Страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется синусом, тангенсом, котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Докажите, что $ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} $, где $\alpha$ – острый угол.

1. Что называется синусом, тангенсом, котангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Например, для угла $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Например, для угла $\alpha$: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Например, для угла $\alpha$: $\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$

Ответ:

2. Докажите, что ctg $\alpha = \frac{1}{tg \alpha}$, где $\alpha$ - острый угол.

Решение

Пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$. Обозначим противолежащий катет по отношению к углу $\alpha$ как $a$, прилежащий катет как $b$, и гипотенузу как $c$.

По определению тангенса острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

По определению котангенса острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

$\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{\tan \alpha}$:

$\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{a}{b}}$

При делении на дробь, мы умножаем на обратную ей дробь:

$\frac{1}{\frac{a}{b}} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a}$

Таким образом, мы получили, что $\frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$.

Сравнивая это с определением котангенса, $\cot \alpha = \frac{b}{a}$, видим, что:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

161. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 16 см.

Найдите:

а) синус большего острого угла треугольника;

б) сумму синусов острых углов;

в) тангенс одного из острых углов;

г) произведение тангенсов острых углов;

д) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов;

е) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов.

Дано:

Катеты прямоугольного треугольника: $a = 12 \text{ см}$, $b = 16 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

a) синус большего острого угла треугольника

b) сумму синусов острых углов

c) тангенс одного из острых углов

d) произведение тангенсов острых углов

e) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов

f) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов

Решение:

Сначала найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

Теперь определим значения синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a = 12 \text{ см}$, и $\beta$ - угол, противолежащий катету $b = 16 \text{ см}$. Поскольку $16 \text{ см} > 12 \text{ см}$, угол $\beta$ является большим острым углом.

Синусы острых углов:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

Косинусы острых углов:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

Тангенсы острых углов:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

Котангенсы острых углов:

$\cot(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

$\cot(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

a) синус большего острого угла треугольника

Больший острый угол - это угол $\beta$, противолежащий большему катету $b = 16 \text{ см}$.

$\sin(\beta) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: $0.8$

b) сумму синусов острых углов

Сумма синусов острых углов $\alpha$ и $\beta$:

$\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 0.6 + 0.8 = 1.4$

Ответ: $1.4$

c) тангенс одного из острых углов

Возьмем, например, тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $0.75$

d) произведение тангенсов острых углов

Произведение тангенсов острых углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Ответ: $1$

e) сумму квадратов синуса и косинуса каждого из острых углов

По основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна 1.

Для угла $\alpha$: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = (0.6)^2 + (0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1$

Для угла $\beta$: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = (0.8)^2 + (0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1$

Ответ: $1$ (для каждого из углов)

f) произведение тангенса и котангенса каждого из острых углов

По определению, котангенс угла является обратной величиной тангенса этого же угла ($\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$). Следовательно, их произведение равно 1.

Для угла $\alpha$: $\tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Для угла $\beta$: $\tan(\beta) \cdot \cot(\beta) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

Ответ: $1$ (для каждого из углов)

162. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а один из катетов 9 см. Найдите:

а) $sin$ меньшего острого угла треугольника;

б) сумму квадратов $sin$ острых углов;

в) сумму $tan$ и $cot$ одного из острых углов;

г) квадрат суммы $sin$ и $cos$ каждого из острых углов.

Дано:

прямоугольный треугольник

гипотенуза $c = 15 \text{ см}$

катет $a = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$c = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$a = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

a) синус меньшего острого угла

б) сумму квадратов синусов острых углов

в) сумму тангенса и котангенса одного из острых углов

г) квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты $a$ и $b$, и гипотенузу $c$.

По условию, $c = 15 \text{ см}$ и один из катетов $a = 9 \text{ см}$.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$9^2 + b^2 = 15^2$

$81 + b^2 = 225$

$b^2 = 225 - 81$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12 \text{ см}$

Таким образом, катеты треугольника равны $9 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а гипотенуза $15 \text{ см}$.

Острые углы треугольника обозначим $\alpha$ и $\beta$. Пусть угол $\alpha$ лежит напротив катета $a=9 \text{ см}$, а угол $\beta$ - напротив катета $b=12 \text{ см}$.

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета. Так как $9 \text{ см} < 12 \text{ см}$, то угол $\alpha$ является меньшим острым углом.

Найдем значения синусов и косинусов острых углов:

Для угла $\alpha$ (напротив катета $a=9 \text{ см}$):

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$

Для угла $\beta$ (напротив катета $b=12 \text{ см}$):

$\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

Найдем значения тангенсов и котангенсов острых углов:

Для угла $\alpha$:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$

$\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Для угла $\beta$:

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$\cot \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$

a) синус меньшего острого угла треугольника;

Меньший острый угол - это $\alpha$ (напротив катета $9 \text{ см}$).

$\sin \alpha = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$

б) сумму квадратов синусов острых углов;

Острые углы треугольника - это $\alpha$ и $\beta$. Сумма квадратов их синусов:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$

(Это также следует из основного тригонометрического тождества, так как $\sin \beta = \cos \alpha$ для острых углов прямоугольного треугольника: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$).

Ответ: $1$

в) сумму тангенса и котангенса одного из острых углов;

Выберем угол $\alpha$. Сумма его тангенса и котангенса:

$\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{3}{4} + \frac{4}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12}$

(Если бы мы выбрали угол $\beta$, результат был бы тот же: $\tan \beta + \cot \beta = \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{25}{12}$).

Ответ: $\frac{25}{12}$

г) квадрат суммы синуса и косинуса каждого из острых углов.

Для угла $\alpha$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{3+4}{5}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{7^2}{5^2} = \frac{49}{25}$

Для угла $\beta$:

$(\sin \beta + \cos \beta)^2 = \left(\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right)^2 = \left(\frac{4+3}{5}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}$

Ответ: $\frac{49}{25}$

163. а) Найдите неизвестные катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если:

1) второй катет равен 3 см, а тангенс противолежащего ему угла равен 0,75;

2) второй катет равен 10 см, а тангенс прилежащего к нему угла равен 2,4.

б) В прямоугольном $\triangle ABD$ $\angle B = 90^\circ$, высота $BC = 6$ см, $AC = 8$ см. Найдите $CD$.

в) Площадь прямоугольника равна $420$ см$^2$, а разность его сторон равна $23$ см. Найдите тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами.

Озеро Верхний Кольсай

г) На берегу горного озера Верхнее в казахстанском национальном природном парке «Кольсайские озера» находится пункт $X$. На какой высоте $XH$ над уровнем моря он находится, если расстояние от пункта $X$ до пункта $A$, расположенного на уровне моря у подножия горы, равно 3 км, а $\angle HAX = 65^\circ$? (Ответ найдите с точностью до $0,1$ км.)

а)

1)

Дано:

Прямоугольный треугольник.
Катет $a = 3$ см.
Тангенс угла $\alpha$ противолежащего катету $a$: $\tan \alpha = 0.75$.

Найти:

Неизвестный катет $b$.
Гипотенуза $c$.

Решение:

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике, $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
В нашем случае, $\tan \alpha = \frac{a}{b}$.
$0.75 = \frac{3}{b}$
$b = \frac{3}{0.75} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ см.
Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ:

Неизвестный катет: $4$ см. Гипотенуза: $5$ см.

2)

Дано:

Прямоугольный треугольник.
Катет $a = 10$ см.
Тангенс угла $\beta$ прилежащего к катету $a$: $\tan \beta = 2.4$.

Найти:

Неизвестный катет $b$.
Гипотенуза $c$.

Решение:

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике, $\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
В нашем случае, $\tan \beta = \frac{b}{a}$.
$2.4 = \frac{b}{10}$
$b = 2.4 \cdot 10 = 24$ см.
Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
$c = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ:

Неизвестный катет: $24$ см. Гипотенуза: $26$ см.

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник $\triangle ABD$.
$\angle B = 90^\circ$.
Высота $BC = 6$ см (где $C$ лежит на гипотенузе $AD$).
Отрезок гипотенузы $AC = 8$ см.

Найти:

$CD$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABD$ с прямым углом при вершине $B$, проведена высота $BC$ к гипотенузе $AD$.
По свойству высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу: $BC^2 = AC \cdot CD$.
Подставим известные значения:
$6^2 = 8 \cdot CD$.
$36 = 8 \cdot CD$.
$CD = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Ответ:

$CD = 4.5$ см.

в)

Дано:

Прямоугольник.
Площадь $S = 420 \text{ см}^2$.
Разность сторон $a - b = 23$ см (пусть $a$ - большая сторона, $b$ - меньшая).

Найти:

Тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.
Площадь прямоугольника выражается формулой $S = a \cdot b$.
По условию: $a \cdot b = 420$.
Также по условию: $a - b = 23 \implies a = 23 + b$.
Подставим выражение для $a$ в уравнение площади:
$(23 + b) \cdot b = 420$.
$23b + b^2 = 420$.
Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:
$b^2 + 23b - 420 = 0$.
Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47$.
Найдем значения $b$:
$b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-23 \pm 47}{2}$.
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
$b = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Теперь найдем $a$:
$a = 23 + b = 23 + 12 = 35$ см.
Проверим: $35 \cdot 12 = 420$. Значения сторон найдены верно.
Диагональ прямоугольника образует два угла с его сторонами. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.
Тангенс угла $\alpha$ между диагональю и стороной $a$ равен отношению противолежащей стороны $b$ к прилежащей стороне $a$:
$\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{12}{35}$.
Тангенс угла $\beta$ между диагональю и стороной $b$ равен отношению противолежащей стороны $a$ к прилежащей стороне $b$:
$\tan \beta = \frac{a}{b} = \frac{35}{12}$.

Ответ:

Тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами, равны $\frac{12}{35}$ и $\frac{35}{12}$.

г)

Дано:

Расстояние от пункта $X$ до пункта $A$: $XA = 3$ км.
Угол $\angle HAX = 65^\circ$ (угол между гипотенузой $XA$ и горизонталью $HA$, где $XH$ - искомая высота).
Треугольник $XHA$ - прямоугольный, с прямым углом $\angle H = 90^\circ$.

Перевод в СИ:

$XA = 3$ км. (Перевод в метры не требуется, так как ответ просят в км).
$\angle HAX = 65^\circ$.

Найти:

Высота $XH$ над уровнем моря.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $XHA$, где $XH$ является катетом, противолежащим углу $\angle HAX$, а $XA$ является гипотенузой, используем определение синуса:
$\sin(\angle HAX) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{XH}{XA}$.
Выразим $XH$:
$XH = XA \cdot \sin(\angle HAX)$.
$XH = 3 \text{ км} \cdot \sin(65^\circ)$.
Используя калькулятор, $\sin(65^\circ) \approx 0.906307787$.
$XH \approx 3 \cdot 0.906307787 \approx 2.71892336$ км.
Округляем результат до 0.1 км:
$XH \approx 2.7$ км.

Ответ:

Высота $XH$ над уровнем моря составляет $2.7$ км.