Страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Какие отрезки называются пропорциональными?

3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

Формулировка: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Дано: Две произвольные прямые $a$ и $b$. Пусть прямая $a$ пересекается параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3, \dots, l_n$ в точках $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ соответственно, так что отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\dots$, $A_{n-1}A_n$ равны между собой. Прямая $b$ пересекается теми же параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3, \dots, l_n$ в точках $B_1, B_2, B_3, \dots, B_n$ соответственно.

Найти: Доказать, что отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$, $\dots$, $B_{n-1}B_n$ равны между собой. То есть, $B_1B_2 = B_2B_3 = \dots = B_{n-1}B_n$.

Решение: Докажем теорему для двух соседних отрезков. Пусть $A_1A_2 = A_2A_3$. Требуется доказать, что $B_1B_2 = B_2B_3$. 1. Через точку $B_1$ проведем прямую $B_1M$, параллельную прямой $a$. Точка $M$ лежит на прямой $l_2$. 2. Через точку $B_2$ проведем прямую $B_2N$, параллельную прямой $a$. Точка $N$ лежит на прямой $l_3$. 3. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2MB_1$. Так как $A_1A_2 \parallel B_1M$ (по построению) и $A_1B_1 \parallel A_2M$ (как отрезки параллельных прямых $l_1$ и $l_2$), то $A_1A_2MB_1$ является параллелограммом. Следовательно, $A_1A_2 = B_1M$. 4. Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_2A_3NB_2$. Он является параллелограммом, поскольку $A_2A_3 \parallel B_2N$ (по построению) и $A_2B_2 \parallel A_3N$ (как отрезки параллельных прямых $l_2$ и $l_3$). Следовательно, $A_2A_3 = B_2N$. 5. По условию, $A_1A_2 = A_2A_3$. Из пунктов 3 и 4 следует, что $B_1M = B_2N$. 6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle B_1B_2M$ и $\triangle B_2B_3N$. * Углы $\angle MB_1B_2$ и $\angle NB_2B_3$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $B_1M \parallel B_2N$ (обе параллельны прямой $a$) и секущей $b$. * Углы $\angle B_1MB_2$ и $\angle B_2NB_3$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $l_2 \parallel l_3$ и секущей $MN$. * Стороны $B_1M$ и $B_2N$ равны (доказано в пункте 5). 7. Таким образом, треугольники $\triangle B_1B_2M$ и $\triangle B_2B_3N$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по критерию УСУ). 8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $B_1B_2 = B_2B_3$. 9. Повторяя это рассуждение для каждой пары смежных отрезков на прямой $a$, мы можем доказать, что все отрезки, отсекаемые на прямой $b$ параллельными прямыми, равны между собой.

Ответ: Сформулировано и доказано выше.

2. Какие отрезки называются пропорциональными?

Отрезки называются пропорциональными, если отношение их длин равно отношению длин других отрезков. Более формально, отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A'B'$ и $C'D'$, если отношение длины отрезка $AB$ к длине отрезка $A'B'$ равно отношению длины отрезка $CD$ к длине отрезка $C'D'$. Это можно записать как: $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} $

Ответ: Отрезки, отношение длин которых равно отношению длин других отрезков.

3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие две произвольные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Точнее, если прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны и пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно, то справедливо следующее отношение: $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ Эта теорема также является обобщением теоремы Фалеса. Частным случаем этой теоремы является свойство биссектрисы угла треугольника, а также теорема о пропорциональных отрезках, отсекаемых прямой, параллельной стороне треугольника: прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на этих сторонах (или их продолжениях) пропорциональные отрезки. То есть, если в треугольнике $ABC$ проведена прямая $DE \parallel BC$ ($D$ на $AB$, $E$ на $AC$), то $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $.

Ответ: Сформулировано выше.

103.

a) Найдите пропорциональные отрезки (рисунок 59), отношение которых равно $1 : \frac{2}{3}$.

б) Пропорциональны ли отрезки $AB$ и $CD$ отрезкам $MN$ и $PK$, если: 1) $AB = 0,8$ см, $CD = 4$ см, $MN = 0,3$ см, $PK = 1,5$ см; 2) $AB = 7$ м, $CD = 2$ м, $MN = 3$ м, $PK = 10,5$ м? Если пропорциональны, то составьте пропорцию.

в) Найдите неизвестное значение $x$ из пропорции: 1) $5 : x = 4 : 7$; 2) $5 : 4 = 2x : 13$; 3) $2 : 3 = 11 : (x+3)$.

а) Для решения данной задачи необходим рисунок 59, который отсутствует в задании. Без него невозможно определить длины отрезков и найти среди них пропорциональные с заданными отношениями.

Ответ: Решение невозможно без рисунка 59.

б) Два отрезка $AB$ и $CD$ считаются пропорциональными двум другим отрезкам $MN$ и $PK$, если отношение длин первой пары отрезков равно отношению длин второй пары. То есть, если выполняется равенство $\frac{AB}{CD} = \frac{MN}{PK}$. Проверим это условие для каждого случая.

1) Дано: $AB = 0,8$ см, $CD = 4$ см, $MN = 0,3$ см, $PK = 1,5$ см.

Найдем отношение длин отрезков $AB$ и $CD$: $\frac{AB}{CD} = \frac{0,8}{4} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$.

Найдем отношение длин отрезков $MN$ и $PK$: $\frac{MN}{PK} = \frac{0,3}{1,5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Поскольку отношения равны ($\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$), отрезки пропорциональны. Пропорцию можно записать как $AB : CD = MN : PK$, или в числах: $0,8 : 4 = 0,3 : 1,5$.

2) Дано: $AB = 7$ м, $CD = 2$ м, $MN = 3$ м, $PK = 10,5$ м.

Найдем отношение длин отрезков $AB$ и $CD$: $\frac{AB}{CD} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Найдем отношение длин отрезков $MN$ и $PK$: $\frac{MN}{PK} = \frac{3}{10,5} = \frac{30}{105} = \frac{2 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{2}{7}$.

Поскольку отношения не равны ($\frac{7}{2} \neq \frac{2}{7}$), данные отрезки не являются пропорциональными.

Ответ: 1) Да, отрезки пропорциональны. Пропорция: $0,8 : 4 = 0,3 : 1,5$. 2) Нет, отрезки не пропорциональны.

в) Для нахождения неизвестного значения $x$ из пропорции вида $a : b = c : d$ используется ее основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

1) $5 : x = 4 : 7$

Применяем основное свойство пропорции: $5 \cdot 7 = x \cdot 4$.

$35 = 4x$.

$x = \frac{35}{4} = 8,75$.

Ответ: $8,75$.

2) $5 : 4 = 2x : 13$

Применяем основное свойство пропорции: $5 \cdot 13 = 4 \cdot (2x)$.

$65 = 8x$.

$x = \frac{65}{8} = 8,125$.

Ответ: $8,125$.

3) $2 : 3 = 11 : (x + 3)$

Применяем основное свойство пропорции: $2 \cdot (x + 3) = 3 \cdot 11$.

$2x + 6 = 33$.

$2x = 33 - 6$.

$2x = 27$.

$x = \frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: $13,5$.

104. a) Разделите данный отрезок при помощи циркуля и линейки на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5.

б) На отрезке $AB$ найдите точку $C$ такую, чтобы $AC : CB = 2 : 3$.

в) На прямой $AB$ найдите точку $D$ такую, чтобы $AD : DB = 4 : 3$. Рассмотрите все возможные случаи расположения точек $A, B$ и $D$.

а) 1)

Для деления данного отрезка $AB$ на 3 равные части с помощью циркуля и линейки используется метод, основанный на теореме Фалеса.

Порядок действий:

1. Из точки $A$ проводится произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На луче $l$ с помощью циркуля откладываются три последовательных равных отрезка произвольной длины. Обозначим их концы как $A_1, A_2, A_3$, так что $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.
3. Конец последнего отрезка, точка $A_3$, соединяется с точкой $B$ прямой линией.
4. Через точки $A_1$ и $A_2$ проводятся прямые, параллельные отрезку $A_3B$. Эти прямые строятся с помощью циркуля и линейки, например, путем построения равных соответственных углов.
5. Точки пересечения этих параллельных прямых с отрезком $AB$ (назовем их $C_1$ и $C_2$) и разделят отрезок $AB$ на три равные части.

Согласно теореме Фалеса, поскольку параллельные прямые отсекают на одной стороне угла (луче $l$) равные отрезки ($AA_1=A_1A_2=A_2A_3$), они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла (отрезке $AB$). Таким образом, $AC_1 = C_1C_2 = C_2B$.

Ответ: Построение выполнено, отрезок разделен на 3 равные части.

а) 2)

Деление отрезка $AB$ на 5 равных частей выполняется аналогично предыдущему пункту, но на вспомогательном луче откладывается 5 равных отрезков.

Порядок действий:

1. Из точки $A$ проводится произвольный луч $l$.
2. На луче $l$ откладываются пять последовательных равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$.
3. Точка $A_5$ соединяется с точкой $B$.
4. Через точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ проводятся прямые, параллельные отрезку $A_5B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ разделят его на пять равных частей.

Ответ: Построение выполнено, отрезок разделен на 5 равных частей.

б)

Задача найти на отрезке $AB$ точку $C$ такую, чтобы $AC : CB = 2 : 3$, сводится к делению отрезка $AB$ на $2+3=5$ равных частей. Искомая точка $C$ будет являться концом второй части, если считать от точки $A$.

Построение:

1. Проведем из точки $A$ произвольный луч $l$.
2. Отложим на нем 5 равных отрезков произвольной длины, получив точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$.
3. Соединим точку $A_5$ с точкой $B$.
4. Отношение $2:3$ означает, что нам нужна точка, соответствующая концу второго отрезка на луче $l$, то есть точка $A_2$. Проведем через точку $A_2$ прямую, параллельную прямой $A_5B$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и будет искомой точкой $C$.

По теореме Фалеса, построенная точка $C$ делит отрезок $AB$ в том же отношении, в котором точка $A_2$ делит отрезок $AA_5$. Так как $AA_2$ состоит из двух частей, а $A_2A_5$ из трех, то $AC : CB = AA_2 : A_2A_5 = 2:3$.

Ответ: Точка $C$ построена. Она делит отрезок $AB$ в отношении $2:3$.

в)

Нужно найти на прямой $AB$ точку $D$ такую, чтобы $AD : DB = 4 : 3$. Поскольку точка $D$ может лежать как на отрезке $AB$, так и вне его, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$.

В этом случае точка $D$ делит отрезок $AB$ на две части, отношение которых равно $4:3$. Значит, весь отрезок $AB$ состоит из $4+3=7$ равных частей. Точка $D$ находится на расстоянии 4 таких частей от точки $A$.

Построение:

1. Делим отрезок $AB$ на 7 равных частей, используя метод из пункта а). Для этого на вспомогательном луче из точки $A$ откладываем 7 равных отрезков ($AA_1, \dots, A_6A_7$).
2. Соединяем $A_7$ с $B$.
3. Проводим прямую через $A_4$ (четвертую точку на луче) параллельно $A_7B$.
4. Точка пересечения этой прямой с $AB$ является искомой точкой $D_1$. По теореме Фалеса, $AD_1 : D_1B = AA_4 : A_4A_7 = 4:3$.

Случай 2: Точка $D$ лежит вне отрезка $AB$.

Из условия $AD : DB = 4:3$ следует, что $AD > DB$. Это возможно только если точка $B$ лежит между $A$ и $D$. (Если бы $A$ лежала между $D$ и $B$, то $DB = DA + AB > DA$, что противоречит отношению $4:3$).

Если точки расположены в порядке $A-B-D$, то $AB = AD - DB$. Если принять длину одной пропорциональной части за $x$, то $AD=4x$ и $DB=3x$. Тогда $AB = 4x - 3x = x$. Отсюда следует, что $DB = 3 \cdot AB$.

Построение:

1. Продолжаем прямую $AB$ за точку $B$.
2. С помощью циркуля, раствор которого равен длине отрезка $AB$, откладываем от точки $B$ на продолжении прямой три отрезка подряд.
3. Конечная точка (назовем ее $D_2$) и будет искомой. Для нее $AD_2 = AB + BD_2 = AB + 3 \cdot AB = 4 \cdot AB$, а $BD_2 = 3 \cdot AB$. Следовательно, $AD_2 : BD_2 = 4:3$.

Ответ: Существует две точки, удовлетворяющие условию. Первая точка $D_1$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $4:3$, считая от $A$. Вторая точка $D_2$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ на расстоянии $3 \cdot AB$ от точки $B$.