Страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма.

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

3. По какой формуле можно найти площадь: а) треугольника, если известны две его стороны и угол между ними; б) параллелограмма, если известны две его соседние стороны и угол между ними?

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма.

Формулировка:

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Математически: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны параллелограмма (основания), $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Пусть длина стороны $AD = a$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и высоту $CK$ из вершины $C$ к той же прямой. Обозначим длину этих высот как $h_a$ (поскольку $BC \parallel AD$, высоты, опущенные из $B$ и $C$ на прямую $AD$, равны).

Таким образом, мы построили прямоугольник $HBCK$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

• Гипотенузы: $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
• Катеты: $BH = CK = h_a$ (как высоты, проведенные между параллельными прямыми).

Следовательно, $\triangle ABH \cong \triangle DCK$ (по гипотенузе и катету). Это означает, что площади этих треугольников равны: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно выразить как:

$S_{ABCD} = S_{HBCD} + S_{\triangle ABH}$ (если угол $A$ острый, то точка $H$ лежит на отрезке $AD$).

Площадь прямоугольника $HBCK$ можно выразить как:

$S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$.

Поскольку $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$, то из этих двух выражений следует, что $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

Площадь прямоугольника $HBCK$ равна произведению его сторон: $S_{HBCK} = HK \cdot BH$.

В прямоугольнике $HBCK$ сторона $HK$ равна $BC$ (как противоположные стороны прямоугольника). А так как $BC = AD$ (противоположные стороны параллелограмма), то $HK = AD = a$.

Таким образом, $S_{ABCD} = a \cdot h_a$.

(Примечание: если угол $A$ тупой, то точка $H$ лежит вне отрезка $AD$, и рассуждения приводят к тому же результату: $S_{ABCD} = S_{HBCD} - S_{\triangle ABH}$, $S_{HBCK} = S_{HBCD} - S_{\triangle DCK}$, и поскольку площади треугольников равны, то и площади параллелограмма и прямоугольника равны.)

Ответ:

$S = a \cdot h_a$

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

Формулировка:

Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Математически: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны треугольника, $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть длина стороны $BC = a$. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$, так что $AH = h_a$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную $BC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения будет вершиной $D$, образующей параллелограмм $ABDC$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABDC$ на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. (Они равны по трем сторонам: $AB=DC$, $BC=DB$ (не $DB$, а $AD$ is not part of parallelogram $ABDC$), $BC$ is common side of $ABC$ and $DCB$ is wrong. The parallelogram is $ABDC$. $AB=DC$, $BD=AC$, $BC$ is common. No, this construction is wrong. The parallelogram would be $ABCD$ where $AD$ is parallel to $BC$ and $CD$ is parallel to $AB$.)

Давайте используем стандартное построение для доказательства:

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCE$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную $BC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения будет вершиной $D$. Таким образом, мы получаем параллелограмм $ABCD$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два конгруэнтных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. (Они равны по трем сторонам: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая сторона).

Поскольку эти треугольники равны, их площади также равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA}$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$.

Из теоремы о площади параллелограмма (доказанной выше) известно, что площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Для параллелограмма $ABCD$ с основанием $BC = a$ и высотой $AH = h_a$ (которая является также высотой треугольника $ABC$):

$S_{ABCD} = BC \cdot AH = a \cdot h_a$.

Подставляя это выражение в равенство $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$, получаем:

$a \cdot h_a = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$.

Отсюда следует:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.

Ответ:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

3. По какой формуле можно найти площадь:

а) треугольника, если известны две его стороны и угол между ними;

Пусть известны две стороны треугольника $a$ и $b$, и угол $\gamma$ между ними.

Площадь треугольника по базовой формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.

Если $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, то из прямоугольного треугольника, образованного высотой, стороной $b$ и частью стороны $a$, можно выразить $h_a$ через сторону $b$ и угол $\gamma$:

$h_a = b \sin \gamma$.

Подставляя это выражение для $h_a$ в формулу площади, получаем:

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$.

Ответ:

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$

б) параллелограмма, если известны две его соседние стороны и угол между ними?

Пусть известны две соседние стороны параллелограмма $a$ и $b$, и угол $\alpha$ между ними.

Площадь параллелограмма по базовой формуле: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — длина одной из сторон, $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Высоту $h_a$ можно выразить через соседнюю сторону $b$ и угол $\alpha$ между ними:

$h_a = b \sin \alpha$.

Подставляя это выражение для $h_a$ в формулу площади, получаем:

$S = a b \sin \alpha$.

Ответ:

$S = a b \sin \alpha$

223. а) Стороны параллелограмма равны 12 см и 15 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 8 см. Найдите вторую высоту этого параллелограмма.

б) Две стороны треугольника равны 12 дм и 18 дм, а высота, проведенная к одной из них, равна 4 дм. Найдите высоту, проведенную к другой из этих сторон.

в) Найдите сторону квадрата равновеликого равнобедренному треугольнику с основанием 50 см и высотой 9 см.

г) Сторону треугольника увеличили в $k$ раз, а его высоту, проведенную к ней, уменьшили в $n$ раз. Изменилась ли и как площадь треугольника?

а) Стороны параллелограмма равны 12 см и 15 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 8 см. Найдите вторую высоту этого параллелограмма.

Дано:

Сторона параллелограмма $a_1 = 12$ см

Сторона параллелограмма $a_2 = 15$ см

Высота к большей стороне $h_2 = 8$ см

Перевод в СИ:

$a_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$a_2 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$h_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Вторую высоту $h_1$

Решение:

Площадь параллелограмма можно выразить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь $S$ можно найти двумя способами:

$S = a_1 \cdot h_1$

$S = a_2 \cdot h_2$

Приравняем эти выражения для площади:

$a_1 \cdot h_1 = a_2 \cdot h_2$

Известны значения $a_1$, $a_2$ и $h_2$. Подставим их, чтобы найти $h_1$:

$0.12 \text{ м} \cdot h_1 = 0.15 \text{ м} \cdot 0.08 \text{ м}$

$0.12 \cdot h_1 = 0.012$

$h_1 = \frac{0.012}{0.12}$

$h_1 = 0.1 \text{ м}$

Переведем ответ обратно в сантиметры:

$h_1 = 0.1 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см

б) Две стороны треугольника равны 12 дм и 18 дм, а высота, проведенная к одной из них, равна 4 дм. Найдите высоту, проведенную к другой из этих сторон.

Дано:

Первая сторона треугольника $s_1 = 12$ дм

Вторая сторона треугольника $s_2 = 18$ дм

Высота к первой стороне $h_1 = 4$ дм

Перевод в СИ:

$s_1 = 12 \text{ дм} = 1.2 \text{ м}$

$s_2 = 18 \text{ дм} = 1.8 \text{ м}$

$h_1 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Высоту ко второй стороне $h_2$

Решение:

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь $S$ можно найти двумя способами:

$S = \frac{1}{2} s_1 \cdot h_1$

$S = \frac{1}{2} s_2 \cdot h_2$

Приравняем эти выражения для площади:

$\frac{1}{2} s_1 h_1 = \frac{1}{2} s_2 h_2$

$s_1 h_1 = s_2 h_2$

Известны значения $s_1$, $s_2$ и $h_1$. Подставим их, чтобы найти $h_2$:

$1.2 \text{ м} \cdot 0.4 \text{ м} = 1.8 \text{ м} \cdot h_2$

$0.48 = 1.8 \cdot h_2$

$h_2 = \frac{0.48}{1.8}$

$h_2 = \frac{48}{180} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} \text{ м}$

Переведем ответ обратно в дециметры:

$h_2 = \frac{4}{15} \text{ м} \cdot 10 \frac{\text{дм}}{\text{м}} = \frac{40}{15} \text{ дм} = \frac{8}{3} \text{ дм} = 2 \frac{2}{3} \text{ дм}$

Ответ: $2 \frac{2}{3}$ дм

в) Найдите сторону квадрата равновеликого равнобедренному треугольнику с основанием 50 см и высотой 9 см.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $b = 50$ см

Высота треугольника $h = 9$ см

Перевод в СИ:

$b = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$h = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Сторона квадрата $a$

Решение:

Сначала найдем площадь треугольника по формуле:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \text{ м} \cdot 0.09 \text{ м}$

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 0.045 \text{ м}^2$

$S_{треугольника} = 0.0225 \text{ м}^2$

Поскольку квадрат равновелик треугольнику, их площади равны:

$S_{квадрата} = S_{треугольника}$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = a^2$, где $a$ - сторона квадрата.

Значит:

$a^2 = 0.0225 \text{ м}^2$

$a = \sqrt{0.0225} \text{ м}$

$a = 0.15 \text{ м}$

Переведем ответ обратно в сантиметры:

$a = 0.15 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см

г) Сторону треугольника увеличили в $k$ раз, а его высоту, проведенную к ней, уменьшили в $n$ раз. Изменилась ли и как площадь треугольника?

Дано:

Исходная сторона треугольника $a_0$

Исходная высота треугольника $h_0$

Новая сторона треугольника $a_1 = k \cdot a_0$

Новая высота треугольника $h_1 = h_0 / n$

Найти:

Как изменилась площадь треугольника.

Решение:

Исходная площадь треугольника $S_0$ вычисляется по формуле:

$S_0 = \frac{1}{2} a_0 h_0$

Новая площадь треугольника $S_1$ вычисляется по формуле с новыми значениями стороны и высоты:

$S_1 = \frac{1}{2} a_1 h_1$

Подставим выражения для $a_1$ и $h_1$ через $a_0$, $h_0$, $k$ и $n$ в формулу для $S_1$:

$S_1 = \frac{1}{2} (k \cdot a_0) (\frac{h_0}{n})$

Перегруппируем множители:

$S_1 = \frac{k}{n} \cdot (\frac{1}{2} a_0 h_0)$

Заметим, что выражение в скобках равно исходной площади $S_0$:

$S_1 = \frac{k}{n} S_0$

Таким образом, новая площадь треугольника будет в $\frac{k}{n}$ раз больше или меньше исходной площади. Если $k > n$, площадь увеличится. Если $k < n$, площадь уменьшится. Если $k = n$, площадь останется неизменной.

Ответ: Площадь треугольника изменилась в $k/n$ раз. Новая площадь будет равна $S_1 = \frac{k}{n} S_0$.