Страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Объясните, почему синус и косинус любого острого угла меньше единицы.

2. Докажите, что меньшему острому углу соответствует:
а) меньшее значение его синуса;
б) большее значение его косинуса.

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$? Объясните, как можно найти эти значения.

1. Объясните, почему синус и косинус любого острого угла меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Синус острого угла определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, а косинус острого угла — как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Это означает, что длины обоих катетов (противолежащего и прилежащего) всегда меньше длины гипотенузы. Следовательно, дроби, выражающие синус и косинус (катет/гипотенуза), всегда будут меньше единицы, так как числитель меньше знаменателя. Поскольку острый угол лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, синус и косинус этих углов положительны. Таким образом, для любого острого угла $\alpha$ справедливо: $0 < \sin \alpha < 1$ и $0 < \cos \alpha < 1$.

Ответ:

2. Докажите, что меньшему острому углу соответствует:

a) меньшее значение его синуса;

Рассмотрим два острых угла $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такие, что $\alpha_1 < \alpha_2$. Для доказательства можно использовать единичную окружность. Для угла $\alpha$, синус равен y-координате точки, соответствующей этому углу на единичной окружности. При увеличении острого угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, y-координата точки на единичной окружности монотонно увеличивается. Следовательно, если $\alpha_1 < \alpha_2$ (и оба угла острые), то $\sin \alpha_1 < \sin \alpha_2$. Таким образом, меньшему острому углу соответствует меньшее значение его синуса.

Ответ:

b) большее значение его косинуса.

Рассмотрим два острых угла $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такие, что $\alpha_1 < \alpha_2$. Для доказательства можно использовать единичную окружность. Для угла $\alpha$, косинус равен x-координате точки, соответствующей этому углу на единичной окружности. При увеличении острого угла от $0^\circ$ до $90^\circ$, x-координата точки на единичной окружности монотонно уменьшается. Следовательно, если $\alpha_1 < \alpha_2$ (и оба угла острые), то $\cos \alpha_1 > \cos \alpha_2$. Таким образом, меньшему острому углу соответствует большее значение его косинуса.

Ответ:

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$? Объясните, как можно найти эти значения.

Решение

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ следующие:

Для угла $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Для угла $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = 1$

Для угла $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Объяснение, как найти эти значения:

Для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной, например, $a = 2$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Следовательно, $AH = HC = \frac{a}{2} = 1$, и угол $ABH = \angle CBH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным с прямым углом при $H$. Его стороны: гипотенуза $AB = 2$, катет $AH = 1$. Длину второго катета $BH$ найдем по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.

Теперь можем найти тригонометрические функции для $30^\circ$ и $60^\circ$ из треугольника $ABH$:

Для угла $30^\circ$ (угол $ABH$):

$\sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Для угла $60^\circ$ (угол $BAH$):

$\sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2}$

$\tan 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Для угла $45^\circ$:

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $DEF$. У него один угол $90^\circ$, а два других острых угла равны $(180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$. Пусть длины равных катетов $DE$ и $EF$ равны, например, $b = 1$. Тогда гипотенузу $DF$ найдем по теореме Пифагора: $DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь можем найти тригонометрические функции для $45^\circ$ (угол $EDF$ или $EFD$):

$\sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{EF}{DF} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DE}{DF} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ:

167. a) Какие из чисел 0,2; 2,1; 0,(3); $\frac{\sqrt{3}}{3}$ могут быть значениями:

1) синуса острого угла;

2) косинуса острого угла?

б) Какие из чисел 2; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 4 могут быть значениями тангенса острого угла?

Дано:

Числа для части а): $0.2; 2.1; 0.(3); \frac{\sqrt{3}}{3}$

Числа для части б): $2; \frac{\sqrt{3}}{2}; 4$

Найти:

а) 1) Какие из чисел могут быть значениями синуса острого угла?

а) 2) Какие из чисел могут быть значениями косинуса острого угла?

б) Какие из чисел могут быть значениями тангенса острого угла?

Решение:

а) Какие из чисел 0,2; 2,1; 0,(3); $\frac{\sqrt{3}}{3}$ могут быть значениями:

Для острого угла $\alpha$ (то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$) значения синуса и косинуса лежат в интервале $(0, 1)$. Это означает, что синус и косинус острого угла должны быть строго больше 0 и строго меньше 1.

Рассмотрим данные числа:

0,2: Это число находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < 0.2 < 1$. Следовательно, 0,2 может быть значением синуса острого угла.

2,1: Это число больше 1, так как $2.1 > 1$. Следовательно, 2,1 не может быть значением синуса острого угла.

0,(3): Это число равно $\frac{1}{3}$. Оно находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, 0,(3) может быть значением синуса острого угла.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$: Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Тогда $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577$. Это число находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ может быть значением синуса острого угла.

Ответ: 0,2; 0,(3); $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Для косинуса острого угла действуют те же ограничения, что и для синуса: значение должно лежать в интервале $(0, 1)$.

0,2: Это число находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < 0.2 < 1$. Следовательно, 0,2 может быть значением косинуса острого угла.

2,1: Это число больше 1, так как $2.1 > 1$. Следовательно, 2,1 не может быть значением косинуса острого угла.

0,(3): Это число равно $\frac{1}{3}$. Оно находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, 0,(3) может быть значением косинуса острого угла.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$: Это число находится в интервале $(0, 1)$, так как $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ может быть значением косинуса острого угла.

Ответ: 0,2; 0,(3); $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) Какие из чисел 2; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 4 могут быть значениями тангенса острого угла?

Для острого угла $\alpha$ (то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$) значение тангенса лежит в интервале $(0, \infty)$. Это означает, что тангенс острого угла должен быть строго положительным числом.

2: Это число строго больше 0. Следовательно, 2 может быть значением тангенса острого угла.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$: Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Тогда $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866$. Это число строго больше 0. Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ может быть значением тангенса острого угла.

4: Это число строго больше 0. Следовательно, 4 может быть значением тангенса острого угла.

Ответ: 2; $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 4

168. Верно ли, что для любого острого угла $A$:

a) $tg A \ge \sin A$;

б) $tg A \ge \cos A$?

а) tg $A \geq$ sin $A$

Дано

Острый угол $A$, то есть $0^\circ < A < 90^\circ$ или $0 < A < \frac{\pi}{2}$ радиан.

Найти:

Верно ли утверждение tg $A \geq$ sin $A$ для любого острого угла $A$.

Решение

Рассмотрим неравенство tg $A \geq$ sin $A$.

Мы знаем, что tg $A = \frac{\text{sin } A}{\text{cos } A}$. Подставим это в неравенство:

$\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A} \geq \text{sin } A$

Поскольку $A$ - острый угол ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), то $\text{sin } A > 0$ и $\text{cos } A > 0$.

Мы можем разделить обе части неравенства на $\text{sin } A$. Так как $\text{sin } A$ положительный, знак неравенства не изменится:

$\frac{1}{\text{cos } A} \geq 1$

Теперь умножим обе части на $\text{cos } A$. Так как $\text{cos } A$ также положительный для острого угла, знак неравенства снова не изменится:

$1 \geq \text{cos } A$

Это неравенство $1 \geq \text{cos } A$ (или $\text{cos } A \leq 1$) является истинным для любого угла $A$, так как косинус любого угла всегда находится в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \leq \text{cos } A \leq 1$.
Более того, для острого угла $A$ ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), значение $\text{cos } A$ находится в диапазоне $0 < \text{cos } A < 1$.
Следовательно, для любого острого угла $A$, $\text{cos } A$ всегда строго меньше 1 (за исключением предельного случая $A=0$, который не является острым углом).
Таким образом, $1 > \text{cos } A$ для острого угла $A$.
Так как $1 > \text{cos } A$ влечет за собой $1 \geq \text{cos } A$, исходное неравенство tg $A \geq$ sin $A$ является верным для любого острого угла $A$.

Ответ: Верно.

б) tg $A \geq$ cos $A$

Дано

Острый угол $A$, то есть $0^\circ < A < 90^\circ$ или $0 < A < \frac{\pi}{2}$ радиан.

Найти:

Верно ли утверждение tg $A \geq$ cos $A$ для любого острого угла $A$.

Решение

Рассмотрим неравенство tg $A \geq$ cos $A$.

Заменим tg $A$ на $\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A}$:

$\frac{\text{sin } A}{\text{cos } A} \geq \text{cos } A$

Поскольку $A$ - острый угол, $\text{cos } A > 0$. Умножим обе части неравенства на $\text{cos } A$. Знак неравенства не изменится:

$\text{sin } A \geq \text{cos}^2 A$

Используем основное тригонометрическое тождество $\text{cos}^2 A = 1 - \text{sin}^2 A$:

$\text{sin } A \geq 1 - \text{sin}^2 A$

Перенесем все члены в левую часть:

$\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$

Пусть $x = \text{sin } A$. Поскольку $A$ - острый угол ($0 < A < \frac{\pi}{2}$), то $0 < \text{sin } A < 1$, то есть $0 < x < 1$.

Теперь нам нужно определить, выполняется ли неравенство $x^2 + x - 1 \geq 0$ для всех $x$ в интервале $(0, 1)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 1 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Приближенные значения корней:

$x_1 \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$

$x_2 \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$

График параболы $f(x) = x^2 + x - 1$ открывается вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что $f(x) \geq 0$ при $x \geq x_2$ или $x \leq x_1$.

Мы рассматриваем значения $x = \text{sin } A$ в интервале $(0, 1)$. Для того чтобы неравенство $\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$ было верным, нам необходимо, чтобы $\text{sin } A \geq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$, это означает, что неравенство $\text{sin } A \geq 0.618$ должно быть верно для любого острого угла $A$.

Однако это не так. Например, для угла $A = 30^\circ$, $\text{sin } 30^\circ = 0.5$.
$0.5 < 0.618$, то есть $\text{sin } 30^\circ < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, для $A = 30^\circ$ неравенство $\text{sin}^2 A + \text{sin } A - 1 \geq 0$ не выполняется.
Следовательно, исходное неравенство tg $A \geq$ cos $A$ также не выполняется для $A = 30^\circ$.
Проверим: tg $30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, а cos $30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
Ясно, что $0.577 \not\geq 0.866$.

Поскольку мы нашли контрпример, утверждение неверно для любого острого угла $A$.

Ответ: Неверно.

169. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 20 м, а в нижней части – 26 м. Какова высота насыпи, если угол наклона откосов равен $60^\circ$ (рисунок 87)?

Рисунок 87

Дано:

Ширина насыпи в верхней части (меньшее основание трапеции): $b = 20 \, \text{м}$

Ширина насыпи в нижней части (большее основание трапеции): $a = 26 \, \text{м}$

Угол наклона откосов: $\alpha = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы), перевод не требуется.

Найти:

Высота насыпи: $h$

Решение:

Поперечное сечение насыпи представляет собой равнобедренную трапецию. Опустим две высоты из вершин верхнего основания на нижнее основание. Эти высоты разделят трапецию на прямоугольник посередине и два равных прямоугольных треугольника по бокам. Ширина прямоугольника будет равна длине верхнего основания трапеции, то есть $20 \, \text{м}$.

Суммарная длина оснований двух прямоугольных треугольников будет равна разности между нижним и верхним основаниями трапеции:

$(a - b) = 26 \, \text{м} - 20 \, \text{м} = 6 \, \text{м}$

Поскольку трапеция равнобедренная, основания этих двух треугольников равны. Следовательно, длина основания каждого прямоугольного треугольника:

$\text{основание треугольника} = \frac{a - b}{2} = \frac{6 \, \text{м}}{2} = 3 \, \text{м}$

В каждом из прямоугольных треугольников угол наклона откосов $\alpha = 60^\circ$ является углом при основании, а высота насыпи $h$ является противолежащим катетом к этому углу. Длина основания треугольника ($3 \, \text{м}$) является прилежащим катетом.

Используем тригонометрическую функцию тангенса, которая определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{\text{основание треугольника}}$

Выразим высоту $h$:

$h = \text{основание треугольника} \times \tan(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$h = 3 \, \text{м} \times \tan(60^\circ)$

Известно, что значение $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 3 \times \sqrt{3} \, \text{м}$

Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$h \approx 3 \times 1.73205 \, \text{м}$

$h \approx 5.19615 \, \text{м}$

Округлим до сотых:

$h \approx 5.20 \, \text{м}$

Ответ:

Высота насыпи составляет приблизительно $5.20 \, \text{м}$.