Страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

158. а) Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 дм и 15 дм. Найдите длины сторон параллелограмма, если разность двух из них равна 7 дм.

б) Дан прямоугольник $ABCD$ и точка $X$ на его стороне $BC$. Докажите, что $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

в) В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 2$ см, $BC = 2\sqrt{3}$ см. К его диагонали $AC$ проведен перпендикуляр $BH$. Найдите отношение $AH : HC$.

г) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если его катеты равны 3 см и 4 см.

а)

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, делящий ее на отрезки $AH$ и $HC$.

Длины отрезков $AH = 6$ дм, $HC = 15$ дм.

Разность длин двух сторон параллелограмма: $|AB - BC| = 7$ дм.

Перевод в СИ:

$AH = 6$ дм $= 0.6$ м

$HC = 15$ дм $= 1.5$ м

$|AB - BC| = 7$ дм $= 0.7$ м

Найти:

Длины сторон параллелограмма $AB$ и $BC$.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма $AB = a$ и $BC = b$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, где $BH$ - высота, опущенная из вершины $B$ на диагональ $AC$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:

$a^2 = AH^2 + BH^2$

$a^2 = 0.6^2 + BH^2$

$a^2 = 0.36 + BH^2$ (1)

По теореме Пифагора для $\triangle CBH$:

$b^2 = HC^2 + BH^2$

$b^2 = 1.5^2 + BH^2$

$b^2 = 2.25 + BH^2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) видно, что $b^2 > a^2$, следовательно $b > a$.

По условию задачи, разность длин двух сторон равна 7 дм (0.7 м), что означает $b - a = 0.7$ м.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$b^2 - a^2 = (2.25 + BH^2) - (0.36 + BH^2)$

$b^2 - a^2 = 2.25 - 0.36$

$b^2 - a^2 = 1.89$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(b - a)(b + a) = 1.89$

Мы знаем, что $b - a = 0.7$. Подставим это значение:

$0.7(b + a) = 1.89$

$b + a = \frac{1.89}{0.7}$

$b + a = 2.7$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

1) $b - a = 0.7$

2) $b + a = 2.7$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(b - a) + (b + a) = 0.7 + 2.7$

$2b = 3.4$

$b = 1.7$ м

Подставим значение $b$ в уравнение (1):

$1.7 - a = 0.7$

$a = 1.7 - 0.7$

$a = 1$ м

Таким образом, длины сторон параллелограмма равны 1 м и 1.7 м.

Ответ:

Стороны параллелограмма равны 10 дм и 17 дм.

б)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точка $X$ лежит на стороне $BC$.

Найти:

Доказать, что $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

Решение:

Пусть длины сторон прямоугольника $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

Пусть $BX = x$. Тогда $XC = BC - BX = b - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABX$ (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AX^2 = AB^2 + BX^2$

$AX^2 = a^2 + x^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDX$ (угол $C = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$XD^2 = CD^2 + XC^2$

$XD^2 = a^2 + (b - x)^2$.

Теперь подставим эти выражения в доказываемое равенство $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$.

Левая часть равенства: $AX^2 + XC^2 = (a^2 + x^2) + (b - x)^2$.

Правая часть равенства: $BX^2 + XD^2 = x^2 + (a^2 + (b - x)^2)$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что они тождественны:

$a^2 + x^2 + (b - x)^2 = x^2 + a^2 + (b - x)^2$.

Таким образом, равенство $AX^2 + XC^2 = BX^2 + XD^2$ доказано.

Ответ:

Доказано.

в)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

$AB = 2$ см.

$BC = 2\sqrt{3}$ см.

Перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$ ($H$ лежит на $AC$).

Перевод в СИ:

$AB = 2$ см $= 0.02$ м

$BC = 2\sqrt{3}$ см $\approx 0.03464$ м

Найти:

Отношение $AH : HC$.

Решение:

В прямоугольнике $ABCD$, $AB = CD = 2$ см и $BC = AD = 2\sqrt{3}$ см.

Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $\triangle ABC$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (2)^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + (4 \cdot 3) = 4 + 12 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$ см.

$BH$ - это высота, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC$ в $\triangle ABC$.

В прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $AB$ и его проекции $AH$:

$AB^2 = AC \cdot AH$

$2^2 = 4 \cdot AH$

$4 = 4 \cdot AH \implies AH = 1$ см.

Для катета $BC$ и его проекции $HC$:

$BC^2 = AC \cdot HC$

$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot HC$

$12 = 4 \cdot HC \implies HC = 3$ см.

Таким образом, отношение $AH : HC$ равно $1 : 3$.

Ответ:

$AH : HC = 1 : 3$.

г)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Катеты $a = 3$ см, $b = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a = 3$ см $= 0.03$ м

$b = 4$ см $= 0.04$ м

Найти:

Высоту $h_c$, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$.

2. Через гипотенузу и высоту $h_c$, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.

Приравниваем эти выражения для площади:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

$ab = ch_c$

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставим известные значения:

$h_c = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ:

Высота, проведенная к гипотенузе, равна 2.4 см.

159. a) К окружности радиуса 10 см проведена касательная и на ней отмечена точка $A$, расстояние от которой до ближайшей к ней точки окружности равно 16 см. Найдите расстояние от точки $A$ до точки касания.

б) Найдите (с точностью до 0,1 см) радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и основанием 4 см.

в) Найдите расстояние между точками пересечения двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, а расстояние между их центрами 21 см.

a)

Дано:

радиус окружности $R = 10$ см;

расстояние от точки $A$ до ближайшей к ней точки окружности $AP = 16$ см.

Перевод в СИ:

$R = 0.1$ м;

$AP = 0.16$ м.

Найти:

расстояние от точки $A$ до точки касания $AT$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности, $T$ - точка касания, $P$ - ближайшая к $A$ точка окружности.

По определению, радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$ в точке касания $T$. Следовательно, треугольник $OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Ближайшая точка $P$ на окружности к точке $A$ лежит на отрезке $OA$, соединяющем точку $A$ с центром окружности $O$. Расстояние $AP$ равно разности между расстоянием $OA$ от точки $A$ до центра и радиусом $R$:

$AP = OA - R$

$16 = OA - 10$

$OA = 16 + 10 = 26$ см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $OTA$:

$OA^2 = OT^2 + AT^2$

$OA^2 = R^2 + AT^2$

$26^2 = 10^2 + AT^2$

$676 = 100 + AT^2$

$AT^2 = 676 - 100$

$AT^2 = 576$

$AT = \sqrt{576}$

$AT = 24$ см.

Ответ: 24 см

б)

Дано:

равнобедренный треугольник;

боковая сторона $a = 6$ см;

основание $c = 4$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.06$ м;

$c = 0.04$ м.

Найти:

радиус описанной окружности $R_{circ}$ (с точностью до 0,1 см).

Решение:

Радиус описанной окружности для треугольника вычисляется по формуле:

$R_{circ} = \frac{abc}{4K}$

где $a, b, c$ - длины сторон треугольника, $K$ - его площадь. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны, так что $a=b=6$ см, $c=4$ см.

Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание. Высота делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Один из катетов равен половине основания ($c/2 = 4/2 = 2$ см), гипотенуза равна боковой стороне ($a=6$ см).

По теореме Пифагора:

$h^2 + (c/2)^2 = a^2$

$h^2 + 2^2 = 6^2$

$h^2 + 4 = 36$

$h^2 = 32$

$h = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $K$:

$K = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

$K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь подставим значения в формулу для $R_{circ}$:

$R_{circ} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 4}{4 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{144}{32\sqrt{2}}$

Сократим дробь:

$R_{circ} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R_{circ} = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Вычислим приблизительное значение:

$R_{circ} \approx \frac{9 \cdot 1.41421356}{4} \approx \frac{12.72792204}{4} \approx 3.18198051$ см.

Округлим до 0,1 см:

$R_{circ} \approx 3.2$ см.

Ответ: 3.2 см

в)

Дано:

радиус первой окружности $R_1 = 17$ см;

радиус второй окружности $R_2 = 10$ см;

расстояние между центрами $d = 21$ см.

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.17$ м;

$R_2 = 0.10$ м;

$d = 0.21$ м.

Найти:

расстояние между точками пересечения.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры двух окружностей, а $A$ и $B$ - точки их пересечения.

Линия, соединяющая центры окружностей ($O_1O_2$), перпендикулярна общей хорде ($AB$) и делит ее пополам. Пусть $M$ - точка пересечения $O_1O_2$ и $AB$. Тогда $AM = MB$, и нам нужно найти $AB = 2 \cdot AM$.

Рассмотрим треугольник $O_1AO_2$. Его стороны - $R_1 = 17$ см, $R_2 = 10$ см и $d = 21$ см.

Высота $AM$ в треугольнике $O_1AO_2$ (опущенная из вершины $A$ на сторону $O_1O_2$) является половиной искомого расстояния. $AM$ также является катетом в двух прямоугольных треугольниках: $O_1MA$ и $O_2MA$.

Пусть $O_1M = x$. Тогда $O_2M = d - x = 21 - x$.

В прямоугольном треугольнике $O_1MA$ (с прямым углом в $M$):

$R_1^2 = x^2 + AM^2$

$17^2 = x^2 + AM^2$

$289 = x^2 + AM^2 \quad (1)$

В прямоугольном треугольнике $O_2MA$ (с прямым углом в $M$):

$R_2^2 = (d-x)^2 + AM^2$

$10^2 = (21-x)^2 + AM^2$

$100 = (21-x)^2 + AM^2 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $AM^2$: $AM^2 = 289 - x^2$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$100 = (21-x)^2 + (289 - x^2)$

$100 = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot x + x^2 + 289 - x^2$

$100 = 441 - 42x + x^2 + 289 - x^2$

$100 = 730 - 42x$

$42x = 730 - 100$

$42x = 630$

$x = \frac{630}{42} = 15$ см.

Теперь найдем $AM$ из уравнения (1):

$AM^2 = 289 - x^2 = 289 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$AM = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние между точками пересечения $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: 16 см

160. a) Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см. Разрежьте его на три таких прямоугольника, чтобы из них можно было составить квадрат.

б) Докажите, что в прямоугольном треугольнике утроенная гипотенуза больше удвоенной суммы катетов. $3c > 2(a + b)$

а) Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см. Разрежьте его на три таких прямоугольника, чтобы из них можно было составить квадрат.

Дано:

Прямоугольник со сторонами $l = 9 \text{ см}$ и $w = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как задача является геометрической на разрезание, и все размеры даны в сантиметрах, что удобно для решения.

Найти:

Способ разрезания прямоугольника на три части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Решение:

1. Найдем площадь исходного прямоугольника:

$S = l \times w = 9 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

2. Если из этого прямоугольника нужно составить квадрат, то его площадь должна остаться прежней, то есть $36 \text{ см}^2$. Сторона такого квадрата будет равна корню квадратному из его площади:

$a = \sqrt{S} = \sqrt{36 \text{ см}^2} = 6 \text{ см}$.

Значит, нам нужно из прямоугольника 9 см x 4 см составить квадрат 6 см x 6 см.

3. Для этого можно выполнить следующие разрезы:

• Отступите от одного из концов длинной стороны (9 см) на 6 см и сделайте разрез перпендикулярно этой стороне на всю ширину (4 см). Этот разрез разделит исходный прямоугольник на две части: один прямоугольник размером 6 см x 4 см и второй прямоугольник размером 3 см x 4 см.

• Возьмите прямоугольник размером 3 см x 4 см. Разрежьте его вдоль длинной стороны (4 см) пополам, то есть на расстоянии 2 см от одной из сторон (3 см). Это даст два прямоугольника размером 3 см x 2 см каждый.

Таким образом, мы получим три прямоугольника:

• Один прямоугольник 6 см x 4 см.

• Два прямоугольника 3 см x 2 см.

4. Для составления квадрата со стороной 6 см из этих трех частей:

• Положите прямоугольник 6 см x 4 см.

• Два прямоугольника 3 см x 2 см положите рядом друг с другом так, чтобы их стороны длиной 3 см соприкасались. Это образует один прямоугольник размером $ (3+3) \text{ см} \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см} \times 2 \text{ см}$.

• Приложите получившийся прямоугольник 6 см x 2 см к стороне длиной 6 см прямоугольника 6 см x 4 см. В результате вы получите квадрат со стороной $6 \text{ см} \times (4+2) \text{ см} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.

Ответ:

Исходный прямоугольник 9 см x 4 см следует разрезать на три части: один прямоугольник 6 см x 4 см и два прямоугольника 3 см x 2 см. Эти три части могут быть соединены для формирования квадрата 6 см x 6 см.

б) Докажите, что в прямоугольном треугольнике утроенная гипотенуза больше удвоенной суммы катетов.

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.

Перевод в СИ не требуется, так как задача является доказательством математического неравенства, а не расчетом физических величин.

Найти:

Доказать, что $3c > 2(a+b)$.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По теореме Пифагора имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Нам необходимо доказать неравенство:

$3c > 2(a+b)$

Поскольку $a$, $b$, $c$ — это длины сторон треугольника, они являются положительными величинами. Следовательно, обе части неравенства $3c$ и $2(a+b)$ положительны. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(3c)^2 > (2(a+b))^2$

$9c^2 > 4(a+b)^2$

Теперь подставим $c^2 = a^2+b^2$ согласно теореме Пифагора и раскроем скобки в правой части:

$9(a^2+b^2) > 4(a^2+2ab+b^2)$

$9a^2+9b^2 > 4a^2+8ab+4b^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$9a^2+9b^2 - 4a^2 - 8ab - 4b^2 > 0$

$5a^2 - 8ab + 5b^2 > 0$

Преобразуем левую часть этого неравенства, выделив полный квадрат:

$5a^2 - 8ab + 5b^2 = (4a^2 - 8ab + 4b^2) + (a^2 + b^2)$

$= 4(a^2 - 2ab + b^2) + a^2 + b^2$

$= 4(a-b)^2 + a^2 + b^2$

Поскольку $(a-b)^2 \ge 0$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен), и $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ (так как $a$ и $b$ - длины катетов, они являются положительными числами), то сумма $4(a-b)^2 + a^2 + b^2$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, мы доказали, что $5a^2 - 8ab + 5b^2 > 0$. Поскольку все преобразования были равносильными (в том числе возведение в квадрат положительных чисел), исходное неравенство $3c > 2(a+b)$ также верно.

Ответ:

Доказано, что $3c > 2(a+b)$ путем преобразования исходного неравенства в тождественно верное неравенство $4(a-b)^2 + a^2 + b^2 > 0$, что выполняется для любых положительных значений катетов $a$ и $b$.

Постройте прямоугольный треуготельник ABC с прямым углом C. Из какой-либо точки D его гипотенузы проведите перпендикуляр DH к катету AC. Измерьте отрезки AC, AB, AH и AD. Сравните отношения:

а) $ \frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}} $ и $ \frac{\mathit{DH}}{\mathit{AD}} $;

б) $ \frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}} $ и $ \frac{\mathit{DH}}{\mathit{AH}} $;

в) $ \frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}} $ и $ \frac{\mathit{AH}}{\mathit{DH}} $.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и провести теоретический анализ, основанный на подобии треугольников.

Шаг 1: Построение

Построим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Для этого начертим два взаимно перпендикулярных отрезка $AC$ и $BC$. Соединив точки $A$ и $B$, получим гипотенузу $AB$.

На гипотенузе $AB$ выберем произвольную точку $D$.

Из точки $D$ проведем перпендикуляр $DH$ к катету $AC$. Это означает, что отрезок $DH$ образует с отрезком $AC$ прямой угол, то есть $\angle AHD = 90^\circ$. Точка $H$ при этом лежит на катете $AC$.

Шаг 2: Анализ и доказательство

Рассмотрим два треугольника, которые у нас получились: большой $\triangle ABC$ и малый $\triangle ADH$.

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. В $\triangle ABC$ угол $\angle ACB = 90^\circ$ по первоначальному построению.

3. В $\triangle ADH$ угол $\angle AHD = 90^\circ$ по построению перпендикуляра $DH$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\angle DAH$ и $\angle AHD$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle BAC$ и $\angle ACB$), то треугольники $\triangle ADH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle ADH \sim \triangle ABC$) следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Соответствующие стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов. Таким образом, мы получаем следующую пропорцию:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AC} = \frac{DH}{BC}$

Теперь, основываясь на этом выводе, сравним заданные отношения.

а) $\frac{BC}{AB}$ и $\frac{DH}{AD}$

Эти отношения являются определениями синуса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

В $\triangle ADH$: $\sin A = \frac{DH}{AD}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

Поскольку угол $A$ у этих треугольников общий, значения его синуса равны. Следовательно, $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

Также это можно вывести из пропорции подобия. Возьмем ее части $\frac{AD}{AB} = \frac{DH}{BC}$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем $AD \cdot BC = AB \cdot DH$. Разделив обе части на $AB \cdot AD$, придем к равенству $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{BC}{AB} = \frac{DH}{AD}$.

б) $\frac{BC}{AC}$ и $\frac{DH}{AH}$

Эти отношения являются определениями тангенса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\tan A = \frac{BC}{AC}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

В $\triangle ADH$: $\tan A = \frac{DH}{AH}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

Так как угол $A$ общий, значения его тангенса равны. Следовательно, $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

Это также следует из пропорции подобия $\frac{AH}{AC} = \frac{DH}{BC}$. Преобразовав ее, получим $AH \cdot BC = AC \cdot DH$, откуда $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$.

в) $\frac{AC}{BC}$ и $\frac{AH}{DH}$

Эти отношения являются определениями котангенса угла $A$ в прямоугольных треугольниках $ABC$ и $ADH$ соответственно.

В $\triangle ABC$: $\cot A = \frac{AC}{BC}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).

В $\triangle ADH$: $\cot A = \frac{AH}{DH}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).

Так как угол $A$ общий, значения его котангенса равны. Следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.

Этот результат можно также получить, взяв обратные дроби из равенства, доказанного в пункте б). Если $\frac{BC}{AC} = \frac{DH}{AH}$, то и $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.

Ответ: Отношения равны: $\frac{AC}{BC} = \frac{AH}{DH}$.