Страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Если $a$ и $b$ - длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ - длина его гипотенузы, то справедливо соотношение $a^2 + b^2 = c^2$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Построим квадрат со стороной $a+b$. Внутри этого большого квадрата расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника (конгруэнтных исходному), каждый с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Разместим их таким образом, чтобы они образовали внутренний квадрат со стороной $c$.

Площадь большого квадрата равна $(a+b)^2$.

Площадь каждого из четырех прямоугольных треугольников равна $\frac{1}{2}ab$. Суммарная площадь четырех треугольников равна $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Площадь внутреннего квадрата, образованного гипотенузами, равна $c^2$.

Площадь большого квадрата также можно представить как сумму площадей четырех треугольников и площади внутреннего квадрата:

$(a+b)^2 = 2ab + c^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Вычтем $2ab$ из обеих частей уравнения:

$a^2 + b^2 = c^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Формулировка: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

Если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется соотношение $a^2 + b^2 = c^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, является прямым.

Доказательство:

Пусть дан треугольник со сторонами $a, b, c$, для которого выполняется условие $a^2 + b^2 = c^2$.

Построим вспомогательный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$ и $b$. Обозначим его гипотенузу через $x$.

По теореме Пифагора, примененной к построенному прямоугольному треугольнику, имеем:

$a^2 + b^2 = x^2$

По условию, для исходного треугольника выполняется $a^2 + b^2 = c^2$.

Сравнивая два равенства ($a^2 + b^2 = x^2$ и $a^2 + b^2 = c^2$), получаем $x^2 = c^2$.

Поскольку $x$ и $c$ являются длинами сторон треугольников, они должны быть положительными величинами. Следовательно, из $x^2 = c^2$ следует $x = c$.

Таким образом, исходный треугольник имеет стороны $a, b, c$, а построенный прямоугольный треугольник имеет стороны $a, b, x$. Поскольку мы показали, что $x=c$, то стороны двух треугольников совпадают ($a, b, c$).

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), исходный треугольник и построенный прямоугольный треугольник конгруэнтны.

Поскольку построенный треугольник является прямоугольным (по построению), то и исходный треугольник также должен быть прямоугольным, и прямой угол в нем лежит напротив стороны $c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

148.

a) Можно ли на основании теоремы Пифагора утверждать, что треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см является прямоугольным?

б) Можно ли утверждать, что треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 9 см – прямоугольный? Если можно, то на основании какой теоремы?

в) Как на местности можно построить прямой угол, используя шпагат, на котором узлами отмечены 1,5 м, 2 м и 2,5 м?

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$, $c = 10 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как для проверки свойства прямоугольного треугольника важны соотношения длин сторон, а не их абсолютные значения в метрах.

Найти:

Можно ли на основании теоремы Пифагора утверждать, что треугольник является прямоугольным?

Решение:

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, необходимо проверить выполнение обратной теоремы Пифагора. Обратная теорема Пифагора утверждает, что если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным. В данном случае, самая длинная сторона — 10 см, а две другие — 6 см и 8 см. Проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - самая длинная сторона:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$10^2 = 100$

Поскольку $6^2 + 8^2 = 10^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: Да.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 12 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $c = 9 \text{ см}$.

Перевод в СИ не требуется, так как для проверки свойства прямоугольного треугольника важны соотношения длин сторон.

Найти:

Можно ли утверждать, что треугольник является прямоугольным? Если можно, то на основании какой теоремы?

Решение:

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, проверим выполнение обратной теоремы Пифагора. Самая длинная сторона — 15 см, две другие — 12 см и 9 см. Проверим, выполняется ли равенство суммы квадратов двух меньших сторон квадрату большей стороны:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$15^2 = 225$

Поскольку $9^2 + 12^2 = 15^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Основанием для этого утверждения является обратная теорема Пифагора (или, как ее иногда называют, теорема, обратная теореме Пифагора).

Ответ: Да, на основании обратной теоремы Пифагора.

в)

Дано:

Длины, отмеченные узлами на шпагате: $l_1 = 1.5 \text{ м}$, $l_2 = 2 \text{ м}$, $l_3 = 2.5 \text{ м}$.

Все данные уже представлены в системе СИ (метрах).

Найти:

Как на местности можно построить прямой угол, используя шпагат, на котором узлами отмечены 1,5 м, 2 м и 2,5 м?

Решение:

Для построения прямого угла на местности можно использовать свойство прямоугольного треугольника, основанное на обратной теореме Пифагора. Сначала проверим, образуют ли данные длины сторон прямоугольный треугольник:

$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$
$2.5^2 = 6.25$

Так как $1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$, эти длины (1.5 м, 2 м, 2.5 м) действительно образуют стороны прямоугольного треугольника. Прямой угол в таком треугольнике находится напротив самой длинной стороны (гипотенузы), то есть напротив стороны длиной 2.5 м.

Порядок действий для построения прямого угла на местности:

1. Возьмите кусок шпагата общей длиной, равной сумме всех трех отрезков: $1.5 + 2 + 2.5 = 6$ м.

2. Отмерьте и отметьте на шпагате узлы. Пусть один конец шпагата будет точкой А (0 м). Отметьте первый узел в точке В на расстоянии 1.5 м от А. Отметьте второй узел в точке С на расстоянии 2 м от В (что составляет 3.5 м от А).

3. Соедините два конца шпагата (точку А и точку, соответствующую 6 м от А), чтобы образовался замкнутый треугольник. Таким образом, у вас образуются три отрезка шпагата: АВ (1.5 м), ВС (2 м) и СА (2.5 м, так как это оставшаяся часть шпагата $6 - 3.5 = 2.5$ м).

4. Разместите три точки (узлы или концы шпагата) на земле, растянув шпагат до натяжения, так чтобы он образовал треугольник. Точку В (где соединяются отрезки 1.5 м и 2 м) закрепите в месте, где вы хотите построить прямой угол.

5. Натяните шпагат, закрепив точки А и С на земле. Угол при вершине В (между сторонами 1.5 м и 2 м) будет прямым углом (90 градусов), так как он лежит напротив стороны 2.5 м.

Ответ: На местности можно построить прямой угол, используя шпагат, размеченный как 1.5 м, 2 м и 2.5 м, путем формирования из него треугольника. Угол, заключенный между сторонами 1.5 м и 2 м, будет прямым. Этот метод основан на обратной теореме Пифагора.

149. a) Верно ли, что если для треугольника с большей стороной a и двумя другими сторонами b и c не выполняется равенство $c^2 + b^2 = a^2$, то он не является прямоугольным?

б) Во сколько раз увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый из его катетов увеличится в $n$ раз?

в) На сколько процентов увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый его катет увеличить на 10 %?

а) Верно ли, что если для треугольника с большей стороной a и двумя другими сторонами b и c не выполняется равенство $c^2 + b^2 = a^2$, то он не является прямоугольным?

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (наибольшей стороны) равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, если $a$ — наибольшая сторона, то для прямоугольного треугольника должно выполняться равенство $a^2 = b^2 + c^2$.

Обратная теорема Пифагора утверждает, что если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется равенство $a^2 = b^2 + c^2$ (где $a$ — наибольшая сторона), то этот треугольник является прямоугольным, и прямой угол лежит напротив стороны $a$.

Утверждение в вопросе является контрапозицией обратной теоремы Пифагора. Контрапозиция истинного утверждения всегда истинна. Поскольку обратная теорема Пифагора верна, то и ее контрапозиция, которая звучит как "если $a^2 \neq b^2 + c^2$, то треугольник не является прямоугольным", также верна.

Ответ: Да, это верно.

б) Во сколько раз увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый из его катетов увеличится в n раз?

Дано:

Исходные катеты: $b_0$, $c_0$

Новые катеты: $b_1 = nb_0$, $c_1 = nc_0$

Найти:

Отношение новой гипотенузы к исходной ($a_1 / a_0$)

Решение:

Для исходного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора гипотенуза $a_0$ равна:

$a_0 = \sqrt{b_0^2 + c_0^2}$

Для нового треугольника с катетами $b_1$ и $c_1$ новая гипотенуза $a_1$ равна:

$a_1 = \sqrt{b_1^2 + c_1^2}$

Подставим значения новых катетов:

$a_1 = \sqrt{(nb_0)^2 + (nc_0)^2}$

$a_1 = \sqrt{n^2b_0^2 + n^2c_0^2}$

Вынесем $n^2$ за скобки под корнем:

$a_1 = \sqrt{n^2(b_0^2 + c_0^2)}$

Извлечем $n^2$ из-под корня (поскольку $n$ — это множитель, он положителен):

$a_1 = n\sqrt{b_0^2 + c_0^2}$

Заметим, что $\sqrt{b_0^2 + c_0^2}$ — это исходная гипотенуза $a_0$. Поэтому:

$a_1 = na_0$

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась гипотенуза, разделим новую гипотенузу на исходную:

$\frac{a_1}{a_0} = \frac{na_0}{a_0} = n$

Ответ: В $n$ раз.

в) На сколько процентов увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый его катет увеличить на 10%?

Дано:

Исходные катеты: $b_0$, $c_0$

Каждый катет увеличивается на 10%. Это означает, что новый катет составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от исходного, то есть умножается на $1.1$.

Новые катеты: $b_1 = 1.1b_0$, $c_1 = 1.1c_0$

Найти:

Процентное увеличение гипотенузы.

Решение:

Согласно решению из пункта (б), если каждый катет прямоугольного треугольника увеличивается в $n$ раз, то и гипотенуза увеличивается в $n$ раз.

В данном случае, катеты увеличиваются в $n = 1.1$ раза.

Следовательно, если $a_0$ — исходная гипотенуза, то новая гипотенуза $a_1$ будет:

$a_1 = 1.1a_0$

Абсолютное увеличение гипотенузы равно разнице между новой и исходной гипотенузами:

$\Delta a = a_1 - a_0 = 1.1a_0 - a_0 = 0.1a_0$

Чтобы выразить это увеличение в процентах, используем формулу:

$\text{Процентное увеличение} = \frac{\text{Абсолютное увеличение}}{\text{Исходное значение}} \times 100\%$

$\text{Процентное увеличение} = \frac{0.1a_0}{a_0} \times 100\%$

$\text{Процентное увеличение} = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: На 10%.

150. a) В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3 дм. Чему равны катеты этого треугольника?

б) В прямоугольном $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AC = 3 \text{ дм}$, $\cos B = \frac{8}{17}$. Найдите $CB$ и $AB$.

a)

Дано:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Катеты: $a = b$

Гипотенуза: $c = 3$ дм

Перевод в СИ:

$c = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

Катеты $a$, $b$

Решение:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим их за $a$. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Так как $a = b$, то уравнение принимает вид:

$a^2 + a^2 = c^2$

$2a^2 = c^2$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{c^2}{2}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}}$

Подставляем значение гипотенузы $c = 3$ дм:

$a = \frac{3}{\sqrt{2}}$ дм

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм

Так как $b = a$, то $b = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм.

Ответ: Катеты равны $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ дм.

б)

Дано:

Прямоугольный $\triangle ABC$

$\angle C = 90^\circ$

$AC = 3$ дм

$\cos B = \frac{8}{17}$

Перевод в СИ:

$AC = 3$ дм $= 0.3$ м

Найти:

$CB$ и $AB$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с прямым углом $C$, катет $AC$ является противолежащим углу $B$, катет $CB$ является прилежащим углу $B$, а $AB$ - гипотенуза.

По определению синуса угла $B$: $\sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.

По определению косинуса угла $B$: $\cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CB}{AB}$.

Используем основное тригонометрическое тождество для нахождения $\sin B$:

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$

Выразим $\sin^2 B$:

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$

Подставим известное значение $\cos B = \frac{8}{17}$:

$\sin^2 B = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$

$\sin^2 B = 1 - \frac{64}{289}$

Приведем к общему знаменателю:

$\sin^2 B = \frac{289 - 64}{289}$

$\sin^2 B = \frac{225}{289}$

Извлекаем квадратный корень. Поскольку $B$ является углом прямоугольного треугольника, он острый, и его синус положителен:

$\sin B = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$

Теперь найдем гипотенузу $AB$ из определения синуса ($\sin B = \frac{AC}{AB}$):

$AB = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим значения $AC = 3$ дм и $\sin B = \frac{15}{17}$:

$AB = \frac{3}{\frac{15}{17}}$

$AB = 3 \cdot \frac{17}{15}$

$AB = \frac{17}{5}$

$AB = 3.4$ дм

Теперь найдем катет $CB$ из определения косинуса ($\cos B = \frac{CB}{AB}$):

$CB = AB \cdot \cos B$

Подставим значения $AB = 3.4$ дм и $\cos B = \frac{8}{17}$:

$CB = 3.4 \cdot \frac{8}{17}$

Для удобства вычислений представим $3.4$ как дробь $3.4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$:

$CB = \frac{17}{5} \cdot \frac{8}{17}$

$CB = \frac{8}{5}$

$CB = 1.6$ дм

Ответ: $CB = 1.6$ дм, $AB = 3.4$ дм.

151. a) В равнобедренной трапеции основания равны 8 дм и 14 дм, высота трапеции 4 дм. Найдите боковую сторону трапеции.

б) Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 56 см, а разность сторон 4 см.

в) Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами 7 см и 24 см и построены точки $A_1$ и $C_1$, симметричные точкам $A$ и $C$ относительно прямой $BD$. Докажите, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник и найдите его диагональ $A_1C_1$.

а)

Дано:

Трапеция равнобедренная.

Основания: $a = 8$ дм, $b = 14$ дм.

Высота: $h = 4$ дм.

Перевод в СИ:

$a = 8$ дм $= 0.8$ м.

$b = 14$ дм $= 1.4$ м.

$h = 4$ дм $= 0.4$ м.

Найти:

Боковая сторона $c$.

Решение:

В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее основание, то большее основание делится на три отрезка: два равных по краям и один, равный меньшему основанию, в центре.

Длина крайних отрезков $x$ на большем основании определяется как:

$x = \frac{b - a}{2}$

Подставим значения:

$x = \frac{14 \text{ дм} - 8 \text{ дм}}{2} = \frac{6 \text{ дм}}{2} = 3 \text{ дм}$

Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных боковой стороной, высотой и отрезком $x$. Боковая сторона является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + x^2$

$c^2 = (4 \text{ дм})^2 + (3 \text{ дм})^2$

$c^2 = 16 \text{ дм}^2 + 9 \text{ дм}^2$

$c^2 = 25 \text{ дм}^2$

$c = \sqrt{25 \text{ дм}^2} = 5 \text{ дм}$

Ответ: 5 дм

б)

Дано:

Прямоугольник.

Периметр $P = 56$ см.

Разность сторон $l - w = 4$ см (пусть $l$ - большая сторона, $w$ - меньшая).

Перевод в СИ:

$P = 56$ см $= 0.56$ м.

$l - w = 4$ см $= 0.04$ м.

Найти:

Диагональ $d$.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $l$ и $w$.

Периметр прямоугольника задается формулой $P = 2(l + w)$.

Имеем систему уравнений:

$1) 2(l + w) = 56$

$2) l - w = 4$

Из первого уравнения:

$l + w = \frac{56}{2}$

$l + w = 28$

Теперь у нас есть простая система:

$1') l + w = 28$

$2') l - w = 4$

Сложим уравнения $1')$ и $2')$:

$(l + w) + (l - w) = 28 + 4$

$2l = 32$

$l = \frac{32}{2} = 16$ см

Подставим значение $l$ в уравнение $1')$:

$16 + w = 28$

$w = 28 - 16 = 12$ см

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см.

Диагональ прямоугольника $d$ можно найти по теореме Пифагора, так как диагональ, вместе со сторонами, образует прямоугольный треугольник:

$d^2 = l^2 + w^2$

$d^2 = (16 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$d^2 = 256 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$d^2 = 400 \text{ см}^2$

$d = \sqrt{400 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см

в)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Стороны $AB = 7$ см, $BC = 24$ см.

Точки $A_1$ и $C_1$ симметричны $A$ и $C$ соответственно относительно прямой $BD$.

Перевод в СИ:

$AB = 7$ см $= 0.07$ м.

$BC = 24$ см $= 0.24$ м.

Найти:

Доказать, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник.

Диагональ $A_1C_1$.

Решение:

Докажем, что $AA_1CC_1$ – прямоугольник.

1. Свойства симметрии: По определению симметрии относительно прямой, если точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BD$, то отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $BD$ и делится ею пополам. Аналогично, отрезок $CC_1$ перпендикулярен прямой $BD$ и делится ею пополам.

2. Параллельность сторон: Поскольку $AA_1 \perp BD$ и $CC_1 \perp BD$, то $AA_1 \parallel CC_1$.

3. Равенство сторон: Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. $O$ лежит на диагонали $BD$. Так как $O$ является центром симметрии прямоугольника, то точка $A$ находится на таком же расстоянии от $BD$, как и точка $C$. (Более строго: расстояние от $A$ до $BD$ равно высоте треугольника $ABD$ из вершины $A$ на сторону $BD$. Расстояние от $C$ до $BD$ равно высоте треугольника $CDB$ из вершины $C$ на сторону $BD$. Поскольку $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ и $BD$ является их общей стороной, высоты, опущенные из $A$ и $C$ на $BD$, равны). Следовательно, длины перпендикуляров от $A$ и $C$ к $BD$ равны. Обозначим эту длину $h_{AD}$. Тогда $AA_1 = 2h_{AD}$ и $CC_1 = 2h_{CD}$. Поскольку $h_{AD} = h_{CD}$, то $AA_1 = CC_1$.

4. Тип четырехугольника: Поскольку $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$, четырехугольник $AA_1CC_1$ является параллелограммом (у него две противоположные стороны параллельны и равны).

5. Доказательство, что это прямоугольник: Диагоналями параллелограмма $AA_1CC_1$ являются $AC$ и $A_1C_1$. Свойство симметрии относительно прямой заключается в том, что оно является изометрией (сохраняет расстояния между точками). Следовательно, длина отрезка $AC$ равна длине его образа $A_1C_1$. То есть, $AC = A_1C_1$. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Таким образом, $AA_1CC_1$ является прямоугольником.

Найдем диагональ $A_1C_1$:

Как было показано выше, $A_1C_1 = AC$. $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$.

Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = 7$ см и $BC = 24$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (7 \text{ см})^2 + (24 \text{ см})^2$

$AC^2 = 49 \text{ см}^2 + 576 \text{ см}^2$

$AC^2 = 625 \text{ см}^2$

$AC = \sqrt{625 \text{ см}^2} = 25 \text{ см}$

Следовательно, диагональ $A_1C_1 = 25$ см.

Ответ: 25 см