Страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

2. Какие задачи называют задачами на решение прямоугольного треугольника? Приведите примеры.

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты обозначены как $a$ и $b$, гипотенуза как $c$. Пусть острый угол, противолежащий катету $a$, равен $\alpha$, а острый угол, противолежащий катету $b$, равен $\beta$. Тогда угол $\alpha$ прилежит к катету $b$, а угол $\beta$ прилежит к катету $a$.

Выражение катета через гипотенузу и острый угол:
Если известен острый угол $\alpha$ и гипотенуза $c$:
Катет, противолежащий углу $\alpha$ ($a$), выражается как произведение гипотенузы на синус этого угла: $a = c \sin \alpha$.
Катет, прилежащий к углу $\alpha$ ($b$), выражается как произведение гипотенузы на косинус этого угла: $b = c \cos \alpha$.

Выражение катета через острый угол и другой катет:
Если известен острый угол $\alpha$ и другой катет $b$:
Катет, противолежащий углу $\alpha$ ($a$), выражается как произведение другого катета на тангенс этого угла: $a = b \tan \alpha$.
Если известен острый угол $\alpha$ и другой катет $a$:
Катет, прилежащий к углу $\alpha$ ($b$), выражается как произведение другого катета на котангенс этого угла (или отношение другого катета к тангенсу этого угла): $b = a \cot \alpha$ или $b = a / \tan \alpha$.
(Используя угол $\beta$: катет $b$ (противолежащий $\beta$) выражается как $a \tan \beta$; катет $a$ (прилежащий к $\beta$) выражается как $b \cot \beta$).

Ответ:

Катет, противолежащий острому углу $\alpha$, выражается как $c \sin \alpha$ или $b \tan \alpha$. Катет, прилежащий к острому углу $\alpha$, выражается как $c \cos \alpha$ или $a \cot \alpha$ (где $a$ - противолежащий катет).

2. Какие задачи называют задачами на решение прямоугольного треугольника? Приведите примеры.

Задачи на решение прямоугольного треугольника — это задачи, в которых по заданным двум элементам (сторонам или углу, причем хотя бы один из них должен быть стороной) требуется найти остальные неизвестные элементы прямоугольного треугольника (длины всех сторон и величины всех острых углов). Всего в прямоугольном треугольнике 6 элементов: 3 стороны и 3 угла (один из которых всегда равен $90^\circ$).

Прямоугольный треугольник может быть решен, если известны:
1. Два катета;
2. Катет и гипотенуза;
3. Катет и острый угол;
4. Гипотенуза и острый угол.

Примеры:

Пример 1: Даны два катета.
Дано: Катеты прямоугольного треугольника $a = 6$ см, $b = 8$ см.
Найти: Гипотенузу $c$, острые углы $\alpha$ (противолежащий катету $a$) и $\beta$ (противолежащий катету $b$).
Решение:
1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
2. Найдем острые углы с помощью тригонометрических функций:
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0.75$. Отсюда $\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$.
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ$.
Ответ: Гипотенуза $c = 10$ см; острые углы $\alpha \approx 36.87^\circ$, $\beta \approx 53.13^\circ$.

Пример 2: Даны гипотенуза и острый угол.
Дано: Гипотенуза $c = 15$ см, острый угол $\alpha = 30^\circ$.
Найти: Катеты $a$ (противолежащий углу $\alpha$) и $b$ (прилежащий к углу $\alpha$), острый угол $\beta$.
Решение:
1. Найдем острый угол $\beta$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Найдем катеты, используя синус и косинус:
$a = c \sin \alpha = 15 \sin 30^\circ = 15 \cdot 0.5 = 7.5$ см.
$b = c \cos \alpha = 15 \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 15 \cdot 0.866 = 12.99$ см.
Ответ: Катет $a = 7.5$ см; катет $b \approx 12.99$ см; острый угол $\beta = 60^\circ$.

190. а) Известны гипотенуза (7 см) прямоугольного треугольника и косинус (0,4) одного из его острых углов. Найдите катеты этого треугольника.

б) Известны катет прямоугольного треугольника ($\frac{5}{7}$ дм) и синус (0,6) противолежащего ему угла. Найдите гипотенузу и неизвестный катет этого треугольника.

в) По данным гипотенузе ($\sqrt{89}$ см) и тангенсу (1,6) одного из острых углов прямоугольного треугольника найдите его катеты.

г) Известны гипотенуза (с) прямоугольного треугольника и один из его острых углов ($30^\circ$). Найдите катеты этого треугольника и косинус его большего острого угла.

а)

Дано:

гипотенуза $c = 7 \, \text{см}$

косинус острого угла $\cos \alpha = 0.4$

В системе СИ:

$c = 7 \cdot 10^{-2} \, \text{м}$

$\cos \alpha = 0.4$

Найти:

катеты $a, b$

Решение:

Пусть $\alpha$ — это острый угол, косинус которого равен $0.4$. Тогда прилежащий к этому углу катет $a$ можно найти по формуле:

$a = c \cdot \cos \alpha$

$a = 7 \, \text{см} \cdot 0.4 = 2.8 \, \text{см}$

Для нахождения второго катета $b$ найдем синус угла $\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84$

$\sin \alpha = \sqrt{0.84}$ (так как $\alpha$ - острый угол, $\sin \alpha > 0$)

Тогда противолежащий катет $b$ можно найти по формуле:

$b = c \cdot \sin \alpha$

$b = 7 \, \text{см} \cdot \sqrt{0.84} = 7\sqrt{0.84} \, \text{см}$

Также можно использовать теорему Пифагора для проверки или нахождения второго катета:

$a^2 + b^2 = c^2$

$(2.8)^2 + b^2 = 7^2$

$7.84 + b^2 = 49$

$b^2 = 49 - 7.84 = 41.16$

$b = \sqrt{41.16} \, \text{см}$

Значения $\sqrt{41.16}$ и $7\sqrt{0.84}$ эквивалентны, так как $7\sqrt{0.84} = \sqrt{49 \cdot 0.84} = \sqrt{41.16}$.

Ответ: катеты равны $2.8 \, \text{см}$ и $\sqrt{41.16} \, \text{см}$ (или $7\sqrt{0.84} \, \text{см}$).

б)

Дано:

катет $a = \frac{5}{7} \, \text{дм}$

синус противолежащего угла $\sin \alpha = 0.6$

В системе СИ:

$a = \frac{5}{7} \cdot 10^{-1} \, \text{м} = \frac{1}{14} \, \text{м}$

$\sin \alpha = 0.6$

Найти:

гипотенуза $c$ и неизвестный катет $b$

Решение:

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Из этого выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha}$

$c = \frac{\frac{5}{7} \, \text{дм}}{0.6} = \frac{5}{7 \cdot 0.6} \, \text{дм} = \frac{5}{4.2} \, \text{дм} = \frac{50}{42} \, \text{дм} = \frac{25}{21} \, \text{дм}$

Для нахождения неизвестного катета $b$ (прилежащего к углу $\alpha$) найдем косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ (так как $\alpha$ - острый угол, $\cos \alpha > 0$)

$\cos \alpha = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Теперь найдем катет $b$:

$b = c \cdot \cos \alpha$

$b = \frac{25}{21} \, \text{дм} \cdot 0.8 = \frac{25 \cdot 0.8}{21} \, \text{дм} = \frac{20}{21} \, \text{дм}$

Ответ: гипотенуза равна $\frac{25}{21} \, \text{дм}$, неизвестный катет равен $\frac{20}{21} \, \text{дм}$.

в)

Дано:

гипотенуза $c = \sqrt{89} \, \text{см}$

тангенс острого угла $\tan \alpha = 1.6$

В системе СИ:

$c = \sqrt{89} \cdot 10^{-2} \, \text{м}$

$\tan \alpha = 1.6$

Найти:

катеты $a, b$

Решение:

Известны соотношения между тригонометрическими функциями:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Из первого соотношения выразим $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$

Подставим во второе соотношение:

$(\tan \alpha \cdot \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$

$\tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + 1) = 1$

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha + 1}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \alpha + 1}}$ (так как $\alpha$ - острый угол, $\cos \alpha > 0$)

Подставим значение $\tan \alpha = 1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$:

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{(\frac{8}{5})^2 + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{64}{25} + 1}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{64+25}{25}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{89}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{89}} = \frac{5}{\sqrt{89}}$

Теперь найдем $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{89}} = \frac{8}{\sqrt{89}}$

Найдем катеты. Пусть катет $a$ прилежащий к углу $\alpha$, а катет $b$ - противолежащий:

$a = c \cdot \cos \alpha$

$a = \sqrt{89} \, \text{см} \cdot \frac{5}{\sqrt{89}} = 5 \, \text{см}$

$b = c \cdot \sin \alpha$

$b = \sqrt{89} \, \text{см} \cdot \frac{8}{\sqrt{89}} = 8 \, \text{см}$

Проверим по теореме Пифагора: $5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 = (\sqrt{89})^2$. Все верно.

Ответ: катеты равны $5 \, \text{см}$ и $8 \, \text{см}$.

г)

Дано:

гипотенуза $c$

один острый угол $\alpha = 30^\circ$

Найти:

катеты, косинус большего острого угла

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Если один острый угол $\alpha = 30^\circ$, то второй острый угол $\beta$ равен:

$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Больший острый угол, таким образом, равен $60^\circ$.

Найдем катеты. Пусть катет $a$ противолежит углу $30^\circ$, а катет $b$ прилежит к углу $30^\circ$.

$a = c \cdot \sin 30^\circ$

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$a = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$

$b = c \cdot \cos 30^\circ$

Мы знаем, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

Косинус большего острого угла ($\beta = 60^\circ$):

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

Ответ: катеты равны $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt{3}}{2}$, косинус большего острого угла равен $\frac{1}{2}$.