Страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

221. а) В Казахстане самая большая по площади (428 тыс. кв. км) Карагандинская область, а самая малая (98 тыс. кв. км) – Северо-Казахстанская. На сколько процентов площадь Карагандинской области больше, чем площадь Северо-Казахстанской? Ответ дайте с точностью до 1 %.

б) На сколько процентов изменится площадь прямоугольного $\Delta ACB$ с катетами $AC = 4\frac{2}{3}$ дм, $BC = 3,5$ дм, если катет $AC$ увеличить на 20 %, а катет $BC$ уменьшить на 20 %?

а)

Дано

Площадь Карагандинской области ($S_{КО}$) = 428 тыс. кв. км
Площадь Северо-Казахстанской области ($S_{СКО}$) = 98 тыс. кв. км

Перевод в СИ

Единицы измерения площадей даны в тысячах квадратных километров, что является согласованной системой для данной задачи. Перевод в квадратные метры (СИ) не требуется, так как в расчетах будут использоваться отношения площадей, и единицы измерения сократятся.

Найти

На сколько процентов площадь Карагандинской области больше, чем площадь Северо-Казахстанской ($P$).

Решение

Чтобы найти, на сколько процентов одна величина больше другой, нужно найти разность этих величин и разделить ее на ту величину, с которой сравниваем (в данном случае, площадь Северо-Казахстанской области), а затем умножить на 100%.
1. Найдем разницу площадей:
$\Delta S = S_{КО} - S_{СКО} = 428 - 98 = 330$ тыс. кв. км
2. Вычислим процентное соотношение:
$P = \frac{\Delta S}{S_{СКО}} \times 100\%$
$P = \frac{330}{98} \times 100\%$
$P \approx 3.3673469 \times 100\%$
$P \approx 336.73469\%$
3. Округлим результат с точностью до 1% (до целых процентов):
$P \approx 337\%$

Ответ: 337%

б)

Дано

Прямоугольный треугольник $\Delta ACB$.
Исходная длина катета $AC = 4\frac{2}{3}$ дм.
Исходная длина катета $BC = 3.5$ дм.
Катет $AC$ увеличили на 20%.
Катет $BC$ уменьшили на 20%.

Перевод в СИ

Единицы измерения длин катетов даны в дециметрах. Для вычисления процентного изменения площади перевод в метры (СИ) не требуется, так как в расчетах будут использоваться отношения площадей, и единицы измерения сократятся.

Найти

На сколько процентов изменится площадь треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \times a \times b$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
1. Переведем исходные длины катетов в десятичные или обыкновенные дроби:
$AC = 4\frac{2}{3} = \frac{4 \times 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ дм
$BC = 3.5 = \frac{7}{2}$ дм
2. Вычислим исходную площадь треугольника ($S_{исх}$):
$S_{исх} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times \frac{14}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{14 \times 7}{2 \times 3 \times 2} = \frac{98}{12} = \frac{49}{6}$ кв. дм
3. Найдем новые длины катетов:
Катет $AC$ увеличился на 20%, т.е. стал $100\% + 20\% = 120\%$ от исходной длины, или в $1.2$ раза.
$AC_{новый} = AC \times 1.2 = \frac{14}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{14 \times 2}{5} = \frac{28}{5}$ дм
Катет $BC$ уменьшился на 20%, т.е. стал $100\% - 20\% = 80\%$ от исходной длины, или в $0.8$ раза.
$BC_{новый} = BC \times 0.8 = \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{7 \times 2}{5} = \frac{14}{5}$ дм
4. Вычислим новую площадь треугольника ($S_{новый}$):
$S_{новый} = \frac{1}{2} \times AC_{новый} \times BC_{новый} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{5} \times \frac{14}{5} = \frac{28 \times 14}{2 \times 5 \times 5} = \frac{392}{50} = \frac{196}{25}$ кв. дм
5. Вычислим процентное изменение площади. Изменение площади рассчитывается как $\frac{S_{новый} - S_{исх}}{S_{исх}} \times 100\%$:
Изменение $=\frac{\frac{196}{25} - \frac{49}{6}}{\frac{49}{6}} \times 100\%$
Найдем разность в числителе:
$\frac{196}{25} - \frac{49}{6} = \frac{196 \times 6 - 49 \times 25}{25 \times 6} = \frac{1176 - 1225}{150} = \frac{-49}{150}$
Теперь подставим это в формулу изменения:
Изменение $= \frac{\frac{-49}{150}}{\frac{49}{6}} \times 100\% = \frac{-49}{150} \times \frac{6}{49} \times 100\%$
Изменение $= -\frac{6}{150} \times 100\% = -\frac{1}{25} \times 100\% = -4\%$
Отрицательное значение указывает на уменьшение площади.

Ответ: Площадь уменьшится на 4%.

222.

а) В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 10$ см, $\sin A + \sin B = 1,4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

б) Дан прямоугольник $ABCD$, площадь которого равна $36$ см$^2$. Точки $M, N, P, K$ – середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Найдите площадь шестиугольника $AMNCPK$.

в) Внутри острого угла $A$, равного $60^\circ$, отмечена точка $C$, расстояния $CB$ и $CD$ от которой до сторон угла соответственно равны $1$ дм и $2$ дм. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.

а)

Дано:

Треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$

$AB = c = 10$ см

$\sin A + \sin B = 1.4$

Перевод в СИ:

$c = 10$ см $= 0.1$ м

Найти:

$S_{ABC}$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $ ) катеты $a = BC$, $b = AC$, гипотенуза $c = AB$.

По определению синуса: $ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} $ и $ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} $.

Дано $ \sin A + \sin B = 1.4 $.

Подставим выражения для синусов: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1.4 $.

$ \frac{a+b}{c} = 1.4 $.

$ a+b = 1.4c $.

Так как $ c = 10 $ см, то $ a+b = 1.4 \times 10 = 14 $ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $ a^2 + b^2 = c^2 $.

$ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 $.

Возведем в квадрат сумму катетов: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Подставим известные значения: $ 14^2 = 100 + 2ab $.

$ 196 = 100 + 2ab $.

$ 2ab = 196 - 100 $.

$ 2ab = 96 $.

$ ab = 48 $.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $ S_{ABC} = \frac{1}{2}ab $.

$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 48 = 24 $ см$^2$.

Ответ: $24$ см$^2$.

б)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$

$S_{ABCD} = 36$ см$^2$

Точки $M, N, P, K$ – середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Найти:

$S_{AMNCPK}$

Решение:

Шестиугольник $AMNCPK$ образуется из прямоугольника $ABCD$ путем "отсечения" двух угловых треугольников: $ \triangle MBN $ и $ \triangle PDK $.

Пусть длина сторон прямоугольника будет $AB = CD = L$ и $AD = BC = W$.

Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = L \cdot W = 36$ см$^2$.

Так как $M, N, P, K$ – середины сторон:

$M$ – середина $AB$, значит $MB = \frac{L}{2}$.

$N$ – середина $BC$, значит $BN = \frac{W}{2}$.

$P$ – середина $CD$, значит $DP = \frac{L}{2}$.

$K$ – середина $DA$, значит $DK = \frac{W}{2}$.

Треугольник $MBN$ является прямоугольным с катетами $MB$ и $BN$.

Площадь $ S_{\triangle MBN} = \frac{1}{2} \times MB \times BN = \frac{1}{2} \times \frac{L}{2} \times \frac{W}{2} = \frac{LW}{8} $.

Треугольник $PDK$ является прямоугольным с катетами $DP$ и $DK$.

Площадь $ S_{\triangle PDK} = \frac{1}{2} \times DP \times DK = \frac{1}{2} \times \frac{L}{2} \times \frac{W}{2} = \frac{LW}{8} $.

Площадь шестиугольника $AMNCPK$ равна площади прямоугольника за вычетом площадей этих двух треугольников:

$ S_{AMNCPK} = S_{ABCD} - S_{\triangle MBN} - S_{\triangle PDK} $.

$ S_{AMNCPK} = LW - \frac{LW}{8} - \frac{LW}{8} = LW - \frac{2LW}{8} = LW - \frac{LW}{4} = \frac{3LW}{4} $.

Подставим $LW = 36$ см$^2$:

$ S_{AMNCPK} = \frac{3}{4} \times 36 = 3 \times 9 = 27 $ см$^2$.

Ответ: $27$ см$^2$.

в)

Дано:

Острый угол $A = 60^\circ$.

Точка $C$ внутри угла.

Расстояние от $C$ до одной стороны угла $CB = 1$ дм (где $B$ – основание перпендикуляра из $C$ на сторону $AB$).

Расстояние от $C$ до другой стороны угла $CD = 2$ дм (где $D$ – основание перпендикуляра из $C$ на сторону $AD$).

Следовательно, $ \angle ABC = 90^\circ $ и $ \angle ADC = 90^\circ $.

Перевод в СИ:

$CB = 1$ дм $= 0.1$ м

$CD = 2$ дм $= 0.2$ м

Найти:

$S_{ABCD}$

Решение:

Четырехугольник $ABCD$ можно разбить на два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, имеющие общую гипотенузу $AC$.

В $ \triangle ABC $ ($ \angle B = 90^\circ $):

$ AC = \frac{CB}{\sin(\angle CAB)} = \frac{1}{\sin(\angle CAB)} $.

В $ \triangle ADC $ ($ \angle D = 90^\circ $):

$ AC = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2}{\sin(\angle CAD)} $.

Пусть $ \angle CAB = x $. Тогда $ \angle CAD = \angle A - \angle CAB = 60^\circ - x $.

Приравниваем выражения для $AC$:

$ \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\sin(60^\circ - x)} $.

$ \sin(60^\circ - x) = 2\sin x $.

Используем формулу синуса разности: $ \sin(X-Y) = \sin X \cos Y - \cos X \sin Y $.

$ \sin 60^\circ \cos x - \cos 60^\circ \sin x = 2\sin x $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 2\sin x $.

Умножим обе части на 2:

$ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 4\sin x $.

$ \sqrt{3} \cos x = 5\sin x $.

Разделим на $ \cos x $ (так как $ x $ - острый угол, $ \cos x \ne 0 $):

$ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{5} $.

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $AD$.

В $ \triangle ABC $:

$ AB = \frac{CB}{\tan x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}} $ дм.

Площадь $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CB = \frac{1}{2} \times \frac{5}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{5}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

В $ \triangle ADC $:

Сначала найдем $ \tan(\angle CAD) = \tan(60^\circ - x) $.

$ \tan(60^\circ - x) = \frac{\tan 60^\circ - \tan x}{1 + \tan 60^\circ \tan x} = \frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{5}}{1 + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{5}} = \frac{\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ AD = \frac{CD}{\tan(\angle CAD)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $ дм.

Площадь $ S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times CD = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей треугольников:

$ S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{5}{2\sqrt{3}} + \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{13}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

Рационализируем знаменатель:

$ S_{ABCD} = \frac{13}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{13\sqrt{3}}{6} $ дм$^2$.

Ответ: $ \frac{13\sqrt{3}}{6} $ дм$^2$.

Постройте параллелограмм $ABCD$ и проведите его высоты $BH$ и $BK$ к его сторонам $AD$ и $CD$ соответственно. Измерьте $BH$, $BK$, $AD$ и $CD$. Сравните произведения $AD \cdot BH$ и $CD \cdot BK$.

Построение параллелограмма и высот

1. Построим произвольный параллелограмм $ABCD$. Для этого нарисуем отрезок $AD$. Из точки $A$ проведем еще один отрезок $AB$ под любым углом, не равным $0^\circ$ или $180^\circ$. Затем из точки $D$ проведем луч, параллельный $AB$, а из точки $B$ — луч, параллельный $AD$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
2. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. Для этого из точки $B$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую сторону $AD$. Основание этого перпендикуляра обозначим как $H$. В зависимости от угла $A$, точка $H$ может лежать либо на отрезке $AD$ (если $\angle A$ острый), либо на его продолжении (если $\angle A$ тупой).
3. Аналогично проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к стороне $CD$. Опустим перпендикуляр из точки $B$ на прямую, содержащую сторону $CD$. Основание перпендикуляра обозначим как $K$.
4. Далее необходимо измерить длины сторон $AD$, $CD$ и высот $BH$, $BK$ с помощью линейки. Поскольку мы выполняем задачу теоретически, приведем примерные значения, которые могли бы получиться при измерении.
Пусть измерения дали следующие результаты:
$AD = 6$ см
$CD = 4$ см
$BH = 3$ см
$BK = 4.5$ см

Ответ: В результате построения и измерения (на конкретном примере) получены следующие значения: $AD = 6$ см, $CD = 4$ см, $BH = 3$ см, $BK = 4.5$ см.

Сравнение произведений AD ⋅ BH и CD ⋅ BK

Теперь сравним произведения длин сторон на соответствующие им высоты, используя данные нашего примера.
1. Вычислим произведение $AD \cdot BH$:
$AD \cdot BH = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.
2. Вычислим произведение $CD \cdot BK$:
$CD \cdot BK = 4 \text{ см} \cdot 4.5 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.
Как видим, полученные произведения равны: $18 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2$.

Этот результат является закономерностью. Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле "произведение основания на высоту".
Если в качестве основания взять сторону $AD$, то соответствующей высотой будет $BH$, и площадь равна:
$S = AD \cdot BH$
Если же в качестве основания взять сторону $CD$, то соответствующей высотой будет $BK$, и площадь того же самого параллелограмма будет равна:
$S = CD \cdot BK$
Так как обе формулы выражают площадь одной и той же фигуры, то значения этих произведений должны быть равны:
$AD \cdot BH = CD \cdot BK$
При реальных измерениях на бумаге результаты могут незначительно отличаться из-за погрешностей построения и измерения.

Ответ: Произведения $AD \cdot BH$ и $CD \cdot BK$ равны, так как каждое из них равно площади параллелограмма $ABCD$.