a$

Отсюда выразим сторону $a$:

$a = \frac{P}{3}$

Подставим значение периметра:

$a = \frac{60 \text{ см}}{3}$

$a = 20 \text{ см}$

3. Радиус описанной окружности $R$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение $a$:

$R = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ см}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \text{ см}$

$R = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.