Страница 109 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что такое площадь фигуры и какие основные свойства площади вы знаете?

2. Какие фигуры называются:
а) равновеликими;
б) равносоставленными?

3. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

4. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

1. Что такое площадь фигуры и какие основные свойства площади вы знаете?

Площадь фигуры – это положительная величина, характеризующая размер геометрической фигуры на плоскости или поверхности. Она показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри данной фигуры.

Основные свойства площади:

1. Неотрицательность: Площадь любой фигуры всегда неотрицательна. $S \ge 0$.

2. Нормировка (единица измерения): Площадь единичного квадрата (квадрата со стороной, равной единице длины) принимается за единицу измерения площади. Например, $S_{квадрата со стороной 1} = 1$ квадратная единица.

3. Аддитивность (свойство суммирования): Если фигура разбита на несколько непересекающихся фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Если $F = F_1 \cup F_2$ и $F_1 \cap F_2 = \emptyset$, то $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.

4. Инвариантность относительно движения (равенство): Равные фигуры имеют равные площади. Если фигуры $F_1$ и $F_2$ равны (т.е. одна может быть получена из другой с помощью движения: переноса, поворота, симметрии), то $S(F_1) = S(F_2)$.

Ответ:

2. Какие фигуры называются: а) равновеликими; б) равносоставленными?

а) Равновеликими фигурами называются фигуры, имеющие равные площади. При этом они не обязательно должны быть равны (конгруэнтны) или иметь одинаковую форму.

б) Равносоставленными фигурами называются фигуры, которые можно разбить на одинаковое число попарно равных частей (многоугольников). Иными словами, одну фигуру можно составить из тех же частей, из которых составлена другая фигура.

Ответ:

3. Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (длины на ширину).

Пусть прямоугольник имеет стороны длиной $a$ и $b$. Тогда его площадь $S$ выражается формулой $S = a \cdot b$.

Доказательство:

1. Случай, когда стороны $a$ и $b$ - натуральные числа.

Представим прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Разобьем его на $a$ столбцов и $b$ строк единичными квадратами. Таким образом, прямоугольник будет состоять из $a \cdot b$ единичных квадратов. По определению площади, площадь одного единичного квадрата равна 1. Следовательно, площадь всего прямоугольника равна $a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$.

2. Случай, когда стороны $a$ и $b$ - рациональные числа.

Пусть $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, n, p, q$ – натуральные числа. Приведем дроби к общему знаменателю: $a = \frac{mq}{nq}$ и $b = \frac{np}{nq}$.

Рассмотрим единичный квадрат. Разобьем его на $(nq) \times (nq)$ маленьких квадратов со стороной $\frac{1}{nq}$. Площадь такого маленького квадрата равна $(\frac{1}{nq})^2 = \frac{1}{(nq)^2}$.

Прямоугольник со сторонами $a = \frac{mq}{nq}$ и $b = \frac{np}{nq}$ содержит $(mq) \cdot (np)$ таких маленьких квадратов.

Следовательно, его площадь $S = (mq) \cdot (np) \cdot \frac{1}{(nq)^2} = \frac{m \cdot q \cdot n \cdot p}{n^2 \cdot q^2} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = a \cdot b$.

3. Случай, когда стороны $a$ и $b$ - иррациональные числа.

Этот случай доказывается с помощью пределов или принципа полноты (аксиомы непрерывности). Иррациональные числа могут быть аппроксимированы рациональными числами. Построив последовательность вписанных и описанных прямоугольников с рациональными сторонами, их площади будут стремиться к $a \cdot b$. Так как площадь обладает свойством монотонности и непрерывности, площадь прямоугольника с иррациональными сторонами также равна $a \cdot b$.

На основании этих случаев, теорема считается доказанной для любых действительных положительных чисел $a$ и $b$.

Ответ:

4. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Если катеты прямоугольного треугольника имеют длины $a$ и $b$, то его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$.

Обоснование: Прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника, образованного его катетами. Если достроить прямоугольный треугольник до прямоугольника, используя второй такой же треугольник, то площадь полученного прямоугольника будет равна произведению его сторон (катетов исходного треугольника), то есть $a \cdot b$. Поскольку исходный треугольник составляет ровно половину этого прямоугольника, его площадь будет равна $\frac{1}{2} a \cdot b$.

Ответ: