Страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

132. a) Верно ли, что: 1) середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника; 2) если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией? Ответ обоснуйте.

б) Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

в) Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, в котором $\angle ADC = 150^\circ$ и сумма расстояний от точки $B$ до сторон $AD$ и $DC$ равна 9 см.

a) Верно ли, что: 1) середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника; 2) если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией? Ответ обоснуйте.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ (т.е., $AB=AC$). Пусть $D$, $E$, $F$ - середины сторон $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Тогда треугольник, образованный этими серединами, это $DEF$.

По теореме о средней линии треугольника:

• $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $AC$, и $DE = \frac{1}{2}AC$.

• $EF$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $AB$, и $EF = \frac{1}{2}AB$.

• $DF$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной $BC$, и $DF = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $AB=AC$ (по условию, треугольник равнобедренный), то $DE = \frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$ означают, что $DE = EF$.

Таким образом, треугольник $DEF$ имеет две равные стороны ($DE=EF$), что делает его равнобедренным.

Ответ: Верно.

2) Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон, который параллелен третьей стороне и равен ее половине. Вопрос утверждает: "если отрезок параллелен стороне треугольника и равен ее половине, то он является его средней линией?"

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть отрезок $MN$ (где $M$ лежит на $AB$, а $N$ на $AC$) параллелен стороне $BC$ ($MN \parallel BC$) и равен ее половине ($MN = \frac{1}{2}BC$).

Поскольку $MN \parallel BC$, то треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle A$ общий, $\angle AMN = \angle ABC$ как соответственные углы).

Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

По условию, $MN = \frac{1}{2}BC$, следовательно, $\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Значит, $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}$ и $\frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ является серединой стороны $AC$.

По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией.

Ответ: Верно.

б) Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $M$ - середина стороны $AB$, и $N$ - середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через середины двух его сторон, это прямая $MN$.

По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$.

Расстояние от вершины до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из вершины на эту прямую.

1. Расстояние от вершины $A$ до прямой $MN$:

Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Так как $MN \parallel BC$, $MN$ пересекает $AH$ в точке $K$. Треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ (так как $M$ и $N$ середины сторон). Поэтому высота $AK$ треугольника $AMN$ (из вершины $A$ к стороне $MN$) равна половине высоты $AH$ треугольника $ABC$ (из вершины $A$ к стороне $BC$).

Таким образом, расстояние от $A$ до $MN$ равно $AK = \frac{1}{2}AH$.

2. Расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $MN$:

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $BC$, расстояние от любой точки стороны $BC$ до прямой $MN$ будет одинаковым. Это расстояние равно расстоянию между двумя параллельными прямыми $MN$ и $BC$.

Если мы продолжим высоту $AH$ до пересечения с $MN$ в точке $K$, то отрезок $KH$ является перпендикуляром между $MN$ и $BC$.

Так как $K$ - середина высоты $AH$ (из-за подобия $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ и того, что $MN$ - средняя линия), то $KH = \frac{1}{2}AH$.

Следовательно, расстояние от $B$ до $MN$ равно $KH = \frac{1}{2}AH$.

Аналогично, расстояние от $C$ до $MN$ равно $KH = \frac{1}{2}AH$.

Таким образом, мы показали, что расстояние от $A$ до $MN$ равно $AK = \frac{1}{2}AH$, и расстояния от $B$ и $C$ до $MN$ равны $KH = \frac{1}{2}AH$.

Следовательно, все три вершины $A$, $B$, $C$ равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Ответ: Доказано.

в) Найдите периметр параллелограмма ABCD, в котором $\angle ADC = 150^\circ$ и сумма расстояний от точки B до сторон AD и DC равна 9 см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$\angle ADC = 150^\circ$.

Сумма расстояний от точки $B$ до стороны $AD$ и до стороны $DC$ равна 9 см.

Перевод в СИ:

$\angle ADC = 150^\circ$ (перевода не требуется).

Сумма расстояний $h_{B,AD} + h_{B,DC} = 9$ см $= 0.09$ м. (Для данной задачи удобнее проводить вычисления в сантиметрах, так как ответ также будет в сантиметрах).

Найти:

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$.

Решение:

Пусть $AD = a$ и $AB = b$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = a$ и $CD = AB = b$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

$\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = 30^\circ$.

1. Найдем расстояние от точки $B$ до стороны $AD$ ($h_{B,AD}$).

Опустим перпендикуляр $BE$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABE$. Угол $\angle BAE$ равен $\angle DAB = 30^\circ$.

$h_{B,AD} = BE = AB \cdot \sin(\angle BAE) = b \cdot \sin(30^\circ) = b \cdot \frac{1}{2}$.

2. Найдем расстояние от точки $B$ до стороны $DC$ ($h_{B,DC}$).

Опустим перпендикуляр $BF$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $DC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCF$. Угол $\angle BCF$ равен $\angle BCD = 30^\circ$.

$h_{B,DC} = BF = BC \cdot \sin(\angle BCF) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2}$.

3. Используем данное условие о сумме расстояний.

Нам дано, что $h_{B,AD} + h_{B,DC} = 9$ см.

Подставляем найденные выражения:

$b \cdot \frac{1}{2} + a \cdot \frac{1}{2} = 9$.

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(a+b) = 9$.

Умножим обе части на 2:

$a+b = 18$ см.

4. Вычислим периметр параллелограмма.

Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AD + AB) = 2(a+b)$.

Подставляем значение $a+b = 18$ см:

$P_{ABCD} = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

133. Сколько природных памятников находится в казахстанском национальном парке «Кокшетау», если их количество выражается числом, полученным в ответе задачи? «Найдите периметр ромба с углом $120^\circ$, если его меньшая диагональ равна $3,25$ см».

Природный парк Кокшетау

Дано:
Угол ромба $\alpha = 120^\circ$
Меньшая диагональ $d_1 = 3,25 \text{ см}$
Перевод в СИ:
$d_1 = 3,25 \text{ см} = 3,25 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
Найти:
Периметр ромба $P$
Количество природных памятников в парке «Кокшетау»
Решение:
Найдем периметр ромба.
В ромбе все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $a$.
Если один из углов ромба равен $120^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Меньшая диагональ ромба лежит напротив меньшего угла ромба, то есть угла $60^\circ$.
Для нахождения длины меньшей диагонали $d_1$ можно использовать теорему косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба ($a$) и этой диагональю. Угол между этими сторонами равен $60^\circ$:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$d_1^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}$
$d_1^2 = 2a^2 - a^2$
$d_1^2 = a^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$d_1 = a$
Таким образом, длина меньшей диагонали ромба равна его стороне.
Нам дано, что меньшая диагональ $d_1 = 3,25 \text{ см}$.
Следовательно, сторона ромба $a = 3,25 \text{ см}$.
Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P = 4 \cdot 3,25 \text{ см}$
$P = 13 \text{ см}$
Теперь определим количество природных памятников.
В условии задачи сказано: «Сколько природных памятников находится в казахстанском национальном парке «Кокшетау», если их количество выражается числом, полученным в ответе задачи?»
Число, полученное в ответе задачи (периметр ромба), равно $13$.
Следовательно, количество природных памятников в национальном парке «Кокшетау» равно $13$.
Ответ: 13

134. a) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Найдите их длины, если они удалены от центра окружности на 2 см и 5 см.

б) Дан равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ и боковой стороной, равной 4 см. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, содержащей его основание. Установите вид получившегося четырехугольника и найдите его меньшую диагональ.

a) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Найдите их длины, если они удалены от центра окружности на 2 см и 5 см.

Дано

Пусть $L_1$ и $L_2$ — длины двух взаимно перпендикулярных хорд, выходящих из одной точки на окружности.

$d_1 = 2$ см — расстояние от центра окружности до первой хорды.

$d_2 = 5$ см — расстояние от центра окружности до второй хорды.

Найти:

$L_1$, $L_2$.

Решение

Пусть хорды, выходящие из одной точки $A$ на окружности, это $AB$ и $AC$.

Поскольку хорды $AB$ и $AC$ взаимно перпендикулярны ($\angle BAC = 90^\circ$), то треугольник $ABC$ является прямоугольным, вписанным в окружность. Следовательно, его гипотенуза $BC$ является диаметром окружности.

Пусть $O$ — центр окружности. Пусть $M_1$ — середина хорды $AB$, а $M_2$ — середина хорды $AC$.

Расстояние от центра до хорды перпендикулярно хорде, поэтому $OM_1 \perp AB$ и $OM_2 \perp AC$.

Нам даны $OM_1 = d_1 = 2$ см и $OM_2 = d_2 = 5$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AM_2OM_1$.

Угол $\angle BAC = 90^\circ$ (по условию $AB \perp AC$).

Угол $\angle AM_1O = 90^\circ$ (так как $OM_1 \perp AB$).

Угол $\angle AM_2O = 90^\circ$ (так как $OM_2 \perp AC$).

Поскольку три угла в четырехугольнике $AM_2OM_1$ равны $90^\circ$, то этот четырехугольник является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Следовательно, $AM_1 = OM_2 = 5$ см и $AM_2 = OM_1 = 2$ см.

Так как $M_1$ — середина хорды $AB$, то длина хорды $AB = L_1 = 2 \cdot AM_1$.

$L_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Так как $M_2$ — середина хорды $AC$, то длина хорды $AC = L_2 = 2 \cdot AM_2$.

$L_2 = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: Длины хорд 10 см и 4 см.

б) Дан равнобедренный треугольник с углом 120° и боковой стороной, равной 4 см. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, содержащей его основание. Установите вид получившегося четырехугольника и найдите его меньшую диагональ.

Дано

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Боковые стороны $AB = BC = 4$ см.

Угол между боковыми сторонами $\angle ABC = 120^\circ$.

Строится треугольник $ADC$, симметричный $ABC$ относительно прямой, содержащей основание $AC$.

Найти:

Вид четырехугольника $ABCD$.

Длина меньшей диагонали четырехугольника $ABCD$.

Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. $H$ — середина $AC$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$:

$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

$HC = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Длина основания $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Треугольник $ADC$ симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой, содержащей основание $AC$.

Это означает, что вершина $D$ является отражением вершины $B$ относительно прямой $AC$.

Следовательно, $AC$ является осью симметрии четырехугольника $ABCD$.

Диагональ $AC$ является общей для обоих треугольников.

Диагональ $BD$ перпендикулярна $AC$ и делится точкой $H$ пополам, так как $BH$ — высота, а $D$ — отражение $B$ относительно $AC$. Значит, $DH = BH = 2$ см.

Длина диагонали $BD = BH + HD = 2 + 2 = 4$ см.

Поскольку $AC$ является перпендикулярной биссектрисой $BD$, и $BD$ является перпендикулярной биссектрисой $AC$ (так как $H$ — середина $AC$, и $BH \perp AC$), то диагонали четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения $H$.

Четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, является ромбом.

Все стороны ромба равны. $AB = BC = CD = DA = 4$ см (так как $CD=BC$ и $DA=AB$ по симметрии).

Таким образом, получившийся четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Теперь найдем меньшую диагональ.

Длины диагоналей: $AC = 4\sqrt{3}$ см и $BD = 4$ см.

Сравним их значения: $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$AC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928$ см.

$BD = 4$ см.

Меньшая диагональ — $BD$.

Ответ: Получившийся четырехугольник — ромб. Его меньшая диагональ равна 4 см.