Страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

97.В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC де-лит угол A пополам и AC $ \perp $ CD. Найдите стороны этой трапеции, если ее периметр 25 см, а $\angle D = 60^\circ$.

Дано: трапеция $ABCD$, $AD$ — большее основание, $BC \parallel AD$.
$AC$ — биссектриса $\angle A \implies \angle BAC = \angle CAD$.
$AC \perp CD \implies \angle ACD = 90^\circ$.
Периметр $P_{ABCD} = 25$ см.
$\angle D = 60^\circ$.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы при секущей $AC$. По условию, $\angle BAC = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и поэтому $AB = BC$.

2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Зная, что $\angle D = 60^\circ$, находим $\angle CAD$:
$\angle CAD = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Так как $AC$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle A = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.Поскольку в трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D = 60^\circ$), трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

4. Из выводов в пунктах 1 и 3 получаем, что три стороны трапеции равны между собой: $AB = BC = CD$. Обозначим длину этих сторон через $x$.

5. Вернемся к прямоугольному $\triangle ACD$. Сторона $CD$ является катетом, лежащим против угла $\angle CAD = 30^\circ$. Следовательно, длина этого катета равна половине длины гипотенузы $AD$.
$CD = \frac{1}{2} AD$
Поскольку $CD = x$, то $AD = 2 \cdot CD = 2x$.

6. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$
Подставим выражения для сторон через $x$ и данное значение периметра:
$25 = x + x + x + 2x$
$25 = 5x$
$x = \frac{25}{5} = 5$ см.

7. Теперь найдем длины всех сторон трапеции:
$AB = x = 5$ см.
$BC = x = 5$ см.
$CD = x = 5$ см.
$AD = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: стороны трапеции равны $5$ см, $5$ см, $5$ см и $10$ см.

98. Докажите, что если трапеция имеет ось симметрии, то она равнобедренная.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$), и пусть прямая l является ее осью симметрии.

По определению оси симметрии, отражение относительно прямой l переводит трапецию саму в себя. При осевой симметрии сохраняются расстояния, углы и параллельность прямых. Следовательно, пара параллельных прямых, содержащих основания трапеции, должна переходить в себя.

Рассмотрим два возможных случая расположения оси симметрии l относительно оснований трапеции.

Случай 1: Ось симметрии l параллельна основаниям AD и BC.
В этом случае ось l должна быть равноудалена от прямых AD и BC. При симметрии относительно l основание AD переходит в основание BC и наоборот. Это означает, что каждая вершина одного основания переходит в вершину другого основания. По определению осевой симметрии, прямая l должна быть серединным перпендикуляром к отрезкам, соединяющим соответствующие вершины, например, AC и BD (если A переходит в C, а B в D) или AB и DC (если A переходит в B, а D в C). Если l перпендикулярна боковым сторонам AB и DC, то боковые стороны перпендикулярны основаниям. В этом случае трапеция является прямоугольником. Прямоугольник — это частный случай равнобедренной трапеции, так как его боковые стороны равны, а углы при основании равны $90^\circ$.

Случай 2: Ось симметрии l не параллельна основаниям.
Поскольку при симметрии параллельные прямые переходят в параллельные, а в трапеции только одна пара параллельных сторон, то каждая из прямых, содержащих основания (AD и BC), должна перейти в себя. Прямая переходит в себя при отражении относительно оси l только в двух случаях: если она совпадает с осью l или если она перпендикулярна оси l. Основания трапеции не могут совпадать с осью симметрии (иначе все вершины лежали бы на одной прямой). Следовательно, прямые AD и BC перпендикулярны оси симметрии l.

Итак, ось симметрии l перпендикулярна основаниям трапеции. При симметрии относительно l вершины трапеции должны переходить в вершины. Вершина A, лежащая на прямой AD, должна перейти в вершину, также лежащую на прямой AD. Это может быть только вершина D (если бы A переходила в A, то A лежала бы на оси l; аналогично для D, B, C, что привело бы к вырожденной трапеции, где основания являются точками). Таким образом, симметрия относительно l переводит вершину A в вершину D, и, аналогично, вершину B в вершину C.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Отрезок AB (боковая сторона) при симметрии переходит в отрезок DC (другая боковая сторона). Так как при движении отрезок переходит в равный ему отрезок, то длина отрезка AB равна длине отрезка DC: AB = DC.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, по определению является равнобедренной. Таким образом, мы доказали, что если трапеция имеет ось симметрии, то она является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если трапеция имеет ось симметрии, она является равнобедренной. Это следует из того, что ось симметрии должна быть либо перпендикулярна основаниям (тогда она отображает одну боковую сторону на другую, равную ей), либо параллельна им (тогда трапеция является прямоугольником, который также является равнобедренной трапецией).

Даны два отрезка 6 см и 4 см. Постройте, используя циркуль и линейку:

а) ромб, диагонали которого равны данным отрезкам;

б) параллелограмм с диагоналями 4 см и 6 см, отличный от ромба.

а) Для построения ромба с диагоналями 6 см и 4 см необходимо использовать свойство ромба, согласно которому его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Построение выполняется в следующем порядке:

1. С помощью линейки строим отрезок AC длиной 6 см. Этот отрезок будет первой диагональю ромба.

2. Находим середину отрезка AC. Для этого строим его серединный перпендикуляр. Устанавливаем раствор циркуля на произвольную длину, заведомо большую половины отрезка AC (например, 4 см). Из точек A и C как из центров проводим две пары дуг с одинаковым радиусом так, чтобы они пересеклись с обеих сторон от отрезка AC.

3. Через точки пересечения дуг проводим прямую с помощью линейки. Эта прямая будет перпендикулярна отрезку AC и пройдет через его середину. Обозначим точку пересечения прямой и отрезка AC буквой O.

4. Вторая диагональ имеет длину 4 см и также делится точкой O пополам. Поэтому на построенном перпендикуляре от точки O откладываем в обе стороны отрезки длиной $4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$. Обозначаем концы этих отрезков буквами B и D. Таким образом, мы получаем вторую диагональ BD, которая перпендикулярна AC и проходит через ее середину.

5. Последовательно соединяем отрезками вершины A, B, C и D.

В результате построен четырехугольник ABCD. По построению его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, ABCD — ромб.

Ответ: Построен ромб ABCD, диагонали которого AC = 6 см и BD = 4 см.

б) Для построения параллелограмма с диагоналями 4 см и 6 см, который не является ромбом, необходимо использовать свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Чтобы параллелограмм не был ромбом, его диагонали не должны быть взаимно перпендикулярны. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим отрезок AC длиной 6 см. Это будет первая диагональ.

2. Находим середину отрезка AC — точку O. Для этого можно либо отмерить 3 см от одного из концов линейкой, либо построить серединный перпендикуляр, как в пункте а), и отметить точку его пересечения с AC.

3. Через точку O проводим произвольную прямую, но так, чтобы она не была перпендикулярна отрезку AC. Угол между этой прямой и отрезком AC должен быть отличным от $90^\circ$.

4. На этой прямой откладываем от точки O в обе стороны отрезки, равные половине длины второй диагонали: $4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$. Обозначаем концы этих отрезков буквами B и D. Получаем вторую диагональ BD = 4 см, которая проходит через середину диагонали AC.

5. Последовательно соединяем отрезками вершины A, B, C и D.

Полученный четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали по построению пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поскольку угол между диагоналями не является прямым, этот параллелограмм не является ромбом.

Ответ: Построен параллелограмм ABCD (не являющийся ромбом), диагонали которого AC = 6 см и BD = 4 см.