Страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

110. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см, 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Дано:
Стороны данного треугольника: $a = 8$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см.

Перевод в СИ:
$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$c = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

Найти:
Периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника ($P'$).

Решение:
Пусть данный треугольник обозначен $ABC$, а его стороны $a$, $b$, $c$. Периметр данного треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c$
$P = 8 \text{ см} + 5 \text{ см} + 7 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, называется серединным треугольником. Его стороны являются средними линиями исходного треугольника.

Согласно теореме о средней линии треугольника, средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Таким образом, если стороны исходного треугольника равны $a, b, c$, то стороны нового треугольника ($a', b', c'$) будут равны половинам соответствующих сторон исходного треугольника:
$a' = \frac{a}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$
$b' = \frac{b}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5 \text{ см}$
$c' = \frac{c}{2} = \frac{7 \text{ см}}{2} = 3.5 \text{ см}$

Периметр нового треугольника $P'$ равен сумме длин его сторон:
$P' = a' + b' + c'$
$P' = 4 \text{ см} + 2.5 \text{ см} + 3.5 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Также можно использовать свойство, что периметр серединного треугольника равен половине периметра исходного треугольника:
$P' = \frac{P}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см}$

Ответ:
10 см

111. Найдите периметр прямоугольника, вписанного в равнобедренный прямоугольный треугольник, если:

а) катет треугольника 6 см (рисунок 67, а);

б) гипотенуза треугольника равна 45 см (рисунок 67, б).

Рисунок 67

a) катет треугольника 6 см (рисунок 67, а)

Дано:

Треугольник $ABC$ - равнобедренный прямоугольный ($ \angle A = 90^\circ $, $ AB = AC $)

Длина катета $AB = AC = 6$ см.

Прямоугольник $AMNK$ вписан в треугольник $ABC$, где $A$ - вершина прямоугольника, $M$ лежит на $AB$, $K$ на $AC$, $N$ на $BC$.

Перевод в СИ:

$AB = AC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Периметр прямоугольника $P_{AMNK}$

Решение:

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным с прямым углом $A$, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. То есть, $ \angle B = \angle C = 45^\circ $.

Пусть $AM = x$ и $AK = y$ - длины сторон прямоугольника $AMNK$.

Периметр прямоугольника $P_{AMNK} = 2(x + y)$.

Рассмотрим треугольник $BMN$. Поскольку $AMNK$ - прямоугольник, $ \angle AMN = 90^\circ $. Угол $ \angle B = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике $BMN$ равна $180^\circ$, поэтому $ \angle MNB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $BMN$ является равнобедренным прямоугольным, и $MB = MN$. Так как $MN = AK$ (противоположные стороны прямоугольника) и $AK = y$, то $MB = y$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $CNK$. Поскольку $AMNK$ - прямоугольник, $ \angle AKN = 90^\circ $. Угол $ \angle C = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике $CNK$ равна $180^\circ$, поэтому $ \angle KNC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $CNK$ является равнобедренным прямоугольным, и $KC = NK$. Так как $NK = AM$ (противоположные стороны прямоугольника) и $AM = x$, то $KC = x$.

Длина катета $AC$ треугольника $ABC$ складывается из отрезков $AK$ и $KC$: $AC = AK + KC$. Подставляя значения, получаем $AC = y + x$.

По условию задачи, длина катета $AC = 6$ см. Следовательно, $x + y = 6$ см.

Подставляем это значение в формулу для периметра прямоугольника: $P_{AMNK} = 2(x + y) = 2(6) = 12$ см.

Ответ: 12 см

б) гипотенуза треугольника равна 45 см (рисунок 67, б)

Дано:

Треугольник $DEF$ - равнобедренный прямоугольный ($ \angle D = 90^\circ $, $ DE = DF $)

Длина гипотенузы $EF = 45$ см.

Прямоугольник $SQPT$ вписан в треугольник $DEF$, где $S$ лежит на $DE$, $T$ на $DF$, $Q$ и $P$ на $EF$.

Перевод в СИ:

$EF = 45 \text{ см} = 0.45 \text{ м}$

Найти:

Периметр прямоугольника $P_{SQPT}$

Решение:

Поскольку треугольник $DEF$ является равнобедренным прямоугольным с прямым углом $D$, углы при гипотенузе равны $45^\circ$. То есть, $ \angle E = \angle F = 45^\circ $.

Пусть $SQ = PT = h$ (высота прямоугольника) и $QP = ST = b$ (основание прямоугольника).

Периметр прямоугольника $P_{SQPT} = 2(b + h)$.

Рассмотрим треугольник $ESQ$. Он является прямоугольным с прямым углом при $Q$ (поскольку $SQ$ перпендикулярна $EF$). Так как $ \angle E = 45^\circ $, то $ \angle ESQ = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $ESQ$ является равнобедренным прямоугольным, и $EQ = SQ = h$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $TFP$. Он является прямоугольным с прямым углом при $P$ (поскольку $TP$ перпендикулярна $EF$). Так как $ \angle F = 45^\circ $, то $ \angle FTP = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Таким образом, треугольник $TFP$ является равнобедренным прямоугольным, и $FP = TP = h$.

Длина гипотенузы $EF$ треугольника $DEF$ складывается из отрезков $EQ$, $QP$ и $PF$: $EF = EQ + QP + PF$.

Подставляя известные значения, получаем $EF = h + b + h = 2h + b$.

По условию задачи, $EF = 45$ см. Следовательно, $2h + b = 45$.

Выразим $b$ через $h$: $b = 45 - 2h$.

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу периметра прямоугольника: $P_{SQPT} = 2(b + h) = 2((45 - 2h) + h) = 2(45 - h)$.

Периметр прямоугольника зависит от его высоты $h$. Поскольку в задаче не указаны дополнительные условия (например, максимальная площадь или что прямоугольник является квадратом), для получения уникального ответа обычно предполагается, что вписанный прямоугольник является квадратом (наиболее симметричный случай, часто подразумеваемый в таких задачах, когда иное не указано).

Предположим, что прямоугольник $SQPT$ является квадратом, то есть его стороны равны: $h = b$.

Подставим $h = b$ в уравнение $2h + b = 45$: $2h + h = 45 \implies 3h = 45 \implies h = 15$ см.

Тогда $b = 15$ см.

Периметр квадрата: $P_{SQPT} = 2(15 + 15) = 2(30) = 60$ см.

Ответ: 60 см

112. В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $ED$ – средняя линия, параллельная $AC$, $DF$ – средняя линия, параллельная $AB$. Докажите, что треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный, со сторонами $AB$ и $BC$ равными ($AB = BC$).

$ED$ – средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AC$.

$DF$ – средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $AB$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача по геометрии и не содержит числовых значений).

Найти:

Доказать, что треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, он равнобедренный, и $AB = BC$. Из этого следует, что углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

По определению средней линии треугольника, если $ED$ – средняя линия, параллельная $AC$, то точки $E$ и $D$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, $E$ – середина $AB$, и $D$ – середина $BC$.

Аналогично, если $DF$ – средняя линия, параллельная $AB$, то точки $D$ и $F$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Это подтверждает, что $D$ – середина $BC$, а также $F$ – середина $AC$.

Теперь рассмотрим треугольники $BED$ и $DFC$.

1. Сравнение углов $\angle BED$ и $\angle DFC$: Так как $ED \parallel AC$ (по условию), то $\angle BED = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $ED$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как $DF \parallel AB$ (по условию), то $\angle DFC = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $AB$ и секущей $AC$. Из этого следует, что $\angle BED = \angle DFC$ (поскольку оба равны $\angle BAC$).

2. Сравнение углов $\angle BDE$ и $\angle FCD$: Так как $ED \parallel AC$ (по условию), то $\angle BDE = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $ED$ и $AC$ и секущей $BC$. Угол $\angle FCD$ является тем же углом, что и $\angle BCA$ (угол $C$ треугольника $ABC$). Следовательно, $\angle BDE = \angle FCD$ (так как оба равны $\angle BCA$).

3. Сравнение сторон $BD$ и $DC$: Поскольку $D$ – середина стороны $BC$ (из определения средней линии), то $BD = DC$.

Теперь мы можем применить признак равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них (AAS - Angle-Angle-Side).

В $\triangle BED$: * $\angle BED$ * $\angle BDE$ * Сторона $BD$ (лежит напротив угла $\angle BED$)

В $\triangle DFC$: * $\angle DFC$ * $\angle FCD$ * Сторона $DC$ (лежит напротив угла $\angle DFC$)

Мы установили, что: * $\angle BED = \angle DFC$ (из пункта 1) * $\angle BDE = \angle FCD$ (из пункта 2) * $BD = DC$ (из пункта 3)

Так как сторона $BD$ лежит напротив угла $\angle BED$ в $\triangle BED$, а сторона $DC$ лежит напротив угла $\angle DFC$ в $\triangle DFC$, и эти углы равны, то по признаку AAS треугольники $BED$ и $DFC$ равны.

Ответ:

Треугольники $BED$ и $DFC$ равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них.

113. Докажите, что:

а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба;

б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Дано:

a) Прямоугольник ABCD. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

b) Ромб ABCD. E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Найти:

a) Доказать, что EFGH - ромб.

b) Доказать, что EFGH - прямоугольник.

Решение:

a) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Пусть дан прямоугольник ABCD. Обозначим длины его смежных сторон как $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

Точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Это означает, что:

$AE = EB = a/2$

$BF = FC = b/2$

$CG = GD = a/2$

$DH = HA = b/2$

Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника, образованных вершинами прямоугольника и серединами сторон: $ \triangle AEH $, $ \triangle BEF $, $ \triangle CGF $, $ \triangle DGH $. Все углы при вершинах прямоугольника равны $90^\circ$.

В $ \triangle AEH $: катеты $AE = a/2$ и $AH = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы EH равна:

$EH^2 = AE^2 + AH^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$EH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle BEF $: катеты $BE = a/2$ и $BF = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы EF равна:

$EF^2 = BE^2 + BF^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$EF = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle CGF $: катеты $CG = a/2$ и $CF = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы FG равна:

$FG^2 = CG^2 + CF^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$FG = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

В $ \triangle DGH $: катеты $DG = a/2$ и $DH = b/2$. По теореме Пифагора длина гипотенузы GH равна:

$GH^2 = DG^2 + DH^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2$

$GH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$

Так как $EH = EF = FG = GH = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2}$, все стороны четырехугольника EFGH равны между собой.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Ответ: Доказано, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

b) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб ABCD. Точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. Докажем, что EFGH является параллелограммом.

Рассмотрим $ \triangle ABC $. EF является средней линией этого треугольника, так как E - середина AB и F - середина BC.

По свойству средней линии треугольника, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

Рассмотрим $ \triangle ADC $. GH является средней линией этого треугольника, так как G - середина CD и H - середина DA.

По свойству средней линии треугольника, $GH \parallel AC$ и $GH = \frac{1}{2} AC$.

Из этих двух утверждений следует, что $EF \parallel GH$ и $EF = GH$.

Аналогично, рассмотрим $ \triangle BCD $. FG является средней линией этого треугольника, так как F - середина BC и G - середина CD.

По свойству средней линии треугольника, $FG \parallel BD$ и $FG = \frac{1}{2} BD$.

Рассмотрим $ \triangle ABD $. EH является средней линией этого треугольника, так как E - середина AB и H - середина DA.

По свойству средней линии треугольника, $EH \parallel BD$ и $EH = \frac{1}{2} BD$.

Из этих двух утверждений следует, что $FG \parallel EH$ и $FG = EH$.

Так как обе пары противоположных сторон четырехугольника EFGH параллельны и равны ($EF \parallel GH$, $EF = GH$ и $FG \parallel EH$, $FG = EH$), EFGH является параллелограммом.

2. Докажем, что EFGH имеет прямой угол.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Мы установили, что $EF \parallel AC$ и $FG \parallel BD$.

Если две прямые (EF и FG) параллельны двум другим взаимно перпендикулярным прямым (AC и BD), то эти две прямые (EF и FG) также взаимно перпендикулярны.

Поэтому $EF \perp FG$, что означает $ \angle EFG = 90^\circ $.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, четырехугольник EFGH, являющийся параллелограммом с прямым углом $ \angle EFG $, является прямоугольником.

Ответ: Доказано, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

114. а) На школьной доске отмечены три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой. Проведите через точку $A$, с помощью циркуля и линейки прямую, параллельную прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника.

б) С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если данные три точки – середины его сторон.

a)

Дано:

Три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой.

Найти:

Построить прямую через точку $A$, параллельную прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника.

Решение:

Для построения прямой через точку $A$, параллельной прямой $BC$, используя свойство средней линии треугольника, выполним следующие шаги:

1. Проведите прямую через точки $A$ и $B$.

2. С помощью циркуля отложите на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ отрезок $AD$, равный отрезку $BA$. Для этого установите ножку циркуля в точку $B$, карандаш в точку $A$, затем перенесите ножку циркуля в точку $A$ и, не меняя раствора циркуля, отметьте дугой точку $D$ на прямой $BA$ так, чтобы $A$ оказалась серединой отрезка $BD$.

3. Проведите прямую через точки $C$ и $D$.

4. Найдите середину отрезка $CD$. Для этого постройте серединный перпендикуляр к отрезку $CD$. Установите ножку циркуля в точку $C$ и начертите дугу радиусом, большим половины длины отрезка $CD$. Не меняя радиуса, установите ножку циркуля в точку $D$ и начертите еще одну дугу. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Проведите прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $CD$. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ является его серединой. Обозначим эту середину точкой $M$.

5. Проведите прямую через точки $A$ и $M$.

Обоснование: По построению, точка $A$ является серединой отрезка $BD$, а точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Следовательно, отрезок $AM$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии треугольника, средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, прямая $AM$ параллельна прямой $BC$.

Ответ:

Прямая $AM$ является искомой прямой.

б)

Дано:

Три точки $A$, $B$, $C$, которые являются серединами сторон некоторого треугольника.

Найти:

Построить этот треугольник.

Решение:

Пусть искомый треугольник будет $PQR$, а данные точки $A$, $B$, $C$ являются серединами его сторон $PQ$, $QR$, $RP$ соответственно. Тогда отрезки $AB$, $BC$, $CA$ являются средними линиями треугольника $PQR$. Из свойства средних линий следует, что $AB \parallel PR$, $BC \parallel PQ$, и $CA \parallel QR$.

Для построения вершин треугольника $PQR$ выполним следующие шаги:

1. Соедините данные точки $A$, $B$, $C$ отрезками, чтобы образовать треугольник $ABC$ (медиальный треугольник).

2. Построение вершины $P$: Вершина $P$ является четвертой вершиной параллелограмма $APCB$.

   Для построения $P$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $BC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $P$. Таким образом, построен четырехугольник $APCB$, который является параллелограммом (поскольку его противоположные стороны $AP$ и $BC$, а также $PC$ и $AB$ равны по построению).

3. Построение вершины $Q$: Вершина $Q$ является четвертой вершиной параллелограмма $AQBC$.

   Для построения $Q$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $B$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $CB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $A$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $Q$. Таким образом, построен четырехугольник $AQBC$, который является параллелограммом.

4. Построение вершины $R$: Вершина $R$ является четвертой вершиной параллелограмма $ABRC$.

   Для построения $R$ выполните:

   1. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AB$. Начертите дугу окружности с центром в точке $C$ и этим радиусом.

   2. Используя циркуль, измерьте длину отрезка $AC$. Начертите дугу окружности с центром в точке $B$ и этим радиусом.

   3. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной $R$. Таким образом, построен четырехугольник $ABRC$, который является параллелограммом.

5. Соедините точки $P$, $Q$, $R$ отрезками $PQ$, $QR$, $RP$. Полученный треугольник $PQR$ является искомым.

Обоснование: Построение основано на свойствах параллелограмма и медиального треугольника. Если $A, B, C$ - середины сторон $PQ, QR, RP$ соответственно, то $APCB$, $AQBC$ и $ABRC$ будут параллелограммами. Например, из того, что $APCB$ - параллелограмм, следует, что $\vec{AP} = \vec{BC}$. Из того, что $AQBC$ - параллелограмм, следует, что $\vec{AQ} = \vec{CB}$. Поскольку $\vec{BC} = -\vec{CB}$, то $\vec{AP} = -\vec{AQ}$. Это означает, что точка $A$ лежит на отрезке $PQ$ и является его серединой. Аналогично, из параллелограммов $AQBC$ и $ABRC$ следует, что $\vec{BQ} = \vec{CA}$ и $\vec{BR} = \vec{AC}$. Поскольку $\vec{CA} = -\vec{AC}$, то $\vec{BQ} = -\vec{BR}$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $QR$. И наконец, из параллелограммов $APCB$ и $ABRC$ следует, что $\vec{CP} = \vec{BA}$ и $\vec{CR} = \vec{AB}$. Поскольку $\vec{BA} = -\vec{AB}$, то $\vec{CP} = -\vec{CR}$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $RP$. Таким образом, построенный треугольник $PQR$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Искомый треугольник $PQR$ построен.

Постройте трапецию и отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Измерьте этот отрезок и основания трапеции. Сравните длину этого отрезка с суммой длин оснований трапеции.

Постройте трапецию и отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Для выполнения этого задания необходимо выполнить следующие шаги:
1. С помощью линейки нарисуйте две параллельные прямые.
2. На одной прямой отметьте отрезок $AD$, который будет нижним основанием трапеции.
3. На второй прямой отметьте отрезок $BC$, который будет верхним основанием. Для наглядности пусть $AD$ будет длиннее $BC$.
4. Соедините точки $A$ и $B$, а также $C$ и $D$. Полученные отрезки $AB$ и $CD$ являются боковыми сторонами трапеции $ABCD$.
5. Измерьте длину боковой стороны $AB$ и отметьте ее середину точкой $M$. Таким образом, $AM = MB$.
6. Аналогично измерьте длину боковой стороны $CD$ и отметьте ее середину точкой $N$. Таким образом, $CN = ND$.
7. Соедините точки $M$ и $N$ отрезком. Этот отрезок $MN$ и есть искомый отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Он называется средней линией трапеции.
Ответ: Построена трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$, а также построен отрезок $MN$, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$.

Измерьте этот отрезок и основания трапеции.

Это практическое задание, и результаты будут зависеть от построенной трапеции. Проведем измерения на гипотетическом примере. Возьмем линейку и измерим длины оснований и построенного отрезка.
Предположим, измерения дали следующие результаты:
• Длина нижнего основания $AD = 12$ см.
• Длина верхнего основания $BC = 8$ см.
• Длина отрезка $MN = 10$ см.
Ответ: Длины оснований равны 12 см и 8 см, а длина отрезка, соединяющего их середины, равна 10 см. (Значения могут отличаться в зависимости от конкретного чертежа).

Сравните длину этого отрезка с суммой длин оснований трапеции.

Для сравнения используем полученные на предыдущем шаге измерения.
1. Найдем сумму длин оснований трапеции:
$S = AD + BC = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
2. Длина отрезка $MN$ равна 10 см.
3. Сравним эти два значения: длина отрезка $MN$ (10 см) и сумма длин оснований (20 см).
Видно, что $10 \text{ см} = \frac{20 \text{ см}}{2}$.
Таким образом, мы приходим к выводу, что длина отрезка, соединяющего середины боковых сторон, равна половине суммы длин оснований.
Это свойство является общей теоремой для любой трапеции. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией. Длина средней линии ($m$) всегда вычисляется по формуле:
$m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ — длины оснований.
В нашем примере: $m = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см, что полностью совпадает с результатом измерения.
Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины боковых сторон трапеции, равна половине суммы длин оснований трапеции.