Страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называют средней линией трапеции?

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

1. Что называют средней линией трапеции?

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Дано: Трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M - середина боковой стороны AB, точка N - середина боковой стороны CD. Отрезок MN - средняя линия трапеции.

Не требуется перевод в СИ, так как это геометрическая задача без числовых данных.

Найти: Сформулировать теорему о средней линии трапеции и доказать ее.

Решение

Формулировка теоремы: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

То есть, если MN - средняя линия трапеции ABCD с основаниями AD и BC, то $MN \parallel AD$, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точка M - середина боковой стороны AB, точка N - середина боковой стороны CD. Отрезок MN - средняя линия трапеции.

1. Проведем прямую через точку M, параллельную основанию AD (поскольку AD $\parallel$ BC, эта прямая будет также параллельна BC). Пусть эта прямая пересечет боковую сторону CD в точке N'.

2. Проведем диагональ BD. Пусть точка K будет точкой пересечения диагонали BD и прямой MN'.

3. Рассмотрим треугольник ABD. Точка M - середина стороны AB (по условию). Отрезок MK лежит на прямой, проходящей через M и параллельной AD (по построению). По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника: если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает вторую сторону в её середине, то она пересекает и третью сторону в её середине), точка K является серединой стороны BD. Кроме того, по этой же теореме (или как часть средней линии треугольника), длина отрезка $MK = \frac{1}{2} AD$.

4. Рассмотрим треугольник BCD. Точка K - середина стороны BD (доказано в п.3). Отрезок KN' лежит на прямой, проходящей через K и параллельной BC (по построению, т.к. MN' $\parallel$ BC). По теореме Фалеса, точка N' является серединой стороны CD.

5. По условию, точка N также является серединой стороны CD. Поскольку N' и N обе являются серединами одного и того же отрезка CD, то точки N' и N совпадают.

6. Таким образом, средняя линия MN, соединяющая середины сторон AB и CD, совпадает с отрезком MN', который по построению был параллелен основаниям трапеции. Следовательно, средняя линия трапеции параллельна её основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

7. Теперь найдем длину средней линии. Из п.3 мы знаем, что $MK = \frac{1}{2} AD$. Из п.4, так как N' совпадает с N, то в треугольнике BCD отрезок KN является отрезком, соединяющим середину BD (K) с серединой CD (N), и он параллелен BC. Значит, $KN = \frac{1}{2} BC$.

8. Средняя линия MN состоит из двух отрезков MK и KN, поскольку M, K, N лежат на одной прямой. Значит, $MN = MK + KN$.

9. Подставляя значения, получаем: $MN = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC = \frac{AD + BC}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

115. Концы отрезка, расположенного по одну сторону от прямой, удалены от нее на расстояния 6 см и 10 см. На каком расстоянии от этой прямой находится середина этого отрезка?

Дано:

Расстояние от одного конца отрезка до прямой ($d_1$) = 6 см

Расстояние от другого конца отрезка до прямой ($d_2$) = 10 см

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$d_2 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от середины отрезка до прямой ($d_M$).

Решение:

Рассмотрим данную ситуацию. Пусть прямая, относительно которой измеряются расстояния, является горизонтальной осью (например, осью X) в декартовой системе координат. Поскольку концы отрезка расположены по одну сторону от прямой, их ординаты (y-координаты), представляющие собой расстояния до прямой, будут иметь один и тот же знак.

Пусть координаты одного конца отрезка будут $(x_1, d_1)$ и другого конца отрезка $(x_2, d_2)$.

Середина отрезка с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ имеет координаты $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$. В нашем случае, y-координаты - это расстояния до прямой.

Таким образом, если $M$ - середина отрезка, то ее координаты будут $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{d_1 + d_2}{2})$.

Расстояние от середины отрезка до прямой (оси X) будет определяться ее ординатой (y-координатой).

Следовательно, искомое расстояние $d_M$ вычисляется как среднее арифметическое расстояний от концов отрезка до прямой:

$d_M = \frac{d_1 + d_2}{2}$

Подставим известные числовые значения:

$d_M = \frac{6 \text{ см} + 10 \text{ см}}{2}$

$d_M = \frac{16 \text{ см}}{2}$

$d_M = 8 \text{ см}$

Если требуется ответ в системе СИ, используем значения, переведенные в метры:

$d_M = \frac{0.06 \text{ м} + 0.10 \text{ м}}{2}$

$d_M = \frac{0.16 \text{ м}}{2}$

$d_M = 0.08 \text{ м}$

Ответ:

Середина отрезка находится на расстоянии 8 см от этой прямой (или 0.08 м в системе СИ).

116.

a) Докажите, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

б) Большее основание трапеции имеет длину 14 см. Найдите длину ее меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 3 см.

а) Докажите, что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и DC. Проведем среднюю линию MN, где M - середина стороны AD, а N - середина стороны BC.

Рассмотрим диагональ AC. Пусть средняя линия MN пересекает диагональ AC в точке P.

В треугольнике ADC:
Точка M является серединой стороны AD (по определению средней линии).
Средняя линия трапеции MN параллельна ее основаниям AB и DC. Следовательно, отрезок MP, являющийся частью средней линии MN, параллелен основанию DC.
По теореме Фалеса (или обратной теореме о средней линии треугольника): если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине.
Таким образом, в треугольнике ADC, поскольку MP || DC и M - середина AD, то P является серединой стороны AC.

Аналогично, рассмотрим диагональ BD. Пусть средняя линия MN пересекает диагональ BD в точке Q.

В треугольнике BDC:
Точка N является серединой стороны BC (по определению средней линии).
Отрезок NQ, являющийся частью средней линии MN, параллелен основанию DC.
По той же теореме, в треугольнике BDC, поскольку NQ || DC и N - середина BC, то Q является серединой стороны BD.

Следовательно, средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам.

Ответ:

б) Большее основание трапеции имеет длину 14 см. Найдите длину ее меньшего основания, если расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 3 см.

Дано:

большее основание трапеции $a = 14 \text{ см}$

расстояние между серединами диагоналей трапеции $k = 3 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$k = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

меньшее основание трапеции $b$

Решение:

Расстояние между серединами диагоналей трапеции выражается формулой:

$k = \frac{|a - b|}{2}$

По условию, $a$ - большее основание, следовательно $a > b$. Тогда формула принимает вид:

$k = \frac{a - b}{2}$

Подставим известные значения в формулу:

$3 = \frac{14 - b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$3 \cdot 2 = 14 - b$

$6 = 14 - b$

Перенесем $b$ в левую часть, а 6 в правую часть уравнения:

$b = 14 - 6$

$b = 8 \text{ см}$

Ответ: $8 \text{ см}$

117. Дана трапеция с основаниями 5 см и 14 см. Разделите одну из боковых сторон на 3 равные части и из точек деления проведите к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Найдите длины этих отрезков.

Дано:

Трапеция с основаниями $b_1 = 5 \text{ см}$ и $b_2 = 14 \text{ см}$.

Одна из боковых сторон разделена на $n = 3$ равные части.

Из точек деления проведены отрезки, параллельные основаниям.

Перевод в СИ:

$b_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b_2 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Длины этих отрезков ($L_1$, $L_2$).

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC и AD, где $BC = b_1 = 5 \text{ см}$ (меньшее основание) и $AD = b_2 = 14 \text{ см}$ (большее основание). Пусть боковая сторона AB разделена на три равные части точками P и Q, так что AP = PQ = QB.

Из точек P и Q проведены отрезки PR и QS, параллельные основаниям (точки R и S лежат на другой боковой стороне CD).

Для нахождения длин этих отрезков воспользуемся свойством отрезков, параллельных основаниям трапеции и проходящих через точки, делящие боковую сторону на равные части. Если боковая сторона трапеции разделена на $n$ равных частей, то длины отрезков, параллельных основаниям и проведенных через эти точки, образуют арифметическую прогрессию.

Длина $k$-го отрезка $L_k$ (считая от меньшего основания) может быть найдена по формуле:

$L_k = b_1 + k \cdot \frac{b_2 - b_1}{n}$

В нашем случае, $b_1 = 5 \text{ см}$, $b_2 = 14 \text{ см}$, и боковая сторона разделена на $n = 3$ равные части. Нам нужно найти длины двух отрезков, соответствующих $k=1$ и $k=2$.

1. Длина первого отрезка $L_1$ (который находится ближе к меньшему основанию, для него $k=1$):

$L_1 = 5 + 1 \cdot \frac{14 - 5}{3} = 5 + \frac{9}{3} = 5 + 3 = 8 \text{ см}$

2. Длина второго отрезка $L_2$ (который находится ближе к большему основанию, для него $k=2$):

$L_2 = 5 + 2 \cdot \frac{14 - 5}{3} = 5 + 2 \cdot \frac{9}{3} = 5 + 6 = 11 \text{ см}$

Это свойство легко доказывается, если провести через одну из вершин трапеции (например, вершину меньшего основания) прямую, параллельную одной из боковых сторон. Тогда трапеция разобьется на параллелограмм и треугольник. Длины частей отрезков, лежащих в треугольнике, будут находиться как соответствующие отрезки в подобных треугольниках, а общая длина будет складываться из постоянной части (длины меньшего основания) и меняющейся части, образующей арифметическую прогрессию.

Ответ:

Длины отрезков составляют $8 \text{ см}$ и $11 \text{ см}$.