Страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

205. Доска длиной $3 \text{ м}$ опирается о стену и наклонена под углом $65^\circ$ к полу. Можно ли протянуть под доской по полу прямоугольный лист жести размером $2 \text{ м} \times 3 \text{ м}$, не касаясь нижнего конца доски? Ответ объясните.

Дано:

Длина доски $ L = 3 \text{ м} $

Угол наклона доски к полу $ \alpha = 65^\circ $

Размеры листа жести $ a = 2 \text{ м} $, $ b = 3 \text{ м} $

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Можно ли протянуть лист жести под доской по полу, не касаясь нижнего конца доски.

Решение:

Представим доску, пол и стену как элементы прямоугольного треугольника. Доска является гипотенузой, пол - прилежащим катетом, а стена - противолежащим катетом к углу $ \alpha $.

Расстояние от стены до нижнего конца доски по полу обозначим как $ D $. Это расстояние является прилежащим катетом к углу $ \alpha $.

Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

$ \cos(\alpha) = \frac{D}{L} $

Выразим расстояние $ D $:

$ D = L \cdot \cos(\alpha) $

Подставим заданные значения:

$ D = 3 \text{ м} \cdot \cos(65^\circ) $

Вычислим значение $ \cos(65^\circ) \approx 0.422618 $:

$ D \approx 3 \text{ м} \cdot 0.422618 $

$ D \approx 1.267854 \text{ м} $

Лист жести имеет размеры 2 м на 3 м. Условие "не касаясь нижнего конца доски" означает, что ни одна из сторон листа, когда он будет полностью протянут под доской, не должна превышать расстояние $ D $ от стены. То есть, чтобы лист полностью поместился под доской, та его сторона, которая будет перпендикулярна стене (двигаться от стены), должна быть меньше или равна $ D $.

Сравним размеры листа жести с вычисленным расстоянием $ D $:

Первый размер листа: $ 2 \text{ м} $

Второй размер листа: $ 3 \text{ м} $

Поскольку $ 2 \text{ м} > 1.267854 \text{ м} $ и $ 3 \text{ м} > 1.267854 \text{ м} $, обе стороны листа жести больше, чем максимально доступное расстояние от стены до нижнего конца доски. Таким образом, невозможно протянуть лист жести размером 2 м × 3 м под доской по полу, не касаясь нижнего конца доски.

Ответ:

Нет, нельзя.

206. a) Две прямолинейные дороги пересекаются под углом $43^\circ$. На одной из них в $6,5$ км от развилки находится пункт, из которого проложен самый короткий путь до второй дороги. Найдите длину этого пути с точностью до $0,001$ км.

б) Из двух пунктов $A$ и $B$, находящихся на противоположных склонах холма, к вершине $C$ холма по его склонам $AC$ и $BC$ поднялись Батыр и Марк. Известно, что $\angle CAB=25^\circ$, $AC=2$ км, $BC=3$ км. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол подъема склона $BC$.

a)

Дано

Угол между дорогами: $\alpha = 43^\circ$

Расстояние от развилки до пункта: $L = 6.5$ км

Перевод в СИ:

Угол между дорогами: $\alpha = 43^\circ$

Расстояние от развилки до пункта: $L = 6500$ м

Найти:

Длина кратчайшего пути: $h$

Решение

Кратчайший путь от пункта на одной дороге до другой дороги представляет собой перпендикуляр, опущенный из этого пункта на вторую дорогу. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где расстояние от развилки до пункта ($L$) является гипотенузой, а кратчайший путь ($h$) - катетом, противолежащим углу между дорогами ($\alpha$).

Для нахождения длины кратчайшего пути используем тригонометрическое соотношение синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Отсюда выразим $h$:

$h = L \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$h = 6.5 \text{ км} \cdot \sin(43^\circ)$

Вычислим значение $\sin(43^\circ)$:

$\sin(43^\circ) \approx 0.68199836$

Теперь рассчитаем $h$:

$h \approx 6.5 \cdot 0.68199836 \approx 4.43298934$

Округлим результат до 0,001 км:

$h \approx 4.433$ км

Ответ: 4.433 км

б)

Дано

Угол $\angle CAB = 25^\circ$

Длина склона $AC = 2$ км

Длина склона $BC = 3$ км

Перевод в СИ:

Угол $\angle CAB = 25^\circ$

Длина склона $AC = 2000$ м

Длина склона $BC = 3000$ м

Найти:

Угол подъема склона $BC$ (то есть $\angle CBA$)

Решение

Для нахождения угла в треугольнике, зная две стороны и угол, противолежащий одной из них, можно использовать теорему синусов. Пусть искомый угол подъема склона BC будет $\angle CBA = \beta$.

По теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle CBA)} = \frac{BC}{\sin(\angle CAB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{2}{\sin(\beta)} = \frac{3}{\sin(25^\circ)}$

Выразим $\sin(\beta)$:

$\sin(\beta) = \frac{2 \cdot \sin(25^\circ)}{3}$

Вычислим значение $\sin(25^\circ)$:

$\sin(25^\circ) \approx 0.42261826$

Теперь рассчитаем $\sin(\beta)$:

$\sin(\beta) \approx \frac{2 \cdot 0.42261826}{3} \approx \frac{0.84523652}{3} \approx 0.28174551$

Чтобы найти $\beta$, используем обратную функцию синуса (арксинус):

$\beta = \arcsin(0.28174551)$

$\beta \approx 16.3650^\circ$

Округлим результат до 1°:

$\beta \approx 16^\circ$

Ответ: 16°

207. Три окружности, радиусы которых относятся как $1:2:3$, внешне касаются друг друга. Найдите градусные меры дуг, заключенных между точками касания.

Дано:

Три окружности с радиусами $R_1, R_2, R_3$.

Отношение радиусов: $R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 2 : 3$.

Окружности внешне касаются друг друга.

Найти:

Градусные меры дуг, заключенных между точками касания на каждой окружности.

Решение:

Пусть радиусы окружностей равны $R_1 = k$, $R_2 = 2k$, $R_3 = 3k$ для некоторого положительного числа $k$.

Пусть центры окружностей $O_1, O_2, O_3$.

Так как окружности касаются внешне, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Таким образом, отрезки, соединяющие центры, образуют треугольник $O_1O_2O_3$.

Длины сторон треугольника $O_1O_2O_3$ будут:

$O_1O_2 = R_1 + R_2 = k + 2k = 3k$

$O_1O_3 = R_1 + R_3 = k + 3k = 4k$

$O_2O_3 = R_2 + R_3 = 2k + 3k = 5k$

Проверим, является ли треугольник $O_1O_2O_3$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$O_1O_2^2 + O_1O_3^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$

$O_2O_3^2 = (5k)^2 = 25k^2$

Так как $O_1O_2^2 + O_1O_3^2 = O_2O_3^2$, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$. То есть, $\angle O_2O_1O_3 = 90^\circ$.

Точки касания двух окружностей лежат на линии, соединяющей их центры. Например, если окружности с центрами $O_i$ и $O_j$ касаются в точке $T_{ij}$, то $T_{ij}$ лежит на отрезке $O_iO_j$.

На каждой окружности две точки касания определяют дугу. Градусная мера этой дуги равна мере соответствующего центрального угла, образованного радиусами, проведенными к точкам касания.

Для первой окружности (с центром $O_1$ и радиусом $R_1$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{12}$ (с окружностью с центром $O_2$) и $T_{13}$ (с окружностью с центром $O_3$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{12}O_1T_{13}$. Поскольку $T_{12}$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и $T_{13}$ лежит на отрезке $O_1O_3$, этот угол совпадает с углом $\angle O_2O_1O_3$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Мы уже установили, что $\angle O_2O_1O_3 = 90^\circ$.

Для второй окружности (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{12}$ (с окружностью с центром $O_1$) и $T_{23}$ (с окружностью с центром $O_3$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{12}O_2T_{23}$. Этот угол совпадает с углом $\angle O_1O_2O_3$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Найдем этот угол, используя косинус в прямоугольном треугольнике $O_1O_2O_3$:

$\cos(\angle O_1O_2O_3) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{O_1O_2}{O_2O_3} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$

Следовательно, градусная мера дуги на второй окружности равна $\arccos(\frac{3}{5})$.

Для третьей окружности (с центром $O_3$ и радиусом $R_3$):

Точки касания на этой окружности — это $T_{13}$ (с окружностью с центром $O_1$) и $T_{23}$ (с окружностью с центром $O_2$). Дуга между этими точками соответствует центральному углу $\angle T_{13}O_3T_{23}$. Этот угол совпадает с углом $\angle O_1O_3O_2$ в треугольнике $O_1O_2O_3$. Найдем этот угол, используя косинус в прямоугольном треугольнике $O_1O_2O_3$:

$\cos(\angle O_1O_3O_2) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{O_1O_3}{O_2O_3} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$

Следовательно, градусная мера дуги на третьей окружности равна $\arccos(\frac{4}{5})$.

Ответ:

Для первой окружности: $90^\circ$

Для второй окружности: $\arccos(\frac{3}{5})$

Для третьей окружности: $\arccos(\frac{4}{5})$

208. a) Упростите выражение:

1) $ \sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha; $

2) $ \operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha, $ где a – острый угол.

б) Определите знак выражения:

1) $ (\cos 60^\circ - \cos 30^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ); $

2) $ (\operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ) \cdot (\sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ). $

а) Упростите выражение:

1)

Дано: выражение $\sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha$

Найти: упростить выражение.

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения:

$\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \sin (90^\circ - \alpha) \cdot \cos \alpha + \cos (90^\circ - \alpha) \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \sin \alpha $

$ = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$ = 1 $

Ответ: $1$

2)

Дано: выражение $\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha$, где $\alpha$ - острый угол.

Найти: упростить выражение.

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения:

$\operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha$

$\operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \operatorname{tg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} (90^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha $

Поскольку $\alpha$ - острый угол, $\operatorname{tg} \alpha \neq 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha \neq 0$. Известно, что $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$.

$ = 1 - 1 = 0 $

Ответ: $0$

б) Определите знак выражения:

1)

Дано: выражение $(\cos 60^\circ - \cos 30^\circ) \cdot (\operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ)$

Найти: знак выражения.

Решение:

Для определения знака выражения, найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим значение первой скобки:

$ \cos 60^\circ - \cos 30^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} $

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1 - \sqrt{3} < 0$. Следовательно, значение первой скобки отрицательно: $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) < 0$.

Вычислим значение второй скобки:

$ \operatorname{tg} 60^\circ - \sin 60^\circ = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Так как $\sqrt{3} > 0$, то значение второй скобки положительно: $(\frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$.

Исходное выражение представляет собой произведение отрицательного числа на положительное число. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.

$ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = \text{отрицательное} $

Ответ: Знак выражения отрицательный.

2)

Дано: выражение $(\operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ) \cdot (\sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ)$

Найти: знак выражения.

Решение:

Для определения знака выражения, найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$

Вычислим значение первой скобки:

$ \operatorname{tg} 30^\circ - \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} $

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$ = \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{6} = \frac{-\sqrt{3}}{6} $

Так как $\sqrt{3} > 0$, то значение первой скобки отрицательно: $(\frac{-\sqrt{3}}{6}) < 0$.

Вычислим значение второй скобки:

$ \sin 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 $

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Следовательно, $0.707 - 1 < 0$. Значение второй скобки отрицательно: $(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1) < 0$.

Исходное выражение представляет собой произведение двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

$ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное} $

Ответ: Знак выражения положительный.

a)

Дано:

Отрезок $AM = 8$ см

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ равна $5$ см

Отрезок $AN = 12$ см

Перевод в СИ:

$AM = 0.08$ м

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ равна $0.05$ м

$AN = 0.12$ м

Найти: Проекцию отрезка $AN$ на прямую $AB$.

Решение:

Пусть $\alpha$ - угол $BAC$.

Проекция отрезка $AM$ на прямую $AC$ определяется как произведение длины отрезка на косинус угла между отрезком и прямой, на которую он проецируется. В данном случае это $AM \cdot \cos(\alpha)$.

Из условия задачи известно, что эта проекция равна $5$ см:

$5 = 8 \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда находим значение косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{5}{8}$

Теперь найдем проекцию отрезка $AN$ на прямую $AB$. Она также определяется как произведение длины отрезка $AN$ на косинус угла $\alpha$:

Проекция $AN$ на $AB = AN \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

Проекция $AN$ на $AB = 12 \cdot \frac{5}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Ответ: $7.5$ см

б)

Дано:

Проекция первого катета на гипотенузу $p_1 = 6$ см

Проекция второго катета на гипотенузу $p_2 = 4$ см

Перевод в СИ:

$p_1 = 0.06$ м

$p_2 = 0.04$ м

Найти: Острые углы прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CD$ - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AB$. Тогда $AD$ и $BD$ - это проекции катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу $AB$ соответственно.

По условию, длины проекций катетов на гипотенузу равны $6$ см и $4$ см. Пусть $AD = 6$ см и $BD = 4$ см.

Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин проекций катетов:

$AB = AD + BD = 6 + 4 = 10$ см.

Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $AC$ (обозначим его $b$):

$b^2 = AB \cdot AD$

$b^2 = 10 \cdot 6 = 60$

$b = AC = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Для катета $BC$ (обозначим его $a$):

$a^2 = AB \cdot BD$

$a^2 = 10 \cdot 4 = 40$

$a = BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем острые углы треугольника $ABC$, используя тригонометрические функции.

Для угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{AB} = \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

$\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$.

Вычислим значение: $\sqrt{15} \approx 3.87298$.

$\cos(\angle A) \approx \frac{3.87298}{5} \approx 0.774596$.

$\angle A \approx 39.231^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $\angle A \approx 39^\circ$.

Для угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{AB} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

$\angle B = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$.

Вычислим значение: $\sqrt{10} \approx 3.16228$.

$\cos(\angle B) \approx \frac{3.16228}{5} \approx 0.632456$.

$\angle B \approx 50.769^\circ$. Округляем до $1^\circ$, получаем $\angle B \approx 51^\circ$.

Проверка: сумма острых углов прямоугольного треугольника должна быть $90^\circ$.

$39^\circ + 51^\circ = 90^\circ$. Расчеты верны.

Ответ: Острые углы треугольника примерно равны $39^\circ$ и $51^\circ$.

210. Найдите значение выражения

$\tan 15^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 75^\circ$

Дано: Выражение $tg 15^\circ \cdot tg 30^\circ \cdot tg 45^\circ \cdot tg 60^\circ \cdot tg 75^\circ$.

Найти: Значение выражения.

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся известными значениями тангенсов для стандартных углов и свойством тангенса $tg (90^\circ - \alpha) = ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.

Известные значения тангенсов:

$tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$tg 45^\circ = 1$

$tg 60^\circ = \sqrt{3}$

Теперь применим свойство $tg (90^\circ - \alpha) = \frac{1}{tg \alpha}$ для $tg 75^\circ$:

$tg 75^\circ = tg (90^\circ - 15^\circ) = ctg 15^\circ = \frac{1}{tg 15^\circ}$

Подставим эти значения и выражения в исходное произведение:

$tg 15^\circ \cdot tg 30^\circ \cdot tg 45^\circ \cdot tg 60^\circ \cdot tg 75^\circ =$

$= tg 15^\circ \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{tg 15^\circ}$

Теперь сгруппируем и сократим члены:

$= (tg 15^\circ \cdot \frac{1}{tg 15^\circ}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}) \cdot 1$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1$

$= 1$

Ответ: 1