Страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

1. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Ответ:

2. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то косинусы этих углов равны.

Дано:

Пусть даны два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$.

Пусть острый угол $A$ в $\triangle ABC$ равен острому углу $A_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. То есть, $\angle A = \angle A_1$.

Найти:

Доказать, что $\cos A = \cos A_1$.

Решение:

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$ с острым углом $A$ прилежащим катетом является $AC$, а гипотенузой $AB$. Следовательно, $\cos A = \frac{AC}{AB}$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$ с острым углом $A_1$ прилежащим катетом является $A_1C_1$, а гипотенузой $A_1B_1$. Следовательно, $\cos A_1 = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:

• $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, так как треугольники прямоугольные).
• $\angle A = \angle A_1$ (дано по условию задачи).

По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. В частности, отношение прилежащего катета к гипотенузе для угла $A$ будет равно соответствующему отношению для угла $A_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Из этого равенства, перегруппировав члены, получаем:

$\frac{AC}{AB} = \frac{A_1C_1}{A_1B_1}$

Как мы уже определили, левая часть равенства это $\cos A$, а правая часть это $\cos A_1$.

Следовательно, $\cos A = \cos A_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

140. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 6$ см, $AC = 4$ см, $MN$ – средняя линия треугольника ($M \in AB, N \in CB$). Найдите косинус:

а) $\angle A$;

б) $\angle NMB$.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $

$ \angle C = 90^\circ $

$ AB = 6 $ см

$ AC = 4 $ см

$ MN $ - средняя линия треугольника ($ M \in AB $, $ N \in CB $)

Перевод в СИ:

$ AB = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м} $

$ AC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} $

Найти:

а) $ \cos \angle A $

б) $ \cos \angle NMB $

Решение:

а) $ \angle A $

В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ косинус угла $ A $ определяется как отношение длины прилежащего катета $ AC $ к длине гипотенузы $ AB $.

$ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} $

Подставим заданные значения:

$ \cos A = \frac{4 \text{ см}}{6 \text{ см}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \cos \angle A = \frac{2}{3} $

б) $ \angle NMB $

По условию, $ MN $ является средней линией треугольника $ \triangle ABC $. Точка $ M $ лежит на стороне $ AB $, а точка $ N $ лежит на стороне $ CB $.

По определению, средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне. Так как $ M \in AB $ и $ N \in CB $, то $ MN $ является средней линией, соединяющей середины сторон $ AB $ и $ CB $, и параллельна стороне $ AC $.

$ MN \parallel AC $

Рассмотрим прямые $ MN $ и $ AC $, которые параллельны. Прямая $ AB $ является секущей для этих двух параллельных прямых. Углы $ \angle NMB $ и $ \angle CAB $ (или $ \angle A $) являются соответственными углами.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Следовательно, $ \angle NMB = \angle CAB = \angle A $.

Отсюда следует, что косинус угла $ \angle NMB $ равен косинусу угла $ \angle A $.

$ \cos \angle NMB = \cos \angle A $

Из решения пункта а) мы знаем, что $ \cos \angle A = \frac{2}{3} $.

Таким образом,

$ \cos \angle NMB = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \cos \angle NMB = \frac{2}{3} $

141. В равнобедренном $\triangle MNK$ основание $MK = 10$ см, $NK = 13$ см, $A \in MN, B \in NK$, причем $AB \parallel MK$ и $MA : AN = 3 : 2$. Найдите косинус:

а) $\angle M$

б) $\angle NBA$

Дано:

$\triangle MNK$ - равнобедренный треугольник;

$MK = 10$ см - основание;

$NK = 13$ см - боковая сторона;

$A \in MN, B \in NK$;

$AB \parallel MK$;

$MA : AN = 3 : 2$.

Перевод данных в систему СИ:

$MK = 10$ см $= 0.1$ м;

$NK = 13$ см $= 0.13$ м.

Найти:

а) $\cos(\angle M)$;

б) $\cos(\angle NBA)$.

Решение:

По условию, $\triangle MNK$ - равнобедренный с основанием $MK$.

Следовательно, боковые стороны равны: $MN = NK = 13$ см.

Также углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle M = \angle K$.

а) $\angle M$

Для нахождения косинуса угла $M$ проведем высоту $NH$ из вершины $N$ к основанию $MK$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $MK$.

Таким образом, $MH = HK = \frac{MK}{2}$.

Подставим значение $MK$: $MH = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$. В этом треугольнике гипотенуза $MN = 13$ см (как боковая сторона $\triangle MNK$), а прилежащий к углу $M$ катет $MH = 5$ см.

Косинус угла $M$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle M) = \frac{MH}{MN}$.

Подставим известные значения:

$\cos(\angle M) = \frac{5}{13}$.

Ответ:

$\cos(\angle M) = \frac{5}{13}$.

б) $\angle NBA$

По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен основанию $MK$ ($AB \parallel MK$).

Поскольку $AB \parallel MK$, а $MN$ и $NK$ являются секущими, то треугольники $\triangle NAB$ и $\triangle NMK$ подобны по трем углам.

Угол $N$ является общим для обоих треугольников ($\angle ANB = \angle MNK$).

Углы $\angle NAB$ и $\angle NMK$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $MK$ и секущей $MN$, поэтому $\angle NAB = \angle NMK = \angle M$.

Углы $\angle NBA$ и $\angle NKM$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $MK$ и секущей $NK$, поэтому $\angle NBA = \angle NKM = \angle K$.

Таким образом, для того чтобы найти $\cos(\angle NBA)$, нам нужно найти $\cos(\angle K)$.

Как было установлено в начале решения, $\triangle MNK$ является равнобедренным с основанием $MK$, следовательно, углы при основании равны: $\angle M = \angle K$.

Из пункта а) мы уже нашли значение $\cos(\angle M)$, которое равно $\frac{5}{13}$.

Поскольку $\cos(\angle NBA) = \cos(\angle K)$ и $\cos(\angle K) = \cos(\angle M)$, то $\cos(\angle NBA) = \cos(\angle M)$.

Следовательно, $\cos(\angle NBA) = \frac{5}{13}$.

Примечание: Условие $MA : AN = 3 : 2$ подтверждает подобие треугольников и позволяет найти длины сторон $AN$, $NB$, $AB$, но для нахождения косинуса угла $\angle NBA$ достаточно использования свойства соответственных углов при параллельных прямых и свойств равнобедренного треугольника.

Ответ:

$\cos(\angle NBA) = \frac{5}{13}$.

142. a) Дан прямоугольный $\triangle DFG$, в котором $\angle G = 90^\circ$, $\angle D = 30^\circ$,

Найдите косинус $\angle F$.

б) Найдите косинус угла равностороннего треугольника.

a)

Дано:

Прямоугольный треугольник $ \triangle DFG $;

$ \angle G = 90^\circ $;

$ \angle D = 30^\circ $.

Перевод в СИ:

$ \angle G = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад} $;

$ \angle D = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад} $.

Найти:

$ \cos \angle F $.

Решение:

Сумма углов треугольника равна $ 180^\circ $. Так как $ \triangle DFG $ является прямоугольным, а один из его острых углов равен $ 30^\circ $, найдем третий угол $ \angle F $:

$ \angle F = 180^\circ - \angle G - \angle D $

$ \angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ $

$ \angle F = 60^\circ $

Теперь найдем косинус угла $ \angle F $:

$ \cos \angle F = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Дано:

Равносторонний треугольник.

Перевод в СИ:

Каждый угол равностороннего треугольника равен $ 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад} $.

Найти:

Косинус угла равностороннего треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен:

$ \text{Угол} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ $.

Теперь найдем косинус этого угла:

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

143. Дан квадрат $ABCD$ со стороной, равной $1$, и проведена его диагональ $BD$, равная $\sqrt{2}$. Чему равен косинус угла $BDA$?

Дано:

квадрат $ABCD$,

сторона квадрата $AB = AD = 1$,

диагональ $BD = \sqrt{2}$.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как это геометрическая задача, где значения длин используются для определения отношений и углов, а не физических величин.)

Найти:

$\cos(\angle BDA)$.

Решение:

В квадрате все углы равны $90^\circ$. Диагональ квадрата делит углы, из которых она выходит, пополам. Таким образом, диагональ $BD$ делит прямой угол $\angle ADC$ на два равных угла: $\angle BDA$ и $\angle BDC$.

Следовательно, угол $\angle BDA$ равен половине угла $\angle ADC$:

$\angle BDA = \frac{1}{2} \angle ADC$.

Поскольку $\angle ADC = 90^\circ$ (как угол квадрата), то:

$\angle BDA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Теперь нам нужно найти косинус этого угла:

$\cos(\angle BDA) = \cos(45^\circ)$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\cos(45^\circ)$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

144. В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 20$ см, $AC = 16$ см, $CB = 12$ см. Найдите:

а) косинус меньшего острого угла;

б) сумму квадратов косинусов острых углов.

Дано

Прямоугольный треугольник $ABC$:

$\angle C = 90^\circ$

$AB = 20 \text{ см}$

$AC = 16 \text{ см}$

$CB = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ

$AB = 0.20 \text{ м}$

$AC = 0.16 \text{ м}$

$CB = 0.12 \text{ м}$

Найти:

а) косинус меньшего острого угла

б) сумму квадратов косинусов острых углов

Решение

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Острые углы в треугольнике $ABC$ это $\angle A$ и $\angle B$.

a) косинус меньшего острого угла

В прямоугольном треугольнике меньший острый угол лежит напротив меньшего катета. Сравним длины катетов: $AC = 16 \text{ см}$ и $CB = 12 \text{ см}$. Так как $CB < AC$, то меньшим острым углом является угол, лежащий напротив катета $CB$, то есть $\angle A$.

Для угла $A$ прилежащий катет — $AC$, а гипотенуза — $AB$.

Вычислим косинус угла $A$: $ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{16 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8 $

Ответ: $0.8$

б) сумму квадратов косинусов острых углов

Найдем косинусы обоих острых углов: $\angle A$ и $\angle B$.

Косинус угла $A$ уже найден в пункте а): $ \cos A = 0.8 $.

Для угла $B$ прилежащий катет — $CB$, а гипотенуза — $AB$.

Вычислим косинус угла $B$: $ \cos B = \frac{CB}{AB} = \frac{12 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6 $

Теперь найдем квадраты этих косинусов:

$ \cos^2 A = (0.8)^2 = 0.64 $

$ \cos^2 B = (0.6)^2 = 0.36 $

Найдем их сумму:

$ \cos^2 A + \cos^2 B = 0.64 + 0.36 = 1 $

Можно также отметить, что в прямоугольном треугольнике острые углы $A$ и $B$ являются дополнительными ($A + B = 90^\circ$). Из свойств тригонометрических функций дополнительных углов известно, что $\cos A = \sin B$ и $\cos B = \sin A$. Тогда сумма квадратов косинусов острых углов будет равна $ \cos^2 A + \cos^2 B = \sin^2 B + \cos^2 B $. По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, следовательно, $ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 $.

Ответ: $1$